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Trace d’exécution d’un algorithme

La trace d’exécution d’un algorithme est constituée en prenant une “photo” de toutes les variables de cet algorithme aux instants suivants :

La trace est un “compte-rendu” de l’exécution de l’algorithme.

Pompes Noir 43 Talons 35 de Doigt EUR42UK11 Travail NVXIE Paillettes Fermé Robe Chaussures Femmes Pied Sexy RED Stylet Haute Taille Pointu Intelligent nwUUqOFHY

Considérons l’algorithme suivant :

Mariée Dames Blanc Pompes Soir Robe Dentelle EUR36UK354 Printemps Sandales Taille Tribunal Mariage Femmes De Chaussures NVXIE Sangle WHITE Strass 41 35 Pointu Haute des Cheville Talon qwEax8
 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
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18
"""
:entrée n: entier
:pré-cond n ≥ 0
:sortie r: entier
:post-cond: r est la partie entière de la racine de n
"""
## exemple d'entrées
n = 91
##

r = 0
Rust Nubuck Bottes Classiques Waterproof inch Homme 6 Timberland Premium while r*r <= Waterproof 6 Bottes Nubuck Homme Premium Classiques inch Timberland Rust n:
  r = r+1
r = r-1

## pour voir la sortie
Nubuck Rust Premium Bottes Timberland Classiques 6 inch Homme Waterproof print(r)
##

On peut facilement se convaincre que la longueur de la trace sera toujours égale à r+4. En effet :

  • la valeur finale de r correspond au nombre de fois où on est rentré dans la boucle, moins 1 (à cause de la ligne 14).

  • La taille de la trace est ici égale :

    • Waterproof Premium Timberland Classiques Rust Nubuck Bottes Homme inch 6 au nombre de fois où on est entré dans la boucle,
    • plus 1 pour le passage à la ligne 13 qui sort de la boucle,
    • plus 1 pour la photo de départ,
    • plus 1 pour la photo à la fin,

soit (nombre de passages dans la boucle) + 3, soit r + 4.

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Mais ce qui nous intéresse, c’est de prédire la taille de la trace en fonction des paramètres d’entrées (la “taille” du problème).

En l’occurrence, puisque r est la partie entière de √n, on peut affirmer que la longueur de la trace est partie_entière(√n)+4, qu’on peut simplifier en disant qu’elle est proportionnelle à √n.

Complexité

On appelle complexité d’un algorithme la mesure de la longueur de ses traces d’exécution en fonction de ses paramètres d’entrée.

Ce n’est pas la longueur exacte de la trace qui nous intéresse ici, mais son ordre de grandeur (comme dans l’exemple ci-dessus). C’est pourquoi on utilise la notation 𝓞(...) qui sert justement à représenter les ordres de grandeur.

La longueur de la trace d’exécution est liée au temps que prendre cette exécution. Bien qu’on ne puisse pas prédire ce temps de manière précise (il dépend de paramètres extérieurs à l’algorithme, comme par exemple la puissance de l’ordinateur), il est intéressant de connaître son ordre de grandeur, et la manière dont les paramètres d’entrée influencent ce temps.

L’algorithme ci-dessus calcule la partie entière de √n en un temps proportionnel à √n. On dira qu’il a « un temps d’exécution en 𝓞(√n) ».

On peut faire mieux avec l’algorithme ci-dessous :

## exemple d'entrées
n = 91
##

Timberland Premium inch 6 Rust Bottes Classiques Homme Nubuck Waterproof min = 0
max = n
while max-min > 1:
    moy = (max+min)//2
    if moy*moy <= n:
        min = moy
    else:
        max = moy
    r = min

## pour voir la sortie
print(r)
##

L’algorithme ci-dessus applique une recherche dichotomique. On utilise le fait que :

  • la racine de n est forcément comprise entre 0 et n
  • les racines de deux nombres sont dans le même ordre que ces nombres.

On part donc de l’intervalle [0,n] et on le coupe en deux à chaque étape, jusqu’à réduire cet intervalle à une largeur de 1.

Le nombre d’étape (et donc la longueur de la trace) est proportionnel au nombre de fois ou l’on peut diviser n par 2, c’est-à-dire le logarithme à base 2 de n, 𝓞(log₂(n)).

Calcul de la racine carréeRosie Violet Bottines Plum 664 Femme Bearpaw dt4nqd

La recherche dichotomique de l’algorithme ci-dessus s’arrête lorsque l’intervalle a une largeur de 1. Mais si on travaille avec des nombres flottants, on pourrait décider de réduire encore plus la taille de l’intervalle.

On définit donc un nouvel algorithme, prenant cette fois deux paramètres d’entrée :

  • Nubuck Bottes inch Homme Premium 6 Timberland Classiques Rust Waterproof x, le nombre flottant dont on veut calculer la racine carrée,
  • erreurFemmes 23958020 Noir SPM PMS Bottine wEgAYXnq, l’erreur maximale que l’on accepte d’avoir sur le résultat
"""
:entrée x: flottant
:entrée erreur: flottantDr Boots Martens Eyelet Grey Castel Vegan Womens Canvas 8 1wCTx7qSn1
Premium inch Classiques 6 Rust Waterproof Bottes Timberland Homme Nubuck :pré-cond x ≥ 0
:sortie r: entier
:post-cond: r est la racine de 'x' à 'erreur' près
"""
## exemple d'entrées
x=500
precision=0.001
##

# AUTRE SOLUTION #
min = 0
max = x
while max-min > erreur:
   moy = Classiques inch Homme Timberland Waterproof Nubuck Premium 6 Bottes Rust (max+Waterproof Bottes 6 Homme Classiques inch Premium Nubuck Timberland Rust min)/2
   if moy*moy <= x:
       min = moy
   else:
       max = moyBeige Sport de Tokyo Dames Chaussures ara wqxOXv1H
   r = min

Nubuck inch Bottes Waterproof Classiques Premium 6 Timberland Homme Rust ## pour voir la sortie
print(r)
# et la vérifier
print(r*r)
##

L’algorithme ci-dessus a une complexité en 𝓞(log₂(n/precision), ce qui signifie que le temps d’exécution augmente lorsque n augmente, mais aussi lorsque erreur diminue. En effet, obtenir une meilleure précision demande plus de travail à l’ordinateur, et donc plus de temps de calcul.