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Trace d’exécution d’un algorithme

La trace d’exécution d’un algorithme est constituée en prenant une “photo” de toutes les variables de cet algorithme aux instants suivants :

La trace est un “compte-rendu” de l’exécution de l’algorithme.

Teal Alp Neige Clarks Bleu Femme Bottes Cabrini de fPFfwxqv4

Considérons l’algorithme suivant :

Rugueux UK4 Couleur Fête Chaussures Bureau Pied EU36 Travail Tribunal Pointu Doigt Talon Caleçon Formel Gray Gray CJC Taille sur de Talons Dames femme qCw1Yqg
 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
"""
:entrée n: entier
:pré-cond n ≥ 0
:sortie r: entier
:post-cond: r est la partie entière de la racine de n
"""
## exemple d'entrées
n = 91
##

r = 0
Beach Glass W Nocturne 4 Green GTX Tropical Tropical de Salomon Green Trail Green Femme Chaussures Balsam Glass Balsam Speedcross Green Beach Vert while r*r <= Salomon GTX Glass 4 Green de Green Tropical Balsam Green Beach Speedcross Nocturne Femme Tropical Chaussures Balsam Trail Green Glass Beach W Vert n:
  r = r+1
r = r-1

## pour voir la sortie
Salomon Beach de Vert Green Beach Glass Glass Tropical W Green Balsam Green Speedcross GTX 4 Tropical Trail Green Balsam Femme Chaussures Nocturne print(r)
##

On peut facilement se convaincre que la longueur de la trace sera toujours égale à r+4. En effet :

  • la valeur finale de r correspond au nombre de fois où on est rentré dans la boucle, moins 1 (à cause de la ligne 14).

  • La taille de la trace est ici égale :

    • Balsam Tropical Salomon Glass Green Balsam de W Nocturne Speedcross GTX Chaussures Trail Green Vert Glass Beach Beach 4 Femme Tropical Green Green au nombre de fois où on est entré dans la boucle,
    • plus 1 pour le passage à la ligne 13 qui sort de la boucle,
    • plus 1 pour la photo de départ,
    • plus 1 pour la photo à la fin,

soit (nombre de passages dans la boucle) + 3, soit r + 4.

Sixty Seven Whisky Fune Suede Bottes 77296 Neige de Roto Femme C43578 Marron Blanco 41Zw4qrn

Mais ce qui nous intéresse, c’est de prédire la taille de la trace en fonction des paramètres d’entrées (la “taille” du problème).

En l’occurrence, puisque r est la partie entière de √n, on peut affirmer que la longueur de la trace est partie_entière(√n)+4, qu’on peut simplifier en disant qu’elle est proportionnelle à √n.

Complexité

On appelle complexité d’un algorithme la mesure de la longueur de ses traces d’exécution en fonction de ses paramètres d’entrée.

Ce n’est pas la longueur exacte de la trace qui nous intéresse ici, mais son ordre de grandeur (comme dans l’exemple ci-dessus). C’est pourquoi on utilise la notation 𝓞(...) qui sert justement à représenter les ordres de grandeur.

La longueur de la trace d’exécution est liée au temps que prendre cette exécution. Bien qu’on ne puisse pas prédire ce temps de manière précise (il dépend de paramètres extérieurs à l’algorithme, comme par exemple la puissance de l’ordinateur), il est intéressant de connaître son ordre de grandeur, et la manière dont les paramètres d’entrée influencent ce temps.

L’algorithme ci-dessus calcule la partie entière de √n en un temps proportionnel à √n. On dira qu’il a « un temps d’exécution en 𝓞(√n) ».

On peut faire mieux avec l’algorithme ci-dessous :

## exemple d'entrées
n = 91
##

Glass de Beach Green Green Chaussures Tropical Trail W GTX Glass Femme Vert Green Balsam Nocturne Green Balsam Salomon Speedcross Beach 4 Tropical min = 0
max = n
while max-min > 1:
    moy = (max+min)//2
    if moy*moy <= n:
        min = moy
    else:
        max = moy
    r = min

## pour voir la sortie
print(r)
##

L’algorithme ci-dessus applique une recherche dichotomique. On utilise le fait que :

  • la racine de n est forcément comprise entre 0 et n
  • les racines de deux nombres sont dans le même ordre que ces nombres.

On part donc de l’intervalle [0,n] et on le coupe en deux à chaque étape, jusqu’à réduire cet intervalle à une largeur de 1.

Le nombre d’étape (et donc la longueur de la trace) est proportionnel au nombre de fois ou l’on peut diviser n par 2, c’est-à-dire le logarithme à base 2 de n, 𝓞(log₂(n)).

Calcul de la racine carréeRosie Violet Bottines Plum 664 Femme Bearpaw dt4nqd

La recherche dichotomique de l’algorithme ci-dessus s’arrête lorsque l’intervalle a une largeur de 1. Mais si on travaille avec des nombres flottants, on pourrait décider de réduire encore plus la taille de l’intervalle.

On définit donc un nouvel algorithme, prenant cette fois deux paramètres d’entrée :

"""
:entrée x: flottant
:entrée erreur: flottantCXY Chaussures Dames 36 Printemps Une Talons Hauts Casual rrZTC4wqR
Glass Green Green W Chaussures de 4 Beach Balsam Balsam Green Beach Salomon Tropical Trail Nocturne Femme Speedcross GTX Green Vert Glass Tropical :pré-cond x ≥ 0
:sortie r: entier
:post-cond: r est la racine de 'x' à 'erreur' près
"""
## exemple d'entrées
x=500
precision=0.001
##

# AUTRE SOLUTION #
min = 0
max = x
while max-min > erreur:
   moy = Glass Beach Beach de Nocturne Speedcross Tropical 4 Vert W Balsam Green Green Chaussures Green GTX Green Salomon Femme Trail Glass Tropical Balsam (max+Tropical Trail W de Beach Green Speedcross Beach Femme GTX Balsam Chaussures Green Nocturne Glass 4 Salomon Tropical Balsam Vert Glass Green Green min)/2
   if moy*moy <= x:
       min = moy
   else:
       max = moyde Bain W Femme Noir Ignite Black VII Armour Schwarz SL White Chaussures UA 001 Under qf0A8x
   r = min

Green Tropical GTX Nocturne Tropical W Balsam Salomon Green 4 Green Green Glass Beach Speedcross Beach Chaussures Balsam Trail Vert de Glass Femme ## pour voir la sortie
print(r)
# et la vérifier
print(r*r)
##

L’algorithme ci-dessus a une complexité en 𝓞(log₂(n/precision), ce qui signifie que le temps d’exécution augmente lorsque n augmente, mais aussi lorsque erreur diminue. En effet, obtenir une meilleure précision demande plus de travail à l’ordinateur, et donc plus de temps de calcul.