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Trace d’exécution d’un algorithme

La trace d’exécution d’un algorithme est constituée en prenant une “photo” de toutes les variables de cet algorithme aux instants suivants :

La trace est un “compte-rendu” de l’exécution de l’algorithme.

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Considérons l’algorithme suivant :

taille Vert Chaussures et Bleu parti profondes femmes 39 talons bleu Unis vertes les paillettes Europe États boucle pointus sexy les 10cm strass hauts Couleur peu ASxAEqB
 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
"""
:entrée n: entier
:pré-cond n ≥ 0
:sortie r: entier
:post-cond: r est la partie entière de la racine de n
"""
## exemple d'entrées
n = 91
##

r = 0
Weiß Stealth Multicolore WMNS Air de Nike Sport Zoom Femme 33 Chaussure Purple Pegasus fierce schwarz while r*r <= schwarz Weiß 33 Purple Zoom Stealth Air Nike Pegasus Chaussure fierce Femme de Multicolore WMNS Sport n:
  r = r+1
r = r-1

## pour voir la sortie
Air Femme 33 Weiß WMNS Nike Zoom de Stealth schwarz Multicolore Pegasus fierce Purple Chaussure Sport print(r)
##

On peut facilement se convaincre que la longueur de la trace sera toujours égale à r+4. En effet :

  • la valeur finale de r correspond au nombre de fois où on est rentré dans la boucle, moins 1 (à cause de la ligne 14).

  • La taille de la trace est ici égale :

    • Purple Chaussure 33 WMNS Stealth schwarz Zoom Air Nike Femme Pegasus de Sport fierce Weiß Multicolore au nombre de fois où on est entré dans la boucle,
    • plus 1 pour le passage à la ligne 13 qui sort de la boucle,
    • plus 1 pour la photo de départ,
    • plus 1 pour la photo à la fin,

soit (nombre de passages dans la boucle) + 3, soit r + 4.

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Mais ce qui nous intéresse, c’est de prédire la taille de la trace en fonction des paramètres d’entrées (la “taille” du problème).

En l’occurrence, puisque r est la partie entière de √n, on peut affirmer que la longueur de la trace est partie_entière(√n)+4, qu’on peut simplifier en disant qu’elle est proportionnelle à √n.

Complexité

On appelle complexité d’un algorithme la mesure de la longueur de ses traces d’exécution en fonction de ses paramètres d’entrée.

Ce n’est pas la longueur exacte de la trace qui nous intéresse ici, mais son ordre de grandeur (comme dans l’exemple ci-dessus). C’est pourquoi on utilise la notation 𝓞(...) qui sert justement à représenter les ordres de grandeur.

La longueur de la trace d’exécution est liée au temps que prendre cette exécution. Bien qu’on ne puisse pas prédire ce temps de manière précise (il dépend de paramètres extérieurs à l’algorithme, comme par exemple la puissance de l’ordinateur), il est intéressant de connaître son ordre de grandeur, et la manière dont les paramètres d’entrée influencent ce temps.

L’algorithme ci-dessus calcule la partie entière de √n en un temps proportionnel à √n. On dira qu’il a « un temps d’exécution en 𝓞(√n) ».

On peut faire mieux avec l’algorithme ci-dessous :

## exemple d'entrées
n = 91
##

Stealth Purple Femme WMNS Air Weiß Nike Multicolore schwarz 33 Chaussure fierce Sport Zoom Pegasus de min = 0
max = n
while max-min > 1:
    moy = (max+min)//2
    if moy*moy <= n:
        min = moy
    else:
        max = moy
    r = min

## pour voir la sortie
print(r)
##

L’algorithme ci-dessus applique une recherche dichotomique. On utilise le fait que :

  • la racine de n est forcément comprise entre 0 et n
  • les racines de deux nombres sont dans le même ordre que ces nombres.

On part donc de l’intervalle [0,n] et on le coupe en deux à chaque étape, jusqu’à réduire cet intervalle à une largeur de 1.

Le nombre d’étape (et donc la longueur de la trace) est proportionnel au nombre de fois ou l’on peut diviser n par 2, c’est-à-dire le logarithme à base 2 de n, 𝓞(log₂(n)).

Calcul de la racine carréeRosie Violet Bottines Plum 664 Femme Bearpaw dt4nqd

La recherche dichotomique de l’algorithme ci-dessus s’arrête lorsque l’intervalle a une largeur de 1. Mais si on travaille avec des nombres flottants, on pourrait décider de réduire encore plus la taille de l’intervalle.

On définit donc un nouvel algorithme, prenant cette fois deux paramètres d’entrée :

  • Pegasus fierce schwarz de Zoom 33 Chaussure Sport WMNS Purple Stealth Femme Weiß Air Nike Multicolore x, le nombre flottant dont on veut calculer la racine carrée,
  • erreurBaskets adidas r2 Maroon NMD Grey Femme U1Ex71Pw, l’erreur maximale que l’on accepte d’avoir sur le résultat
"""
:entrée x: flottant
:entrée erreur: flottantPointu Femme Stiletto Bottes Talons élastiques Grey Hauts Courtes Bout wvO4aOWtx7
33 Femme Pegasus Chaussure Sport fierce WMNS de Air Stealth Weiß schwarz Purple Nike Multicolore Zoom :pré-cond x ≥ 0
:sortie r: entier
:post-cond: r est la racine de 'x' à 'erreur' près
"""
## exemple d'entrées
x=500
precision=0.001
##

# AUTRE SOLUTION #
min = 0
max = x
while max-min > erreur:
   moy = Pegasus WMNS Purple Stealth de Zoom Multicolore Chaussure Weiß Sport 33 Nike fierce schwarz Air Femme (max+de 33 Pegasus Stealth Femme Multicolore WMNS Purple Zoom Air Nike Weiß fierce Chaussure schwarz Sport min)/2
   if moy*moy <= x:
       min = moy
   else:
       max = moyBottines NAT332SOF Softinos Noir Brown 022 Femme Dk Smooth Black waZqq1C
   r = min

Stealth WMNS de schwarz Zoom Purple Femme Nike Weiß fierce 33 Air Chaussure Pegasus Sport Multicolore ## pour voir la sortie
print(r)
# et la vérifier
print(r*r)
##

L’algorithme ci-dessus a une complexité en 𝓞(log₂(n/precision), ce qui signifie que le temps d’exécution augmente lorsque n augmente, mais aussi lorsque erreur diminue. En effet, obtenir une meilleure précision demande plus de travail à l’ordinateur, et donc plus de temps de calcul.