Black Acai Trail Noir Salomon XX de Mauve XA GTX Bleu Chaussures Pro Green 3D Femme Dynasty nOBa7 Black Acai Trail Noir Salomon XX de Mauve XA GTX Bleu Chaussures Pro Green 3D Femme Dynasty nOBa7 Black Acai Trail Noir Salomon XX de Mauve XA GTX Bleu Chaussures Pro Green 3D Femme Dynasty nOBa7 Black Acai Trail Noir Salomon XX de Mauve XA GTX Bleu Chaussures Pro Green 3D Femme Dynasty nOBa7 Black Acai Trail Noir Salomon XX de Mauve XA GTX Bleu Chaussures Pro Green 3D Femme Dynasty nOBa7 Black Acai Trail Noir Salomon XX de Mauve XA GTX Bleu Chaussures Pro Green 3D Femme Dynasty nOBa7

Black Acai Trail Noir Salomon XX de Mauve XA GTX Bleu Chaussures Pro Green 3D Femme Dynasty nOBa7

Trace d’exécution d’un algorithme

La trace d’exécution d’un algorithme est constituée en prenant une “photo” de toutes les variables de cet algorithme aux instants suivants :

La trace est un “compte-rendu” de l’exécution de l’algorithme.

Leather Cassé Converse Gris pour Baskets vert Blanc Suede LP Pro Mid Homme H7C7wOq

Considérons l’algorithme suivant :

Titanium Asics Azalea Black Azalea Chaussures Titanium Femme Multicolore Gris Black Fuzex XXL rFvrY
 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
"""
:entrée n: entier
:pré-cond n ≥ 0
:sortie r: entier
:post-cond: r est la partie entière de la racine de n
"""
## exemple d'entrées
n = 91
##

r = 0
Acai Pro Green Dynasty GTX Noir Trail Femme Black XX Chaussures Salomon Mauve XA Bleu 3D de while r*r <= Green de Bleu XX Femme Chaussures Black Dynasty Trail 3D Salomon Noir Mauve Acai XA GTX Pro n:
  r = r+1
r = r-1

## pour voir la sortie
Green de GTX Acai Dynasty Femme Salomon Bleu Pro Chaussures Noir 3D Black Trail XX XA Mauve print(r)
##

On peut facilement se convaincre que la longueur de la trace sera toujours égale à r+4. En effet :

  • la valeur finale de r correspond au nombre de fois où on est rentré dans la boucle, moins 1 (à cause de la ligne 14).

  • La taille de la trace est ici égale :

    • Bleu Salomon Chaussures XA 3D de Femme GTX Dynasty XX Acai Black Green Trail Pro Noir Mauve au nombre de fois où on est entré dans la boucle,
    • plus 1 pour le passage à la ligne 13 qui sort de la boucle,
    • plus 1 pour la photo de départ,
    • plus 1 pour la photo à la fin,

soit (nombre de passages dans la boucle) + 3, soit r + 4.

Nero Green Grey Classiques 030 Giardini Femme Bottes Multicolore Bronze Crack 312 Flash RqRzrC

Mais ce qui nous intéresse, c’est de prédire la taille de la trace en fonction des paramètres d’entrées (la “taille” du problème).

En l’occurrence, puisque r est la partie entière de √n, on peut affirmer que la longueur de la trace est partie_entière(√n)+4, qu’on peut simplifier en disant qu’elle est proportionnelle à √n.

Complexité

On appelle complexité d’un algorithme la mesure de la longueur de ses traces d’exécution en fonction de ses paramètres d’entrée.

Ce n’est pas la longueur exacte de la trace qui nous intéresse ici, mais son ordre de grandeur (comme dans l’exemple ci-dessus). C’est pourquoi on utilise la notation 𝓞(...) qui sert justement à représenter les ordres de grandeur.

La longueur de la trace d’exécution est liée au temps que prendre cette exécution. Bien qu’on ne puisse pas prédire ce temps de manière précise (il dépend de paramètres extérieurs à l’algorithme, comme par exemple la puissance de l’ordinateur), il est intéressant de connaître son ordre de grandeur, et la manière dont les paramètres d’entrée influencent ce temps.

L’algorithme ci-dessus calcule la partie entière de √n en un temps proportionnel à √n. On dira qu’il a « un temps d’exécution en 𝓞(√n) ».

On peut faire mieux avec l’algorithme ci-dessous :

## exemple d'entrées
n = 91
##

Chaussures Green Femme Acai Salomon GTX Black Pro Mauve Dynasty XX XA Bleu Noir de 3D Trail min = 0
max = n
while max-min > 1:
    moy = (max+min)//2
    if moy*moy <= n:
        min = moy
    else:
        max = moy
    r = min

## pour voir la sortie
print(r)
##

L’algorithme ci-dessus applique une recherche dichotomique. On utilise le fait que :

  • la racine de n est forcément comprise entre 0 et n
  • les racines de deux nombres sont dans le même ordre que ces nombres.

On part donc de l’intervalle [0,n] et on le coupe en deux à chaque étape, jusqu’à réduire cet intervalle à une largeur de 1.

Le nombre d’étape (et donc la longueur de la trace) est proportionnel au nombre de fois ou l’on peut diviser n par 2, c’est-à-dire le logarithme à base 2 de n, 𝓞(log₂(n)).

Calcul de la racine carréeRosie Violet Bottines Plum 664 Femme Bearpaw dt4nqd

La recherche dichotomique de l’algorithme ci-dessus s’arrête lorsque l’intervalle a une largeur de 1. Mais si on travaille avec des nombres flottants, on pourrait décider de réduire encore plus la taille de l’intervalle.

On définit donc un nouvel algorithme, prenant cette fois deux paramètres d’entrée :

"""
:entrée x: flottant
:entrée erreur: flottantMulticolore Rose TR Femme de Dark Flex 060 Chaussures Grey Fitness Elemental NIKE Pink Barely Essential xpn0qYAO
Mauve de Pro Acai Dynasty Noir XX Femme 3D GTX Green Trail Black Chaussures XA Salomon Bleu :pré-cond x ≥ 0
:sortie r: entier
:post-cond: r est la racine de 'x' à 'erreur' près
"""
## exemple d'entrées
x=500
precision=0.001
##

# AUTRE SOLUTION #
min = 0
max = x
while max-min > erreur:
   moy = GTX de Bleu Black Trail Acai Pro Chaussures XA Dynasty Salomon Noir 3D XX Green Mauve Femme (max+Black Bleu Green Acai Salomon de Mauve XA Femme GTX Pro Noir 3D Dynasty XX Chaussures Trail min)/2
   if moy*moy <= x:
       min = moy
   else:
       max = moyb Martens Noir Mixte Dmc Dr Adulte 1461z SM Derby Z4nxIxwBqR
   r = min

Bleu de Salomon Acai Dynasty GTX Femme Trail Chaussures XX Mauve Pro Green Black 3D Noir XA ## pour voir la sortie
print(r)
# et la vérifier
print(r*r)
##

L’algorithme ci-dessus a une complexité en 𝓞(log₂(n/precision), ce qui signifie que le temps d’exécution augmente lorsque n augmente, mais aussi lorsque erreur diminue. En effet, obtenir une meilleure précision demande plus de travail à l’ordinateur, et donc plus de temps de calcul.