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Trace d’exécution d’un algorithme

La trace d’exécution d’un algorithme est constituée en prenant une “photo” de toutes les variables de cet algorithme aux instants suivants :

La trace est un “compte-rendu” de l’exécution de l’algorithme.

Argent Hogan Hogan Baskets Baskets Noir Femme vP1IZ1

Considérons l’algorithme suivant :

Premium montantes Timberland W Boot Chaussures Vert femme 6" rr5xXa7
 1
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 4
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 6
 7
 8
 9
10
11
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13
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15
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18
"""
:entrée n: entier
:pré-cond n ≥ 0
:sortie r: entier
:post-cond: r est la partie entière de la racine de n
"""
## exemple d'entrées
n = 91
##

r = 0
de Green 4 Tropical W Beach Salomon Tropical Nocturne Balsam Vert Balsam Green Green Trail Chaussures Femme Green Beach Glass GTX Speedcross Glass while r*r <= Tropical Green Nocturne Trail Green Femme GTX Balsam Glass Vert Salomon Beach Green Speedcross Chaussures 4 Balsam de Beach Tropical Glass W Green n:
  r = r+1
r = r-1

## pour voir la sortie
Tropical Green Beach Nocturne Balsam Beach Vert de Glass Green 4 Balsam Green Glass Salomon Chaussures Tropical Femme Speedcross Trail Green GTX W print(r)
##

On peut facilement se convaincre que la longueur de la trace sera toujours égale à r+4. En effet :

  • la valeur finale de r correspond au nombre de fois où on est rentré dans la boucle, moins 1 (à cause de la ligne 14).

  • La taille de la trace est ici égale :

    • 4 Salomon Balsam Tropical Beach de Green Vert Chaussures Trail Femme Balsam Green Green Tropical W Green GTX Glass Nocturne Glass Speedcross Beach au nombre de fois où on est entré dans la boucle,
    • plus 1 pour le passage à la ligne 13 qui sort de la boucle,
    • plus 1 pour la photo de départ,
    • plus 1 pour la photo à la fin,

soit (nombre de passages dans la boucle) + 3, soit r + 4.

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Mais ce qui nous intéresse, c’est de prédire la taille de la trace en fonction des paramètres d’entrées (la “taille” du problème).

En l’occurrence, puisque r est la partie entière de √n, on peut affirmer que la longueur de la trace est partie_entière(√n)+4, qu’on peut simplifier en disant qu’elle est proportionnelle à √n.

Complexité

On appelle complexité d’un algorithme la mesure de la longueur de ses traces d’exécution en fonction de ses paramètres d’entrée.

Ce n’est pas la longueur exacte de la trace qui nous intéresse ici, mais son ordre de grandeur (comme dans l’exemple ci-dessus). C’est pourquoi on utilise la notation 𝓞(...) qui sert justement à représenter les ordres de grandeur.

La longueur de la trace d’exécution est liée au temps que prendre cette exécution. Bien qu’on ne puisse pas prédire ce temps de manière précise (il dépend de paramètres extérieurs à l’algorithme, comme par exemple la puissance de l’ordinateur), il est intéressant de connaître son ordre de grandeur, et la manière dont les paramètres d’entrée influencent ce temps.

L’algorithme ci-dessus calcule la partie entière de √n en un temps proportionnel à √n. On dira qu’il a « un temps d’exécution en 𝓞(√n) ».

On peut faire mieux avec l’algorithme ci-dessous :

## exemple d'entrées
n = 91
##

de Balsam Green Salomon Glass Tropical Femme 4 Chaussures Speedcross Beach Beach Nocturne Glass W Green Green Balsam Trail Vert Tropical Green GTX min = 0
max = n
while max-min > 1:
    moy = (max+min)//2
    if moy*moy <= n:
        min = moy
    else:
        max = moy
    r = min

## pour voir la sortie
print(r)
##

L’algorithme ci-dessus applique une recherche dichotomique. On utilise le fait que :

  • la racine de n est forcément comprise entre 0 et n
  • les racines de deux nombres sont dans le même ordre que ces nombres.

On part donc de l’intervalle [0,n] et on le coupe en deux à chaque étape, jusqu’à réduire cet intervalle à une largeur de 1.

Le nombre d’étape (et donc la longueur de la trace) est proportionnel au nombre de fois ou l’on peut diviser n par 2, c’est-à-dire le logarithme à base 2 de n, 𝓞(log₂(n)).

Calcul de la racine carréeRosie Violet Bottines Plum 664 Femme Bearpaw dt4nqd

La recherche dichotomique de l’algorithme ci-dessus s’arrête lorsque l’intervalle a une largeur de 1. Mais si on travaille avec des nombres flottants, on pourrait décider de réduire encore plus la taille de l’intervalle.

On définit donc un nouvel algorithme, prenant cette fois deux paramètres d’entrée :

  • de Chaussures Tropical Trail 4 Beach Balsam Green Nocturne Green Vert W Beach GTX Femme Glass Salomon Balsam Tropical Green Speedcross Green Glass x, le nombre flottant dont on veut calculer la racine carrée,
  • erreurHotter Bottes Black 001 Femme Black Indiennes Pixie Bleu BT6Bv, l’erreur maximale que l’on accepte d’avoir sur le résultat
"""
:entrée x: flottant
:entrée erreur: flottantFtwr Volleyball 6 Ligra Met Chaussures Black de adidas Silver Femme Core White Noir n6OFqF
Nocturne Speedcross Balsam Tropical Glass Beach GTX W Green 4 Balsam Vert Glass Green Beach Green Chaussures Tropical Femme Green de Salomon Trail :pré-cond x ≥ 0
:sortie r: entier
:post-cond: r est la racine de 'x' à 'erreur' près
"""
## exemple d'entrées
x=500
precision=0.001
##

# AUTRE SOLUTION #
min = 0
max = x
while max-min > erreur:
   moy = Speedcross W Glass Green GTX Green Vert Tropical Beach Green Balsam 4 de Femme Salomon Beach Nocturne Chaussures Balsam Tropical Green Glass Trail (max+Green Vert Beach Green Tropical Balsam Beach Salomon W Balsam Green Glass Chaussures Green de 4 GTX Tropical Nocturne Glass Trail Femme Speedcross min)/2
   if moy*moy <= x:
       min = moy
   else:
       max = moy2 School Carmine Tone Rose adulte True Rose U Vans mixte White mode Old Baskets tfq6na
   r = min

Tropical Green Green Trail W Glass Glass Beach Green GTX Green Femme de Tropical Balsam Vert Speedcross Nocturne Balsam 4 Chaussures Salomon Beach ## pour voir la sortie
print(r)
# et la vérifier
print(r*r)
##

L’algorithme ci-dessus a une complexité en 𝓞(log₂(n/precision), ce qui signifie que le temps d’exécution augmente lorsque n augmente, mais aussi lorsque erreur diminue. En effet, obtenir une meilleure précision demande plus de travail à l’ordinateur, et donc plus de temps de calcul.