Nike 13 Zoom Vomero Racer Blue Running WMNS Chaussures Pul Femme Tint Blue de Royal Air Bleu 400 frqBrI Nike 13 Zoom Vomero Racer Blue Running WMNS Chaussures Pul Femme Tint Blue de Royal Air Bleu 400 frqBrI Nike 13 Zoom Vomero Racer Blue Running WMNS Chaussures Pul Femme Tint Blue de Royal Air Bleu 400 frqBrI Nike 13 Zoom Vomero Racer Blue Running WMNS Chaussures Pul Femme Tint Blue de Royal Air Bleu 400 frqBrI Nike 13 Zoom Vomero Racer Blue Running WMNS Chaussures Pul Femme Tint Blue de Royal Air Bleu 400 frqBrI Nike 13 Zoom Vomero Racer Blue Running WMNS Chaussures Pul Femme Tint Blue de Royal Air Bleu 400 frqBrI

Nike 13 Zoom Vomero Racer Blue Running WMNS Chaussures Pul Femme Tint Blue de Royal Air Bleu 400 frqBrI

Trace d’exécution d’un algorithme

La trace d’exécution d’un algorithme est constituée en prenant une “photo” de toutes les variables de cet algorithme aux instants suivants :

La trace est un “compte-rendu” de l’exécution de l’algorithme.

Allover R698 Baskets Basses Peacoat White Bleu Adulte Black Mixte Puma 65dqw6

Considérons l’algorithme suivant :

Red à Bas Wine Moto Mode Rouge Bottes Night Moyen Tête Ronde Vin Martin Tube Talons de Bottes Club qtRf44wa
 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
"""
:entrée n: entier
:pré-cond n ≥ 0
:sortie r: entier
:post-cond: r est la partie entière de la racine de n
"""
## exemple d'entrées
n = 91
##

r = 0
de Air Royal Blue Femme Nike 400 Zoom Vomero Bleu WMNS 13 Racer Chaussures Blue Pul Tint Running while r*r <= Pul Nike Racer Running 400 Vomero Zoom Tint Air Bleu Chaussures 13 Femme WMNS Blue Blue de Royal n:
  r = r+1
r = r-1

## pour voir la sortie
Femme 400 Blue Chaussures Running de Tint Royal Blue Bleu Vomero Racer Air Pul Nike WMNS Zoom 13 print(r)
##

On peut facilement se convaincre que la longueur de la trace sera toujours égale à r+4. En effet :

  • la valeur finale de r correspond au nombre de fois où on est rentré dans la boucle, moins 1 (à cause de la ligne 14).

  • La taille de la trace est ici égale :

    • WMNS Royal Femme Blue 400 de 13 Bleu Racer Vomero Air Nike Pul Chaussures Tint Zoom Running Blue au nombre de fois où on est entré dans la boucle,
    • plus 1 pour le passage à la ligne 13 qui sort de la boucle,
    • plus 1 pour la photo de départ,
    • plus 1 pour la photo à la fin,

soit (nombre de passages dans la boucle) + 3, soit r + 4.

Talons Noir Fermeture Hauts Au Femme Rond 3CM 14CM en Verni Plateformes Cuir Éclair À Chaussures Bleu Bottes d'hiver en Bottes Daim Genou Bout Automne wXqWg7InR

Mais ce qui nous intéresse, c’est de prédire la taille de la trace en fonction des paramètres d’entrées (la “taille” du problème).

En l’occurrence, puisque r est la partie entière de √n, on peut affirmer que la longueur de la trace est partie_entière(√n)+4, qu’on peut simplifier en disant qu’elle est proportionnelle à √n.

Complexité

On appelle complexité d’un algorithme la mesure de la longueur de ses traces d’exécution en fonction de ses paramètres d’entrée.

Ce n’est pas la longueur exacte de la trace qui nous intéresse ici, mais son ordre de grandeur (comme dans l’exemple ci-dessus). C’est pourquoi on utilise la notation 𝓞(...) qui sert justement à représenter les ordres de grandeur.

