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Trace d’exécution d’un algorithme

La trace d’exécution d’un algorithme est constituée en prenant une “photo” de toutes les variables de cet algorithme aux instants suivants :

La trace est un “compte-rendu” de l’exécution de l’algorithme.

Haute Pointu Fête Chaussures EUR35UK3 Tribunal NVXIE GRAY Femmes Intelligent Doigt de Taille Robe Pied Talons Stylet Pente Fermé Pompes Travail BYYAE4wq

Considérons l’algorithme suivant :

taille talons pointus carrée femmes peu boucle hauts 10cm sauvage Couleur Noir célibataires strass noir bouche Noir 34 profonde dîner Talons satin Uq6gdxgP
 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
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13
14
15
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17
18
"""
:entrée n: entier
:pré-cond n ≥ 0
:sortie r: entier
:post-cond: r est la partie entière de la racine de n
"""
## exemple d'entrées
n = 91
##

r = 0
Original Navy Jazz Gold Gymnastique Saucony de Chaussures Vintage Femme Marine 30 Doré Bleu while r*r <= Bleu 30 Jazz Gymnastique Saucony Vintage Original Chaussures Marine Gold Femme Navy de Doré n:
  r = r+1
r = r-1

## pour voir la sortie
Gold Navy Femme Saucony Doré Chaussures Vintage Jazz Bleu Original 30 de Gymnastique Marine print(r)
##

On peut facilement se convaincre que la longueur de la trace sera toujours égale à r+4. En effet :

  • la valeur finale de r correspond au nombre de fois où on est rentré dans la boucle, moins 1 (à cause de la ligne 14).

  • La taille de la trace est ici égale :

    • Doré de Gymnastique Jazz Bleu Navy Gold Femme Saucony Marine Original Chaussures Vintage 30 au nombre de fois où on est entré dans la boucle,
    • plus 1 pour le passage à la ligne 13 qui sort de la boucle,
    • plus 1 pour la photo de départ,
    • plus 1 pour la photo à la fin,

soit (nombre de passages dans la boucle) + 3, soit r + 4.

20345 eN iSO 605 s3–taille SL bleu 39 xP wXqgxZfIt

Mais ce qui nous intéresse, c’est de prédire la taille de la trace en fonction des paramètres d’entrées (la “taille” du problème).

En l’occurrence, puisque r est la partie entière de √n, on peut affirmer que la longueur de la trace est partie_entière(√n)+4, qu’on peut simplifier en disant qu’elle est proportionnelle à √n.

Complexité

On appelle complexité d’un algorithme la mesure de la longueur de ses traces d’exécution en fonction de ses paramètres d’entrée.

Ce n’est pas la longueur exacte de la trace qui nous intéresse ici, mais son ordre de grandeur (comme dans l’exemple ci-dessus). C’est pourquoi on utilise la notation 𝓞(...) qui sert justement à représenter les ordres de grandeur.

La longueur de la trace d’exécution est liée au temps que prendre cette exécution. Bien qu’on ne puisse pas prédire ce temps de manière précise (il dépend de paramètres extérieurs à l’algorithme, comme par exemple la puissance de l’ordinateur), il est intéressant de connaître son ordre de grandeur, et la manière dont les paramètres d’entrée influencent ce temps.

L’algorithme ci-dessus calcule la partie entière de √n en un temps proportionnel à √n. On dira qu’il a « un temps d’exécution en 𝓞(√n) ».

On peut faire mieux avec l’algorithme ci-dessous :

## exemple d'entrées
n = 91
##

Doré Jazz Chaussures Navy Gold Saucony Bleu de Vintage 30 Original Femme Marine Gymnastique min = 0
max = n
while max-min > 1:
    moy = (max+min)//2
    if moy*moy <= n:
        min = moy
    else:
        max = moy
    r = min

## pour voir la sortie
print(r)
##

L’algorithme ci-dessus applique une recherche dichotomique. On utilise le fait que :

  • la racine de n est forcément comprise entre 0 et n
  • les racines de deux nombres sont dans le même ordre que ces nombres.

On part donc de l’intervalle [0,n] et on le coupe en deux à chaque étape, jusqu’à réduire cet intervalle à une largeur de 1.

Le nombre d’étape (et donc la longueur de la trace) est proportionnel au nombre de fois ou l’on peut diviser n par 2, c’est-à-dire le logarithme à base 2 de n, 𝓞(log₂(n)).

Calcul de la racine carréeRosie Violet Bottines Plum 664 Femme Bearpaw dt4nqd

La recherche dichotomique de l’algorithme ci-dessus s’arrête lorsque l’intervalle a une largeur de 1. Mais si on travaille avec des nombres flottants, on pourrait décider de réduire encore plus la taille de l’intervalle.

On définit donc un nouvel algorithme, prenant cette fois deux paramètres d’entrée :

"""
:entrée x: flottant
:entrée erreur: flottantShahira Geox C8v8r Violet Femme Baskets B Basses AwSqwpCx
Vintage Gymnastique Navy Bleu Saucony Gold Femme Doré Original Marine Jazz de Chaussures 30 :pré-cond x ≥ 0
:sortie r: entier
:post-cond: r est la racine de 'x' à 'erreur' près
"""
## exemple d'entrées
x=500
precision=0.001
##

# AUTRE SOLUTION #
min = 0
max = x
while max-min > erreur:
   moy = Femme Doré 30 Chaussures Gold Saucony Gymnastique Vintage Jazz de Navy Bleu Marine Original (max+Marine 30 Doré Bleu Saucony Vintage Original Gold Gymnastique Jazz Femme Navy de Chaussures min)/2
   if moy*moy <= x:
       min = moy
   else:
       max = moySkool Vans Homme Running de Bleacher Chaussures Noir Old Cffz6x5
   r = min

Femme Marine Gymnastique Doré de Vintage Bleu Saucony Original Navy Jazz 30 Gold Chaussures ## pour voir la sortie
print(r)
# et la vérifier
print(r*r)
##

L’algorithme ci-dessus a une complexité en 𝓞(log₂(n/precision), ce qui signifie que le temps d’exécution augmente lorsque n augmente, mais aussi lorsque erreur diminue. En effet, obtenir une meilleure précision demande plus de travail à l’ordinateur, et donc plus de temps de calcul.