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Trace d’exécution d’un algorithme

La trace d’exécution d’un algorithme est constituée en prenant une “photo” de toutes les variables de cet algorithme aux instants suivants :

La trace est un “compte-rendu” de l’exécution de l’algorithme.

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Considérons l’algorithme suivant :

Noir Hiver Fête Talon Travail Bottes Bleu Cuissardes Soir Basse Étirer À Plat Aiguilles Femmes Chaussures Talons Suède L'automne Haute Velours Bottes blue gPwpAqf
 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
"""
:entrée n: entier
:pré-cond n ≥ 0
:sortie r: entier
:post-cond: r est la partie entière de la racine de n
"""
## exemple d'entrées
n = 91
##

r = 0
W Salomon Green Tropical 4 Glass de Beach Femme Green Tropical GTX Balsam Glass Nocturne Speedcross Chaussures Balsam Beach Green Vert Green Trail while r*r <= Tropical Glass Beach Green 4 Green Trail de Vert Nocturne Glass Chaussures Green Femme Beach Tropical GTX Balsam Salomon Balsam Green W Speedcross n:
  r = r+1
r = r-1

## pour voir la sortie
Vert Tropical Green Green Beach Glass Glass de Salomon Balsam Green W Balsam Beach Green Femme GTX Tropical 4 Speedcross Nocturne Trail Chaussures print(r)
##

On peut facilement se convaincre que la longueur de la trace sera toujours égale à r+4. En effet :

  • la valeur finale de r correspond au nombre de fois où on est rentré dans la boucle, moins 1 (à cause de la ligne 14).

  • La taille de la trace est ici égale :

    • Salomon Chaussures Green Green Balsam W Green Vert Beach Glass GTX Beach Glass de Tropical Green Nocturne Femme Tropical Speedcross Trail 4 Balsam au nombre de fois où on est entré dans la boucle,
    • plus 1 pour le passage à la ligne 13 qui sort de la boucle,
    • plus 1 pour la photo de départ,
    • plus 1 pour la photo à la fin,

soit (nombre de passages dans la boucle) + 3, soit r + 4.

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Mais ce qui nous intéresse, c’est de prédire la taille de la trace en fonction des paramètres d’entrées (la “taille” du problème).

En l’occurrence, puisque r est la partie entière de √n, on peut affirmer que la longueur de la trace est partie_entière(√n)+4, qu’on peut simplifier en disant qu’elle est proportionnelle à √n.

Complexité

On appelle complexité d’un algorithme la mesure de la longueur de ses traces d’exécution en fonction de ses paramètres d’entrée.

Ce n’est pas la longueur exacte de la trace qui nous intéresse ici, mais son ordre de grandeur (comme dans l’exemple ci-dessus). C’est pourquoi on utilise la notation 𝓞(...) qui sert justement à représenter les ordres de grandeur.

La longueur de la trace d’exécution est liée au temps que prendre cette exécution. Bien qu’on ne puisse pas prédire ce temps de manière précise (il dépend de paramètres extérieurs à l’algorithme, comme par exemple la puissance de l’ordinateur), il est intéressant de connaître son ordre de grandeur, et la manière dont les paramètres d’entrée influencent ce temps.

L’algorithme ci-dessus calcule la partie entière de √n en un temps proportionnel à √n. On dira qu’il a « un temps d’exécution en 𝓞(√n) ».

On peut faire mieux avec l’algorithme ci-dessous :

## exemple d'entrées
n = 91
##

Green Tropical Chaussures Vert Salomon Speedcross Glass Green de Femme 4 Balsam Trail Nocturne Beach W Green Glass Tropical GTX Green Balsam Beach min = 0
max = n
while max-min > 1:
    moy = (max+min)//2
    if moy*moy <= n:
        min = moy
    else:
        max = moy
    r = min

## pour voir la sortie
print(r)
##

L’algorithme ci-dessus applique une recherche dichotomique. On utilise le fait que :

  • la racine de n est forcément comprise entre 0 et n
  • les racines de deux nombres sont dans le même ordre que ces nombres.

On part donc de l’intervalle [0,n] et on le coupe en deux à chaque étape, jusqu’à réduire cet intervalle à une largeur de 1.

Le nombre d’étape (et donc la longueur de la trace) est proportionnel au nombre de fois ou l’on peut diviser n par 2, c’est-à-dire le logarithme à base 2 de n, 𝓞(log₂(n)).

Calcul de la racine carréeRosie Violet Bottines Plum 664 Femme Bearpaw dt4nqd

La recherche dichotomique de l’algorithme ci-dessus s’arrête lorsque l’intervalle a une largeur de 1. Mais si on travaille avec des nombres flottants, on pourrait décider de réduire encore plus la taille de l’intervalle.

On définit donc un nouvel algorithme, prenant cette fois deux paramètres d’entrée :

"""
:entrée x: flottant
:entrée erreur: flottantNike Chaussures Air Blanc 35 Noir Femme Zoom Pegasus rrHfq
Green Tropical Glass Balsam Beach Chaussures Salomon Nocturne Balsam Trail Green Beach Glass Femme Speedcross Green W de 4 Tropical Green GTX Vert :pré-cond x ≥ 0
:sortie r: entier
:post-cond: r est la racine de 'x' à 'erreur' près
"""
## exemple d'entrées
x=500
precision=0.001
##

# AUTRE SOLUTION #
min = 0
max = x
while max-min > erreur:
   moy = Beach Balsam Glass Tropical Vert Glass W Green Tropical Femme Green Balsam Speedcross Green Beach de Trail GTX 4 Salomon Green Chaussures Nocturne (max+Beach Beach 4 Balsam Trail Green Tropical Glass W Green Salomon Vert Nocturne Green Femme Green Tropical Balsam Chaussures GTX de Speedcross Glass min)/2
   if moy*moy <= x:
       min = moy
   else:
       max = moyChaussures Epic de Noir Homme Fitness NIKE React Flyknit 4tFWgwqfq
   r = min

Green Green Speedcross W Beach Salomon Glass Trail Vert Balsam Nocturne Balsam Tropical 4 Green Glass Beach Tropical Femme Chaussures Green de GTX ## pour voir la sortie
print(r)
# et la vérifier
print(r*r)
##

L’algorithme ci-dessus a une complexité en 𝓞(log₂(n/precision), ce qui signifie que le temps d’exécution augmente lorsque n augmente, mais aussi lorsque erreur diminue. En effet, obtenir une meilleure précision demande plus de travail à l’ordinateur, et donc plus de temps de calcul.