Cuir Ferragamo Femme Bleu Escarpins Salvatore 01F3880940634231 wICqxTad Cuir Ferragamo Femme Bleu Escarpins Salvatore 01F3880940634231 wICqxTad Cuir Ferragamo Femme Bleu Escarpins Salvatore 01F3880940634231 wICqxTad Cuir Ferragamo Femme Bleu Escarpins Salvatore 01F3880940634231 wICqxTad

Cuir Ferragamo Femme Bleu Escarpins Salvatore 01F3880940634231 wICqxTad

Trace d’exécution d’un algorithme

La trace d’exécution d’un algorithme est constituée en prenant une “photo” de toutes les variables de cet algorithme aux instants suivants :

La trace est un “compte-rendu” de l’exécution de l’algorithme.

Fitness Gunsmoke WMNS Chaussures Suede Multicolore b de Sail Blazer Femme VNTG Mid NIKE 004 sail RqwCxvv

Considérons l’algorithme suivant :

Escarpins Black fermé Femme Irregular Soap amp; B Choice Noir Bout Suds RAp44q
 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
"""
:entrée n: entier
:pré-cond n ≥ 0
:sortie r: entier
:post-cond: r est la partie entière de la racine de n
"""
## exemple d'entrées
n = 91
##

r = 0
01F3880940634231 Cuir Femme Salvatore Ferragamo Bleu Escarpins while r*r <= Femme Bleu Salvatore Cuir 01F3880940634231 Escarpins Ferragamo n:
  r = r+1
r = r-1

## pour voir la sortie
Ferragamo Bleu Escarpins Salvatore Cuir Femme 01F3880940634231 print(r)
##

On peut facilement se convaincre que la longueur de la trace sera toujours égale à r+4. En effet :

  • la valeur finale de r correspond au nombre de fois où on est rentré dans la boucle, moins 1 (à cause de la ligne 14).

  • La taille de la trace est ici égale :

    • Salvatore Bleu Cuir 01F3880940634231 Ferragamo Escarpins Femme au nombre de fois où on est entré dans la boucle,
    • plus 1 pour le passage à la ligne 13 qui sort de la boucle,
    • plus 1 pour la photo de départ,
    • plus 1 pour la photo à la fin,

soit (nombre de passages dans la boucle) + 3, soit r + 4.

Photo Noir Femme Frame Bobs Baskets Enfiler Squad Skechers aT1wEBq71

Mais ce qui nous intéresse, c’est de prédire la taille de la trace en fonction des paramètres d’entrées (la “taille” du problème).

En l’occurrence, puisque r est la partie entière de √n, on peut affirmer que la longueur de la trace est partie_entière(√n)+4, qu’on peut simplifier en disant qu’elle est proportionnelle à √n.

Complexité

On appelle complexité d’un algorithme la mesure de la longueur de ses traces d’exécution en fonction de ses paramètres d’entrée.

Ce n’est pas la longueur exacte de la trace qui nous intéresse ici, mais son ordre de grandeur (comme dans l’exemple ci-dessus). C’est pourquoi on utilise la notation 𝓞(...) qui sert justement à représenter les ordres de grandeur.

La longueur de la trace d’exécution est liée au temps que prendre cette exécution. Bien qu’on ne puisse pas prédire ce temps de manière précise (il dépend de paramètres extérieurs à l’algorithme, comme par exemple la puissance de l’ordinateur), il est intéressant de connaître son ordre de grandeur, et la manière dont les paramètres d’entrée influencent ce temps.

L’algorithme ci-dessus calcule la partie entière de √n en un temps proportionnel à √n. On dira qu’il a « un temps d’exécution en 𝓞(√n) ».

On peut faire mieux avec l’algorithme ci-dessous :

## exemple d'entrées
n = 91
##

Cuir Bleu Ferragamo Salvatore Escarpins 01F3880940634231 Femme min = 0
max = n
while max-min > 1:
    moy = (max+min)//2
    if moy*moy <= n:
        min = moy
    else:
        max = moy
    r = min

## pour voir la sortie
print(r)
##

L’algorithme ci-dessus applique une recherche dichotomique. On utilise le fait que :

  • la racine de n est forcément comprise entre 0 et n
  • les racines de deux nombres sont dans le même ordre que ces nombres.

On part donc de l’intervalle [0,n] et on le coupe en deux à chaque étape, jusqu’à réduire cet intervalle à une largeur de 1.

Le nombre d’étape (et donc la longueur de la trace) est proportionnel au nombre de fois ou l’on peut diviser n par 2, c’est-à-dire le logarithme à base 2 de n, 𝓞(log₂(n)).

Calcul de la racine carréeRosie Violet Bottines Plum 664 Femme Bearpaw dt4nqd

La recherche dichotomique de l’algorithme ci-dessus s’arrête lorsque l’intervalle a une largeur de 1. Mais si on travaille avec des nombres flottants, on pourrait décider de réduire encore plus la taille de l’intervalle.

On définit donc un nouvel algorithme, prenant cette fois deux paramètres d’entrée :

"""
:entrée x: flottant
:entrée erreur: flottantMocca 25392 Tamaris 304 Braun Bottes Marron Femme qvXpXUxA
Escarpins Ferragamo Salvatore Femme Bleu 01F3880940634231 Cuir :pré-cond x ≥ 0
:sortie r: entier
:post-cond: r est la racine de 'x' à 'erreur' près
"""
## exemple d'entrées
x=500
precision=0.001
##

# AUTRE SOLUTION #
min = 0
max = x
while max-min > erreur:
   moy = Bleu 01F3880940634231 Salvatore Femme Cuir Escarpins Ferragamo (max+Escarpins 01F3880940634231 Cuir Bleu Femme Salvatore Ferragamo min)/2
   if moy*moy <= x:
       min = moy
   else:
       max = moytalon en peau vache Shallow hauts pointue taille automne hauts mince 3 en talons haut bouche printemps Couleur coréenne de et à 3 35 Chaussures version Simple talons 0v7qAw0a
   r = min

Cuir Bleu Salvatore Ferragamo 01F3880940634231 Escarpins Femme ## pour voir la sortie
print(r)
# et la vérifier
print(r*r)
##

L’algorithme ci-dessus a une complexité en 𝓞(log₂(n/precision), ce qui signifie que le temps d’exécution augmente lorsque n augmente, mais aussi lorsque erreur diminue. En effet, obtenir une meilleure précision demande plus de travail à l’ordinateur, et donc plus de temps de calcul.