Prada Bleu Suède EU Femme Talon 1D046H H1Hnrzq Prada Bleu Suède EU Femme Talon 1D046H H1Hnrzq Prada Bleu Suède EU Femme Talon 1D046H H1Hnrzq Prada Bleu Suède EU Femme Talon 1D046H H1Hnrzq

Prada Bleu Suède EU Femme Talon 1D046H H1Hnrzq

Trace d’exécution d’un algorithme

La trace d’exécution d’un algorithme est constituée en prenant une “photo” de toutes les variables de cet algorithme aux instants suivants :

La trace est un “compte-rendu” de l’exécution de l’algorithme.

Chaussures Haut Sandales Métal Tampon Bottines Hauteur Ouverture Slim Bout De Ronde Banquet Femmes Tête Soirée Dentelle Brown Talon 15Cm Talon Du Ouvert Élevé P7qIU6Wz

Considérons l’algorithme suivant :

Macadames de et Femme Noir Aigle Bottines Noir Bottes Pluie UPqwWdvx
 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
"""
:entrée n: entier
:pré-cond n ≥ 0
:sortie r: entier
:post-cond: r est la partie entière de la racine de n
"""
## exemple d'entrées
n = 91
##

r = 0
Prada Talon 1D046H Bleu Suède Femme EU while r*r <= Prada EU 1D046H Bleu Femme Suède Talon n:
  r = r+1
r = r-1

## pour voir la sortie
EU Femme 1D046H Suède Bleu Prada Talon print(r)
##

On peut facilement se convaincre que la longueur de la trace sera toujours égale à r+4. En effet :

  • la valeur finale de r correspond au nombre de fois où on est rentré dans la boucle, moins 1 (à cause de la ligne 14).

  • La taille de la trace est ici égale :

    • Femme Bleu Talon Prada Suède 1D046H EU au nombre de fois où on est entré dans la boucle,
    • plus 1 pour le passage à la ligne 13 qui sort de la boucle,
    • plus 1 pour la photo de départ,
    • plus 1 pour la photo à la fin,

soit (nombre de passages dans la boucle) + 3, soit r + 4.

NVXIE Métal Stiletto Dressy Eté Bouche Automne Discothèque RED EUR45UK105 Hauts en PU Nouveau Dames Talons Noir Sexy l'eau Imperméable Chaussures Prom à Rouge à Artificielle Printemps Femmes Superficielle rt04qr

Mais ce qui nous intéresse, c’est de prédire la taille de la trace en fonction des paramètres d’entrées (la “taille” du problème).

En l’occurrence, puisque r est la partie entière de √n, on peut affirmer que la longueur de la trace est partie_entière(√n)+4, qu’on peut simplifier en disant qu’elle est proportionnelle à √n.

Complexité

On appelle complexité d’un algorithme la mesure de la longueur de ses traces d’exécution en fonction de ses paramètres d’entrée.

Ce n’est pas la longueur exacte de la trace qui nous intéresse ici, mais son ordre de grandeur (comme dans l’exemple ci-dessus). C’est pourquoi on utilise la notation 𝓞(...) qui sert justement à représenter les ordres de grandeur.

La longueur de la trace d’exécution est liée au temps que prendre cette exécution. Bien qu’on ne puisse pas prédire ce temps de manière précise (il dépend de paramètres extérieurs à l’algorithme, comme par exemple la puissance de l’ordinateur), il est intéressant de connaître son ordre de grandeur, et la manière dont les paramètres d’entrée influencent ce temps.

L’algorithme ci-dessus calcule la partie entière de √n en un temps proportionnel à √n. On dira qu’il a « un temps d’exécution en 𝓞(√n) ».

On peut faire mieux avec l’algorithme ci-dessous :

## exemple d'entrées
n = 91
##

Prada 1D046H Talon Suède Bleu EU Femme min = 0
max = n
while max-min > 1:
    moy = (max+min)//2
    if moy*moy <= n:
        min = moy
    else:
        max = moy
    r = min

## pour voir la sortie
print(r)
##

L’algorithme ci-dessus applique une recherche dichotomique. On utilise le fait que :

  • la racine de n est forcément comprise entre 0 et n
  • les racines de deux nombres sont dans le même ordre que ces nombres.

On part donc de l’intervalle [0,n] et on le coupe en deux à chaque étape, jusqu’à réduire cet intervalle à une largeur de 1.

Le nombre d’étape (et donc la longueur de la trace) est proportionnel au nombre de fois ou l’on peut diviser n par 2, c’est-à-dire le logarithme à base 2 de n, 𝓞(log₂(n)).

Calcul de la racine carréeRosie Violet Bottines Plum 664 Femme Bearpaw dt4nqd

La recherche dichotomique de l’algorithme ci-dessus s’arrête lorsque l’intervalle a une largeur de 1. Mais si on travaille avec des nombres flottants, on pourrait décider de réduire encore plus la taille de l’intervalle.

On définit donc un nouvel algorithme, prenant cette fois deux paramètres d’entrée :

"""
:entrée x: flottant
:entrée erreur: flottantFemme Baskets Saucony Jazz Original Yellow White Vintage nOq4IWq
Talon EU Suède Prada 1D046H Femme Bleu :pré-cond x ≥ 0
:sortie r: entier
:post-cond: r est la racine de 'x' à 'erreur' près
"""
## exemple d'entrées
x=500
precision=0.001
##

# AUTRE SOLUTION #
min = 0
max = x
while max-min > erreur:
   moy = Femme Prada 1D046H Talon EU Bleu Suède (max+Bleu Prada Talon Femme 1D046H Suède EU min)/2
   if moy*moy <= x:
       min = moy
   else:
       max = moyJACQUEMUS Escarpins Suède 173FO0117350990 Femme Noir SwSq0pZz
   r = min

Bleu Suède Talon 1D046H EU Prada Femme ## pour voir la sortie
print(r)
# et la vérifier
print(r*r)
##

L’algorithme ci-dessus a une complexité en 𝓞(log₂(n/precision), ce qui signifie que le temps d’exécution augmente lorsque n augmente, mais aussi lorsque erreur diminue. En effet, obtenir une meilleure précision demande plus de travail à l’ordinateur, et donc plus de temps de calcul.