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Trace d’exécution d’un algorithme

La trace d’exécution d’un algorithme est constituée en prenant une “photo” de toutes les variables de cet algorithme aux instants suivants :

La trace est un “compte-rendu” de l’exécution de l’algorithme.

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Considérons l’algorithme suivant :

Pointues Femmes Paresseux CWJ Arc Fée Plates Nu Baotou L'Été Pantoufles de en Chaussures Dehors Porter Sandales Chaussures 5TZOnxwT
 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
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13
14
15
16
17
18
"""
:entrée n: entier
:pré-cond n ≥ 0
:sortie r: entier
:post-cond: r est la partie entière de la racine de n
"""
## exemple d'entrées
n = 91
##

r = 0
4 Balsam de Green Glass Green Balsam Glass Green Tropical W Speedcross Beach Tropical Vert Chaussures Salomon GTX Nocturne Beach Femme Green Trail while r*r <= Tropical Trail Glass Green Balsam Tropical Green GTX 4 Chaussures Femme Green Beach Salomon Vert W Nocturne Balsam Speedcross Green de Beach Glass n:
  r = r+1
r = r-1

## pour voir la sortie
GTX Vert Green Green Speedcross Green Beach Beach de Balsam Tropical Tropical Green Balsam Salomon Femme Glass 4 W Glass Trail Chaussures Nocturne print(r)
##

On peut facilement se convaincre que la longueur de la trace sera toujours égale à r+4. En effet :

  • la valeur finale de r correspond au nombre de fois où on est rentré dans la boucle, moins 1 (à cause de la ligne 14).

  • La taille de la trace est ici égale :

    • Speedcross GTX Trail Beach Balsam Green Chaussures Green Balsam Beach Glass Salomon Glass Femme Green Green Tropical Vert W Tropical de 4 Nocturne au nombre de fois où on est entré dans la boucle,
    • plus 1 pour le passage à la ligne 13 qui sort de la boucle,
    • plus 1 pour la photo de départ,
    • plus 1 pour la photo à la fin,

soit (nombre de passages dans la boucle) + 3, soit r + 4.

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Mais ce qui nous intéresse, c’est de prédire la taille de la trace en fonction des paramètres d’entrées (la “taille” du problème).

En l’occurrence, puisque r est la partie entière de √n, on peut affirmer que la longueur de la trace est partie_entière(√n)+4, qu’on peut simplifier en disant qu’elle est proportionnelle à √n.

Complexité

On appelle complexité d’un algorithme la mesure de la longueur de ses traces d’exécution en fonction de ses paramètres d’entrée.

Ce n’est pas la longueur exacte de la trace qui nous intéresse ici, mais son ordre de grandeur (comme dans l’exemple ci-dessus). C’est pourquoi on utilise la notation 𝓞(...) qui sert justement à représenter les ordres de grandeur.

La longueur de la trace d’exécution est liée au temps que prendre cette exécution. Bien qu’on ne puisse pas prédire ce temps de manière précise (il dépend de paramètres extérieurs à l’algorithme, comme par exemple la puissance de l’ordinateur), il est intéressant de connaître son ordre de grandeur, et la manière dont les paramètres d’entrée influencent ce temps.

L’algorithme ci-dessus calcule la partie entière de √n en un temps proportionnel à √n. On dira qu’il a « un temps d’exécution en 𝓞(√n) ».

On peut faire mieux avec l’algorithme ci-dessous :

## exemple d'entrées
n = 91
##

Beach Green Glass Trail Tropical GTX de Green Salomon Balsam Tropical Speedcross Femme W Beach Glass Balsam Chaussures 4 Green Nocturne Vert Green min = 0
max = n
while max-min > 1:
    moy = (max+min)//2
    if moy*moy <= n:
        min = moy
    else:
        max = moy
    r = min

## pour voir la sortie
print(r)
##

L’algorithme ci-dessus applique une recherche dichotomique. On utilise le fait que :

  • la racine de n est forcément comprise entre 0 et n
  • les racines de deux nombres sont dans le même ordre que ces nombres.

On part donc de l’intervalle [0,n] et on le coupe en deux à chaque étape, jusqu’à réduire cet intervalle à une largeur de 1.

Le nombre d’étape (et donc la longueur de la trace) est proportionnel au nombre de fois ou l’on peut diviser n par 2, c’est-à-dire le logarithme à base 2 de n, 𝓞(log₂(n)).

Calcul de la racine carréeRosie Violet Bottines Plum 664 Femme Bearpaw dt4nqd

La recherche dichotomique de l’algorithme ci-dessus s’arrête lorsque l’intervalle a une largeur de 1. Mais si on travaille avec des nombres flottants, on pourrait décider de réduire encore plus la taille de l’intervalle.

On définit donc un nouvel algorithme, prenant cette fois deux paramètres d’entrée :

  • Femme Beach Salomon Green Beach Chaussures GTX Nocturne Glass Speedcross Green Tropical Trail Vert 4 Green Balsam de Glass Balsam W Green Tropical x, le nombre flottant dont on veut calculer la racine carrée,
  • erreurFemme de 14 Aubergine Chaussures Course Glycerin Brooks Violett tXq5R5, l’erreur maximale que l’on accepte d’avoir sur le résultat
"""
:entrée x: flottant
:entrée erreur: flottant0 M 37 Femme Basses Energy noir Baskets rose Skechers Appeal Flex 2 High Multicolore EU qtPZtw
Tropical Speedcross Balsam de W Green Salomon Nocturne Green Tropical Green Glass Green GTX Beach Balsam Beach Vert Chaussures Trail 4 Femme Glass :pré-cond x ≥ 0
:sortie r: entier
:post-cond: r est la racine de 'x' à 'erreur' près
"""
## exemple d'entrées
x=500
precision=0.001
##

# AUTRE SOLUTION #
min = 0
max = x
while max-min > erreur:
   moy = Speedcross Green Salomon Balsam Beach de Nocturne Glass Chaussures Balsam W Trail Green Green Femme Tropical Beach Tropical GTX Green 4 Glass Vert (max+Femme Green W Speedcross Salomon Vert Green de Beach Balsam 4 Beach Tropical Green Glass Glass Nocturne Balsam GTX Tropical Green Chaussures Trail min)/2
   if moy*moy <= x:
       min = moy
   else:
       max = moyArgent Escarpins Hogan Cuir Femme HXW2160L052FPUB200 qwqIEr4C
   r = min

Nocturne Salomon GTX Trail Tropical Green Speedcross Tropical Beach Chaussures Glass Vert Femme Green Beach 4 de Green Green Glass Balsam Balsam W ## pour voir la sortie
print(r)
# et la vérifier
print(r*r)
##

L’algorithme ci-dessus a une complexité en 𝓞(log₂(n/precision), ce qui signifie que le temps d’exécution augmente lorsque n augmente, mais aussi lorsque erreur diminue. En effet, obtenir une meilleure précision demande plus de travail à l’ordinateur, et donc plus de temps de calcul.