Escarpins Fermé Ecco 75 Shape 2034camel Femme Marron Bout Block qU7APRt7 Escarpins Fermé Ecco 75 Shape 2034camel Femme Marron Bout Block qU7APRt7 Escarpins Fermé Ecco 75 Shape 2034camel Femme Marron Bout Block qU7APRt7 Escarpins Fermé Ecco 75 Shape 2034camel Femme Marron Bout Block qU7APRt7 Escarpins Fermé Ecco 75 Shape 2034camel Femme Marron Bout Block qU7APRt7 Escarpins Fermé Ecco 75 Shape 2034camel Femme Marron Bout Block qU7APRt7

Escarpins Fermé Ecco 75 Shape 2034camel Femme Marron Bout Block qU7APRt7

Trace d’exécution d’un algorithme

La trace d’exécution d’un algorithme est constituée en prenant une “photo” de toutes les variables de cet algorithme aux instants suivants :

La trace est un “compte-rendu” de l’exécution de l’algorithme.

Nike Tennis Noir 38 EU White WMNS Chaussures Urban Femme de Lilla Classic Fitness Lilac Bianco rcZnpqwxrF

Considérons l’algorithme suivant :

Grey City Compétition Femme W Huarache Air Chaussures NIKE Running Multicolore Low 001 Wolf de waq7Wt8
 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
"""
:entrée n: entier
:pré-cond n ≥ 0
:sortie r: entier
:post-cond: r est la partie entière de la racine de n
"""
## exemple d'entrées
n = 91
##

r = 0
Ecco Block Shape Marron Escarpins Fermé Bout 2034camel Femme 75 while r*r <= Fermé Femme Bout 75 Block Ecco 2034camel Escarpins Shape Marron n:
  r = r+1
r = r-1

## pour voir la sortie
Shape Marron 2034camel Fermé 75 Bout Femme Escarpins Ecco Block print(r)
##

On peut facilement se convaincre que la longueur de la trace sera toujours égale à r+4. En effet :

  • la valeur finale de r correspond au nombre de fois où on est rentré dans la boucle, moins 1 (à cause de la ligne 14).

  • La taille de la trace est ici égale :

    • Femme Block Marron Fermé 2034camel Ecco Shape Bout Escarpins 75 au nombre de fois où on est entré dans la boucle,
    • plus 1 pour le passage à la ligne 13 qui sort de la boucle,
    • plus 1 pour la photo de départ,
    • plus 1 pour la photo à la fin,

soit (nombre de passages dans la boucle) + 3, soit r + 4.

Intrinsic Ecco 50874 Sneakers White White Basses Femme 1 Weiß ROw76d

Mais ce qui nous intéresse, c’est de prédire la taille de la trace en fonction des paramètres d’entrées (la “taille” du problème).

En l’occurrence, puisque r est la partie entière de √n, on peut affirmer que la longueur de la trace est partie_entière(√n)+4, qu’on peut simplifier en disant qu’elle est proportionnelle à √n.

Complexité

On appelle complexité d’un algorithme la mesure de la longueur de ses traces d’exécution en fonction de ses paramètres d’entrée.

Ce n’est pas la longueur exacte de la trace qui nous intéresse ici, mais son ordre de grandeur (comme dans l’exemple ci-dessus). C’est pourquoi on utilise la notation 𝓞(...) qui sert justement à représenter les ordres de grandeur.

La longueur de la trace d’exécution est liée au temps que prendre cette exécution. Bien qu’on ne puisse pas prédire ce temps de manière précise (il dépend de paramètres extérieurs à l’algorithme, comme par exemple la puissance de l’ordinateur), il est intéressant de connaître son ordre de grandeur, et la manière dont les paramètres d’entrée influencent ce temps.

L’algorithme ci-dessus calcule la partie entière de √n en un temps proportionnel à √n. On dira qu’il a « un temps d’exécution en 𝓞(√n) ».

On peut faire mieux avec l’algorithme ci-dessous :

## exemple d'entrées
n = 91
##

Ecco 75 Femme 2034camel Escarpins Fermé Bout Block Marron Shape min = 0
max = n
while max-min > 1:
    moy = (max+min)//2
    if moy*moy <= n:
        min = moy
    else:
        max = moy
    r = min

## pour voir la sortie
print(r)
##

L’algorithme ci-dessus applique une recherche dichotomique. On utilise le fait que :

  • la racine de n est forcément comprise entre 0 et n
  • les racines de deux nombres sont dans le même ordre que ces nombres.

On part donc de l’intervalle [0,n] et on le coupe en deux à chaque étape, jusqu’à réduire cet intervalle à une largeur de 1.

Le nombre d’étape (et donc la longueur de la trace) est proportionnel au nombre de fois ou l’on peut diviser n par 2, c’est-à-dire le logarithme à base 2 de n, 𝓞(log₂(n)).

Calcul de la racine carréeRosie Violet Bottines Plum 664 Femme Bearpaw dt4nqd

La recherche dichotomique de l’algorithme ci-dessus s’arrête lorsque l’intervalle a une largeur de 1. Mais si on travaille avec des nombres flottants, on pourrait décider de réduire encore plus la taille de l’intervalle.

On définit donc un nouvel algorithme, prenant cette fois deux paramètres d’entrée :

"""
:entrée x: flottant
:entrée erreur: flottantPlates Sauvage Chaussures Diamant Peu Bouche SED Tempérament E Profonde Ronde Bouche Creux Boucle EwxqF
Bout Shape 2034camel Fermé Femme Ecco Block Escarpins 75 Marron :pré-cond x ≥ 0
:sortie r: entier
:post-cond: r est la racine de 'x' à 'erreur' près
"""
## exemple d'entrées
x=500
precision=0.001
##

# AUTRE SOLUTION #
min = 0
max = x
while max-min > erreur:
   moy = Escarpins Fermé 2034camel Ecco Block Marron 75 Bout Shape Femme (max+Marron Ecco Fermé Femme Bout Block 2034camel Escarpins 75 Shape min)/2
   if moy*moy <= x:
       min = moy
   else:
       max = moyDinah Keer Lack Schwarz Escarpins Clarks Interest Noir Various Femme Black dwxBTFZf
   r = min

Block Escarpins 2034camel Bout Ecco Marron Shape Fermé 75 Femme ## pour voir la sortie
print(r)
# et la vérifier
print(r*r)
##

L’algorithme ci-dessus a une complexité en 𝓞(log₂(n/precision), ce qui signifie que le temps d’exécution augmente lorsque n augmente, mais aussi lorsque erreur diminue. En effet, obtenir une meilleure précision demande plus de travail à l’ordinateur, et donc plus de temps de calcul.