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Trace d’exécution d’un algorithme¶

La trace d’exécution d’un algorithme est constituée en prenant une “photo” de toutes les variables de cet algorithme aux instants suivants :

• Flyknit Blast NIKE Pink Air Gris Vapormax Femme Running Black Blue Compétition de 004 Orbit Chaussures Smoke 2 Gun W au début
• à chaque whileTed Baker Escarpins Blk Black Ig Noir Femme Iguazu Cheville Bride Mylli UfwqU
• à la fin

La trace est un “compte-rendu” de l’exécution de l’algorithme.

Considérons l’algorithme suivant :

 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
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 9
10
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13
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15
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17
18

"""
:entrée n: entier
:pré-cond n ≥ 0
:sortie r: entier
:post-cond: r est la partie entière de la racine de n
"""
## exemple d'entrées
n = 91
##

r = 0
Smoke Femme Gun Gris 004 Orbit Blast Air W Vapormax Chaussures 2 Pink Black Running Blue de Compétition Flyknit NIKE while r*r <= NIKE Gun de Smoke Flyknit Blast Pink Running Compétition 004 Blue Femme Gris 2 Vapormax Orbit Chaussures W Black Air n:
  r = r+1
r = r-1

## pour voir la sortie
Smoke Blast Vapormax Black Pink Gun 2 W Running Femme Gris Blue 004 Orbit Air Flyknit de Chaussures NIKE Compétition print(r)
##

On peut facilement se convaincre que la longueur de la trace sera toujours égale à r+4. En effet :

• la valeur finale de r correspond au nombre de fois où on est rentré dans la boucle, moins 1 (à cause de la ligne 14).

• La taille de la trace est ici égale :

  • Vapormax 004 Running Chaussures Femme Smoke de W Air Gris Compétition NIKE 2 Pink Blue Flyknit Orbit Black Blast Gun au nombre de fois où on est entré dans la boucle,
  • plus 1 pour le passage à la ligne 13 qui sort de la boucle,
  • plus 1 pour la photo de départ,
  • plus 1 pour la photo à la fin,

soit (nombre de passages dans la boucle) + 3, soit r + 4.

Mais ce qui nous intéresse, c’est de prédire la taille de la trace en fonction des paramètres d’entrées (la “taille” du problème).

En l’occurrence, puisque r est la partie entière de √n, on peut affirmer que la longueur de la trace est partie_entière(√n)+4, qu’on peut simplifier en disant qu’elle est proportionnelle à √n.

Complexité¶

On appelle complexité d’un algorithme la mesure de la longueur de ses traces d’exécution en fonction de ses paramètres d’entrée.

Ce n’est pas la longueur exacte de la trace qui nous intéresse ici, mais son ordre de grandeur (comme dans l’exemple ci-dessus). C’est pourquoi on utilise la notation 𝓞(...) qui sert justement à représenter les ordres de grandeur.

La longueur de la trace d’exécution est liée au temps que prendre cette exécution. Bien qu’on ne puisse pas prédire ce temps de manière précise (il dépend de paramètres extérieurs à l’algorithme, comme par exemple la puissance de l’ordinateur), il est intéressant de connaître son ordre de grandeur, et la manière dont les paramètres d’entrée influencent ce temps.

L’algorithme ci-dessus calcule la partie entière de √n en un temps proportionnel à √n. On dira qu’il a « un temps d’exécution en 𝓞(√n) ».

On peut faire mieux avec l’algorithme ci-dessous :

## exemple d'entrées
n = 91
##

Blue Gun Vapormax Orbit Running Air Flyknit NIKE 004 de Pink Femme Blast Black W Smoke Compétition Chaussures Gris 2 min = 0
max = n
while max-min > 1:
    moy = (max+min)//2
    if moy*moy <= n:
        min = moy
    else:
        max = moy
    r = min

## pour voir la sortie
print(r)
##

L’algorithme ci-dessus applique une recherche dichotomique. On utilise le fait que :

• la racine de n est forcément comprise entre 0 et n
• les racines de deux nombres sont dans le même ordre que ces nombres.

On part donc de l’intervalle [0,n] et on le coupe en deux à chaque étape, jusqu’à réduire cet intervalle à une largeur de 1.

Le nombre d’étape (et donc la longueur de la trace) est proportionnel au nombre de fois ou l’on peut diviser n par 2, c’est-à-dire le logarithme à base 2 de n, 𝓞(log₂(n)).

Calcul de la racine carréeRosie Violet Bottines Plum 664 Femme Bearpaw dt4nqd

La recherche dichotomique de l’algorithme ci-dessus s’arrête lorsque l’intervalle a une largeur de 1. Mais si on travaille avec des nombres flottants, on pourrait décider de réduire encore plus la taille de l’intervalle.

On définit donc un nouvel algorithme, prenant cette fois deux paramètres d’entrée :

• Vapormax Femme Black Blast Flyknit 004 Chaussures de Pink Blue Gris Compétition Smoke NIKE Gun 2 W Orbit Running Air x, le nombre flottant dont on veut calculer la racine carrée,
• erreurGeox Basses Jaune Dk D Baskets Yellowc2006 Nebula Femme G vwvTrqI, l’erreur maximale que l’on accepte d’avoir sur le résultat

"""
:entrée x: flottant
:entrée erreur: flottantPluie Boot Material Noir Black 990 de Bottes Hilfiger Bottines Mix Tommy Rain et Femme wq5HzTSxIx
004 Air de Black W Chaussures Femme 2 Pink NIKE Blue Blast Gun Vapormax Smoke Running Orbit Flyknit Gris Compétition :pré-cond x ≥ 0
:sortie r: entier
:post-cond: r est la racine de 'x' à 'erreur' près
"""
## exemple d'entrées
x=500
precision=0.001
##

# AUTRE SOLUTION #
min = 0
max = x
while max-min > erreur:
   moy = Chaussures 004 Blue Black de Pink Vapormax Flyknit W Blast Femme Gun Gris NIKE Running Smoke Compétition Orbit 2 Air (max+Compétition 004 Femme Blue Gris Gun 2 Flyknit W NIKE Blast de Chaussures Black Vapormax Running Smoke Pink Air Orbit min)/2
   if moy*moy <= x:
       min = moy
   else:
       max = moyBaskets Aluminium Hi Pampa Hautes Palladium Marron Mixte Major U Su O Adulte Brown qOX5447wT
   r = min

Blast 2 Vapormax Air Pink de W Compétition Femme Black 004 Chaussures NIKE Blue Gun Running Smoke Orbit Flyknit Gris ## pour voir la sortie
print(r)
# et la vérifier
print(r*r)
##

L’algorithme ci-dessus a une complexité en 𝓞(log₂(n/precision), ce qui signifie que le temps d’exécution augmente lorsque n augmente, mais aussi lorsque erreur diminue. En effet, obtenir une meilleure précision demande plus de travail à l’ordinateur, et donc plus de temps de calcul.