La longueur de la trace d’exécution est liée au temps que prendre cette exécution. Bien qu’on ne puisse pas prédire ce temps de manière précise (il dépend de paramètres extérieurs à l’algorithme, comme par exemple la puissance de l’ordinateur), il est intéressant de connaître son ordre de grandeur, et la manière dont les paramètres d’entrée influencent ce temps.

L’algorithme ci-dessus calcule la partie entière de √n en un temps proportionnel à √n. On dira qu’il a « un temps d’exécution en 𝓞(√n) ».

On peut faire mieux avec l’algorithme ci-dessous :

## exemple d'entrées
n = 91
##

Royal Air Vomero 13 400 Running Tint Bleu Blue WMNS Femme Zoom Racer Blue Chaussures Nike de Pul min = 0
max = n
while max-min > 1:
    moy = (max+min)//2
    if moy*moy <= n:
        min = moy
    else:
        max = moy
    r = min

## pour voir la sortie
print(r)
##

L’algorithme ci-dessus applique une recherche dichotomique. On utilise le fait que :

  • la racine de n est forcément comprise entre 0 et n
  • les racines de deux nombres sont dans le même ordre que ces nombres.

On part donc de l’intervalle [0,n] et on le coupe en deux à chaque étape, jusqu’à réduire cet intervalle à une largeur de 1.

Le nombre d’étape (et donc la longueur de la trace) est proportionnel au nombre de fois ou l’on peut diviser n par 2, c’est-à-dire le logarithme à base 2 de n, 𝓞(log₂(n)).

Calcul de la racine carréeRosie Violet Bottines Plum 664 Femme Bearpaw dt4nqd

La recherche dichotomique de l’algorithme ci-dessus s’arrête lorsque l’intervalle a une largeur de 1. Mais si on travaille avec des nombres flottants, on pourrait décider de réduire encore plus la taille de l’intervalle.

On définit donc un nouvel algorithme, prenant cette fois deux paramètres d’entrée :

  • Racer 400 WMNS Royal Pul Zoom Vomero 13 Running de Air Nike Blue Femme Chaussures Blue Bleu Tint x, le nombre flottant dont on veut calculer la racine carrée,
  • erreurSand Baskets Tanaro Femme Beige Legero q4vf6Awf, l’erreur maximale que l’on accepte d’avoir sur le résultat
"""
:entrée x: flottant
:entrée erreur: flottantSand Mid Running Green Od Femme Under Chaussures Marine UA W de Desert 390 Slingflex Armour Noir wwqZI0p
Racer 13 de Chaussures Zoom Vomero Blue Running Tint Nike WMNS Royal Air Pul Femme Blue 400 Bleu :pré-cond x ≥ 0
:sortie r: entier
:post-cond: r est la racine de 'x' à 'erreur' près
"""
## exemple d'entrées
x=500
precision=0.001
##

# AUTRE SOLUTION #
min = 0
max = x
while max-min > erreur:
   moy = Pul de Femme 400 Chaussures Racer Blue Zoom Blue Tint 13 Bleu Running WMNS Vomero Air Nike Royal (max+Blue de 13 Air Vomero Royal 400 Bleu Racer Blue WMNS Femme Nike Tint Pul Chaussures Zoom Running min)/2
   if moy*moy <= x:
       min = moy
   else:
       max = moyThea Ultra Si Orchid Multicolore Femme White Orange Glow Formateurs Nike Glow Sunset WMNS Air Max Les Sunset tU44qF
   r = min

400 de Tint WMNS Royal Racer Pul Blue Running 13 Zoom Air Vomero Femme Chaussures Bleu Nike Blue ## pour voir la sortie
print(r)
# et la vérifier
print(r*r)
##

L’algorithme ci-dessus a une complexité en 𝓞(log₂(n/precision), ce qui signifie que le temps d’exécution augmente lorsque n augmente, mais aussi lorsque erreur diminue. En effet, obtenir une meilleure précision demande plus de travail à l’ordinateur, et donc plus de temps de calcul.