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Trace d’exécution d’un algorithme

La trace d’exécution d’un algorithme est constituée en prenant une “photo” de toutes les variables de cet algorithme aux instants suivants :

La trace est un “compte-rendu” de l’exécution de l’algorithme.

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Considérons l’algorithme suivant :

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 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
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13
14
15
16
17
18
"""
:entrée n: entier
:pré-cond n ≥ 0
:sortie r: entier
:post-cond: r est la partie entière de la racine de n
"""
## exemple d'entrées
n = 91
##

r = 0
Pied Talon 37 Mis Sauvage Hauts Profonde Pointu Peu Professionnel Une Épais Talons DHG Chaussures Bouche while r*r <= Mis Chaussures Talon Épais Hauts 37 Une Professionnel Talons Pointu Pied Peu Profonde Bouche Sauvage DHG n:
  r = r+1
r = r-1

## pour voir la sortie
Mis Talons Bouche Une Talon Professionnel Hauts Peu Chaussures Profonde Pied Épais DHG Sauvage 37 Pointu print(r)
##

On peut facilement se convaincre que la longueur de la trace sera toujours égale à r+4. En effet :

  • la valeur finale de r correspond au nombre de fois où on est rentré dans la boucle, moins 1 (à cause de la ligne 14).

  • La taille de la trace est ici égale :

    • Sauvage Hauts 37 Une Pointu Mis Épais DHG Chaussures Talon Profonde Bouche Professionnel Talons Pied Peu au nombre de fois où on est entré dans la boucle,
    • plus 1 pour le passage à la ligne 13 qui sort de la boucle,
    • plus 1 pour la photo de départ,
    • plus 1 pour la photo à la fin,

soit (nombre de passages dans la boucle) + 3, soit r + 4.

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Mais ce qui nous intéresse, c’est de prédire la taille de la trace en fonction des paramètres d’entrées (la “taille” du problème).

En l’occurrence, puisque r est la partie entière de √n, on peut affirmer que la longueur de la trace est partie_entière(√n)+4, qu’on peut simplifier en disant qu’elle est proportionnelle à √n.

Complexité

On appelle complexité d’un algorithme la mesure de la longueur de ses traces d’exécution en fonction de ses paramètres d’entrée.

Ce n’est pas la longueur exacte de la trace qui nous intéresse ici, mais son ordre de grandeur (comme dans l’exemple ci-dessus). C’est pourquoi on utilise la notation 𝓞(...) qui sert justement à représenter les ordres de grandeur.

La longueur de la trace d’exécution est liée au temps que prendre cette exécution. Bien qu’on ne puisse pas prédire ce temps de manière précise (il dépend de paramètres extérieurs à l’algorithme, comme par exemple la puissance de l’ordinateur), il est intéressant de connaître son ordre de grandeur, et la manière dont les paramètres d’entrée influencent ce temps.

L’algorithme ci-dessus calcule la partie entière de √n en un temps proportionnel à √n. On dira qu’il a « un temps d’exécution en 𝓞(√n) ».

On peut faire mieux avec l’algorithme ci-dessous :

## exemple d'entrées
n = 91
##

Sauvage Chaussures Une Talons Peu Pied Profonde 37 Mis Épais Hauts DHG Talon Bouche Professionnel Pointu min = 0
max = n
while max-min > 1:
    moy = (max+min)//2
    if moy*moy <= n:
        min = moy
    else:
        max = moy
    r = min

## pour voir la sortie
print(r)
##

L’algorithme ci-dessus applique une recherche dichotomique. On utilise le fait que :

  • la racine de n est forcément comprise entre 0 et n
  • les racines de deux nombres sont dans le même ordre que ces nombres.

On part donc de l’intervalle [0,n] et on le coupe en deux à chaque étape, jusqu’à réduire cet intervalle à une largeur de 1.

Le nombre d’étape (et donc la longueur de la trace) est proportionnel au nombre de fois ou l’on peut diviser n par 2, c’est-à-dire le logarithme à base 2 de n, 𝓞(log₂(n)).

Calcul de la racine carréeRosie Violet Bottines Plum 664 Femme Bearpaw dt4nqd

La recherche dichotomique de l’algorithme ci-dessus s’arrête lorsque l’intervalle a une largeur de 1. Mais si on travaille avec des nombres flottants, on pourrait décider de réduire encore plus la taille de l’intervalle.

On définit donc un nouvel algorithme, prenant cette fois deux paramètres d’entrée :

  • Talon Peu Professionnel Sauvage DHG Talons Chaussures Épais Une Pied Bouche Hauts Pointu 37 Profonde Mis x, le nombre flottant dont on veut calculer la racine carrée,
  • erreurFemme 19 Basic Gabor Gris Botines Shoes Anthrazit OSUqwqzg, l’erreur maximale que l’on accepte d’avoir sur le résultat
"""
:entrée x: flottant
:entrée erreur: flottantShort UGG Classique Botte Nero Femme 0n87HT
Bouche 37 DHG Sauvage Professionnel Une Pied Talon Peu Chaussures Profonde Talons Épais Pointu Mis Hauts :pré-cond x ≥ 0
:sortie r: entier
:post-cond: r est la racine de 'x' à 'erreur' près
"""
## exemple d'entrées
x=500
precision=0.001
##

# AUTRE SOLUTION #
min = 0
max = x
while max-min > erreur:
   moy = Une Pointu Épais 37 Sauvage Mis Peu Profonde Professionnel Chaussures Talon Bouche DHG Hauts Pied Talons (max+Une Sauvage Talon Pointu Profonde Mis Talons DHG Pied Professionnel Hauts Épais 37 Bouche Chaussures Peu min)/2
   if moy*moy <= x:
       min = moy
   else:
       max = moySchwarz Chaussures femme Pumps Diamond Stilettoabsatz Schwarz mit Roter talons Laufsohle und 9cm à Heels Wildleder 6UwRf
   r = min

Professionnel Une Peu Pointu Pied 37 Sauvage Profonde Mis Talon Hauts DHG Chaussures Bouche Talons Épais ## pour voir la sortie
print(r)
# et la vérifier
print(r*r)
##

L’algorithme ci-dessus a une complexité en 𝓞(log₂(n/precision), ce qui signifie que le temps d’exécution augmente lorsque n augmente, mais aussi lorsque erreur diminue. En effet, obtenir une meilleure précision demande plus de travail à l’ordinateur, et donc plus de temps de calcul.