Vintage Gold Femme Doré Gymnastique Bleu Jazz Chaussures Navy de 30 Original Saucony Marine E1aq6wPa Vintage Gold Femme Doré Gymnastique Bleu Jazz Chaussures Navy de 30 Original Saucony Marine E1aq6wPa Vintage Gold Femme Doré Gymnastique Bleu Jazz Chaussures Navy de 30 Original Saucony Marine E1aq6wPa Vintage Gold Femme Doré Gymnastique Bleu Jazz Chaussures Navy de 30 Original Saucony Marine E1aq6wPa Vintage Gold Femme Doré Gymnastique Bleu Jazz Chaussures Navy de 30 Original Saucony Marine E1aq6wPa Vintage Gold Femme Doré Gymnastique Bleu Jazz Chaussures Navy de 30 Original Saucony Marine E1aq6wPa

Vintage Gold Femme Doré Gymnastique Bleu Jazz Chaussures Navy de 30 Original Saucony Marine E1aq6wPa

Trace d’exécution d’un algorithme

La trace d’exécution d’un algorithme est constituée en prenant une “photo” de toutes les variables de cet algorithme aux instants suivants :

La trace est un “compte-rendu” de l’exécution de l’algorithme.

Mgh Grey de Flux Solid Solid Grey Solid Grey adidas Running Entrainement Homme Chaussures ZX Mgh Gris Mgh BqxnOw6Tx

Considérons l’algorithme suivant :

Converse Ox Femme CT on As White Baskets Weiß Weiß Dainty Slip 4tT4rqw8
 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
"""
:entrée n: entier
:pré-cond n ≥ 0
:sortie r: entier
:post-cond: r est la partie entière de la racine de n
"""
## exemple d'entrées
n = 91
##

r = 0
de Gold Gymnastique Marine 30 Bleu Doré Saucony Chaussures Navy Original Vintage Jazz Femme while r*r <= Gymnastique Bleu Original Chaussures Femme Doré Marine Saucony 30 Gold Navy Vintage Jazz de n:
  r = r+1
r = r-1

## pour voir la sortie
Jazz Original Gold Doré Bleu Navy Femme Saucony Vintage Marine de 30 Chaussures Gymnastique print(r)
##

On peut facilement se convaincre que la longueur de la trace sera toujours égale à r+4. En effet :

  • la valeur finale de r correspond au nombre de fois où on est rentré dans la boucle, moins 1 (à cause de la ligne 14).

  • La taille de la trace est ici égale :

    • Gymnastique Original Femme Marine 30 Bleu Gold Saucony Vintage Doré Jazz Chaussures de Navy au nombre de fois où on est entré dans la boucle,
    • plus 1 pour le passage à la ligne 13 qui sort de la boucle,
    • plus 1 pour la photo de départ,
    • plus 1 pour la photo à la fin,

soit (nombre de passages dans la boucle) + 3, soit r + 4.

Noir Chaussures Balance Wt620 Femme Black de Fitness New nvPqfYOn

Mais ce qui nous intéresse, c’est de prédire la taille de la trace en fonction des paramètres d’entrées (la “taille” du problème).

En l’occurrence, puisque r est la partie entière de √n, on peut affirmer que la longueur de la trace est partie_entière(√n)+4, qu’on peut simplifier en disant qu’elle est proportionnelle à √n.

Complexité

On appelle complexité d’un algorithme la mesure de la longueur de ses traces d’exécution en fonction de ses paramètres d’entrée.

Ce n’est pas la longueur exacte de la trace qui nous intéresse ici, mais son ordre de grandeur (comme dans l’exemple ci-dessus). C’est pourquoi on utilise la notation 𝓞(...) qui sert justement à représenter les ordres de grandeur.

La longueur de la trace d’exécution est liée au temps que prendre cette exécution. Bien qu’on ne puisse pas prédire ce temps de manière précise (il dépend de paramètres extérieurs à l’algorithme, comme par exemple la puissance de l’ordinateur), il est intéressant de connaître son ordre de grandeur, et la manière dont les paramètres d’entrée influencent ce temps.

L’algorithme ci-dessus calcule la partie entière de √n en un temps proportionnel à √n. On dira qu’il a « un temps d’exécution en 𝓞(√n) ».

On peut faire mieux avec l’algorithme ci-dessous :

## exemple d'entrées
n = 91
##

30 Original Vintage de Navy Bleu Jazz Femme Saucony Marine Gymnastique Doré Chaussures Gold min = 0
max = n
while max-min > 1:
    moy = (max+min)//2
    if moy*moy <= n:
        min = moy
    else:
        max = moy
    r = min

## pour voir la sortie
print(r)
##

L’algorithme ci-dessus applique une recherche dichotomique. On utilise le fait que :

  • la racine de n est forcément comprise entre 0 et n
  • les racines de deux nombres sont dans le même ordre que ces nombres.

On part donc de l’intervalle [0,n] et on le coupe en deux à chaque étape, jusqu’à réduire cet intervalle à une largeur de 1.

Le nombre d’étape (et donc la longueur de la trace) est proportionnel au nombre de fois ou l’on peut diviser n par 2, c’est-à-dire le logarithme à base 2 de n, 𝓞(log₂(n)).

Calcul de la racine carréeRosie Violet Bottines Plum 664 Femme Bearpaw dt4nqd

La recherche dichotomique de l’algorithme ci-dessus s’arrête lorsque l’intervalle a une largeur de 1. Mais si on travaille avec des nombres flottants, on pourrait décider de réduire encore plus la taille de l’intervalle.

On définit donc un nouvel algorithme, prenant cette fois deux paramètres d’entrée :

"""
:entrée x: flottant
:entrée erreur: flottantBaskets Gore Blanc True Femme Vans Ultrarange White W00 O7pwqf4x
Navy Doré de Jazz Vintage Original Saucony 30 Bleu Femme Chaussures Gold Gymnastique Marine :pré-cond x ≥ 0
:sortie r: entier
:post-cond: r est la racine de 'x' à 'erreur' près
"""
## exemple d'entrées
x=500
precision=0.001
##

# AUTRE SOLUTION #
min = 0
max = x
while max-min > erreur:
   moy = de Doré Vintage Gold Gymnastique Saucony Navy Marine Chaussures Jazz Original 30 Femme Bleu (max+Doré de Saucony 30 Chaussures Femme Original Gymnastique Bleu Navy Gold Marine Jazz Vintage min)/2
   if moy*moy <= x:
       min = moy
   else:
       max = moyBleu Bottines Aiden Ozean 47 Adulte Turino Däumling Mixte I1wcxgq16
   r = min

Marine Femme 30 Navy Jazz Vintage Gold Chaussures Original Saucony Bleu Doré Gymnastique de ## pour voir la sortie
print(r)
# et la vérifier
print(r*r)
##

L’algorithme ci-dessus a une complexité en 𝓞(log₂(n/precision), ce qui signifie que le temps d’exécution augmente lorsque n augmente, mais aussi lorsque erreur diminue. En effet, obtenir une meilleure précision demande plus de travail à l’ordinateur, et donc plus de temps de calcul.