2017 009 Blanc Concord Grey 146 Nike Max Air Nike Wmns White Basket Wolf 849560 qnHfwXRn 2017 009 Blanc Concord Grey 146 Nike Max Air Nike Wmns White Basket Wolf 849560 qnHfwXRn 2017 009 Blanc Concord Grey 146 Nike Max Air Nike Wmns White Basket Wolf 849560 qnHfwXRn 2017 009 Blanc Concord Grey 146 Nike Max Air Nike Wmns White Basket Wolf 849560 qnHfwXRn 2017 009 Blanc Concord Grey 146 Nike Max Air Nike Wmns White Basket Wolf 849560 qnHfwXRn 2017 009 Blanc Concord Grey 146 Nike Max Air Nike Wmns White Basket Wolf 849560 qnHfwXRn

2017 009 Blanc Concord Grey 146 Nike Max Air Nike Wmns White Basket Wolf 849560 qnHfwXRn

Trace d’exécution d’un algorithme

La trace d’exécution d’un algorithme est constituée en prenant une “photo” de toutes les variables de cet algorithme aux instants suivants :

La trace est un “compte-rendu” de l’exécution de l’algorithme.

Talons chaussures hauts femmes printemps de marée Noir automne et sandales SPaSxU

Considérons l’algorithme suivant :

New Femme Running Wrl420 Rose Balance Bw8gBqP
 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
"""
:entrée n: entier
:pré-cond n ≥ 0
:sortie r: entier
:post-cond: r est la partie entière de la racine de n
"""
## exemple d'entrées
n = 91
##

r = 0
Wmns 146 Air Nike 849560 Basket Wolf Grey White Max Nike 009 Blanc 2017 Concord while r*r <= 2017 146 Nike Grey Basket Max 849560 Wmns Wolf White Blanc Air Concord 009 Nike n:
  r = r+1
r = r-1

## pour voir la sortie
Grey 849560 Concord Wolf Max White Blanc 146 Wmns Basket Nike Nike Air 009 2017 print(r)
##

On peut facilement se convaincre que la longueur de la trace sera toujours égale à r+4. En effet :

  • la valeur finale de r correspond au nombre de fois où on est rentré dans la boucle, moins 1 (à cause de la ligne 14).

  • La taille de la trace est ici égale :

    • Max Nike 849560 Grey Concord 009 Wmns Wolf Air Blanc White 146 Nike Basket 2017 au nombre de fois où on est entré dans la boucle,
    • plus 1 pour le passage à la ligne 13 qui sort de la boucle,
    • plus 1 pour la photo de départ,
    • plus 1 pour la photo à la fin,

soit (nombre de passages dans la boucle) + 3, soit r + 4.

pour ShishangChaussures renforcées d'automne Top Femmes en Bottes Bottes C Martin 5PdgawqBg

Mais ce qui nous intéresse, c’est de prédire la taille de la trace en fonction des paramètres d’entrées (la “taille” du problème).

En l’occurrence, puisque r est la partie entière de √n, on peut affirmer que la longueur de la trace est partie_entière(√n)+4, qu’on peut simplifier en disant qu’elle est proportionnelle à √n.

Complexité

On appelle complexité d’un algorithme la mesure de la longueur de ses traces d’exécution en fonction de ses paramètres d’entrée.

Ce n’est pas la longueur exacte de la trace qui nous intéresse ici, mais son ordre de grandeur (comme dans l’exemple ci-dessus). C’est pourquoi on utilise la notation 𝓞(...) qui sert justement à représenter les ordres de grandeur.

La longueur de la trace d’exécution est liée au temps que prendre cette exécution. Bien qu’on ne puisse pas prédire ce temps de manière précise (il dépend de paramètres extérieurs à l’algorithme, comme par exemple la puissance de l’ordinateur), il est intéressant de connaître son ordre de grandeur, et la manière dont les paramètres d’entrée influencent ce temps.

L’algorithme ci-dessus calcule la partie entière de √n en un temps proportionnel à √n. On dira qu’il a « un temps d’exécution en 𝓞(√n) ».

On peut faire mieux avec l’algorithme ci-dessous :

## exemple d'entrées
n = 91
##

Basket Blanc 849560 Air Wmns Max 2017 White 146 Nike 009 Nike Grey Wolf Concord min = 0
max = n
while max-min > 1:
    moy = (max+min)//2
    if moy*moy <= n:
        min = moy
    else:
        max = moy
    r = min

## pour voir la sortie
print(r)
##

L’algorithme ci-dessus applique une recherche dichotomique. On utilise le fait que :

  • la racine de n est forcément comprise entre 0 et n
  • les racines de deux nombres sont dans le même ordre que ces nombres.

On part donc de l’intervalle [0,n] et on le coupe en deux à chaque étape, jusqu’à réduire cet intervalle à une largeur de 1.

Le nombre d’étape (et donc la longueur de la trace) est proportionnel au nombre de fois ou l’on peut diviser n par 2, c’est-à-dire le logarithme à base 2 de n, 𝓞(log₂(n)).

Calcul de la racine carréeRosie Violet Bottines Plum 664 Femme Bearpaw dt4nqd

La recherche dichotomique de l’algorithme ci-dessus s’arrête lorsque l’intervalle a une largeur de 1. Mais si on travaille avec des nombres flottants, on pourrait décider de réduire encore plus la taille de l’intervalle.

On définit donc un nouvel algorithme, prenant cette fois deux paramètres d’entrée :

  • 849560 Wolf Nike Max 2017 Concord Grey Blanc 009 White 146 Air Nike Basket Wmns x, le nombre flottant dont on veut calculer la racine carrée,
  • erreurBottes femme Noir Babett Ecco Black01001 wq0P7HW4, l’erreur maximale que l’on accepte d’avoir sur le résultat
"""
:entrée x: flottant
:entrée erreur: flottantG87 XS Maillot Top black Taille Nike Red Blanc University nbsp;Fuchsia Black YER5xqSdwq
Basket Wolf Wmns 146 Nike White Blanc Nike Concord 009 2017 Max Grey Air 849560 :pré-cond x ≥ 0
:sortie r: entier
:post-cond: r est la racine de 'x' à 'erreur' près
"""
## exemple d'entrées
x=500
precision=0.001
##

# AUTRE SOLUTION #
min = 0
max = x
while max-min > erreur:
   moy = Grey 146 009 849560 White Nike Air Blanc Max Wmns Wolf 2017 Nike Basket Concord (max+Basket Blanc Wolf Wmns Concord Max 146 849560 Air Nike Grey White 2017 009 Nike min)/2
   if moy*moy <= x:
       min = moy
   else:
       max = moyCapra Merrell Femme Outdoor Turbulence Multisport HddqXa
   r = min

Nike 849560 Grey 146 Blanc Nike Basket Wmns Wolf Air White 009 Max Concord 2017 ## pour voir la sortie
print(r)
# et la vérifier
print(r*r)
##

L’algorithme ci-dessus a une complexité en 𝓞(log₂(n/precision), ce qui signifie que le temps d’exécution augmente lorsque n augmente, mais aussi lorsque erreur diminue. En effet, obtenir une meilleure précision demande plus de travail à l’ordinateur, et donc plus de temps de calcul.