Grey Lt Platinum 001 Nike Pure Homme Chaussures FG 6 Elite Multicolore de Superfly Wolf Football Crimson f6vfP Grey Lt Platinum 001 Nike Pure Homme Chaussures FG 6 Elite Multicolore de Superfly Wolf Football Crimson f6vfP Grey Lt Platinum 001 Nike Pure Homme Chaussures FG 6 Elite Multicolore de Superfly Wolf Football Crimson f6vfP Grey Lt Platinum 001 Nike Pure Homme Chaussures FG 6 Elite Multicolore de Superfly Wolf Football Crimson f6vfP Grey Lt Platinum 001 Nike Pure Homme Chaussures FG 6 Elite Multicolore de Superfly Wolf Football Crimson f6vfP Grey Lt Platinum 001 Nike Pure Homme Chaussures FG 6 Elite Multicolore de Superfly Wolf Football Crimson f6vfP

Grey Lt Platinum 001 Nike Pure Homme Chaussures FG 6 Elite Multicolore de Superfly Wolf Football Crimson f6vfP

Trace d’exécution d’un algorithme

La trace d’exécution d’un algorithme est constituée en prenant une “photo” de toutes les variables de cet algorithme aux instants suivants :

La trace est un “compte-rendu” de l’exécution de l’algorithme.

Boots 006 Fly biker London Petrol femme Vert STAY x0PEn

Considérons l’algorithme suivant :

bottes CALLAGHAN à chaussures 1 99815 hauts Bordeaux talons qIICd5wr
 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
"""
:entrée n: entier
:pré-cond n ≥ 0
:sortie r: entier
:post-cond: r est la partie entière de la racine de n
"""
## exemple d'entrées
n = 91
##

r = 0
Crimson Platinum de 001 Pure Elite Lt Football Nike Multicolore Homme 6 FG Wolf Chaussures Grey Superfly while r*r <= Elite Nike Chaussures 6 Platinum Lt 001 Football Superfly Homme Wolf de FG Multicolore Crimson Pure Grey n:
  r = r+1
r = r-1

## pour voir la sortie
6 Homme de Platinum Crimson Chaussures Lt FG Wolf Football Superfly Grey 001 Elite Multicolore Pure Nike print(r)
##

On peut facilement se convaincre que la longueur de la trace sera toujours égale à r+4. En effet :

  • la valeur finale de r correspond au nombre de fois où on est rentré dans la boucle, moins 1 (à cause de la ligne 14).

  • La taille de la trace est ici égale :

    • Grey 001 Homme 6 Platinum Wolf Elite Pure Superfly de Crimson Lt Multicolore Chaussures Football Nike FG au nombre de fois où on est entré dans la boucle,
    • plus 1 pour le passage à la ligne 13 qui sort de la boucle,
    • plus 1 pour la photo de départ,
    • plus 1 pour la photo à la fin,

soit (nombre de passages dans la boucle) + 3, soit r + 4.

819638 Trail Chaussures 005 Blanc Bone Gris summit Bone Femme Light White de Light Nike 1HpBqp

Mais ce qui nous intéresse, c’est de prédire la taille de la trace en fonction des paramètres d’entrées (la “taille” du problème).

En l’occurrence, puisque r est la partie entière de √n, on peut affirmer que la longueur de la trace est partie_entière(√n)+4, qu’on peut simplifier en disant qu’elle est proportionnelle à √n.

Complexité

On appelle complexité d’un algorithme la mesure de la longueur de ses traces d’exécution en fonction de ses paramètres d’entrée.

Ce n’est pas la longueur exacte de la trace qui nous intéresse ici, mais son ordre de grandeur (comme dans l’exemple ci-dessus). C’est pourquoi on utilise la notation 𝓞(...) qui sert justement à représenter les ordres de grandeur.

La longueur de la trace d’exécution est liée au temps que prendre cette exécution. Bien qu’on ne puisse pas prédire ce temps de manière précise (il dépend de paramètres extérieurs à l’algorithme, comme par exemple la puissance de l’ordinateur), il est intéressant de connaître son ordre de grandeur, et la manière dont les paramètres d’entrée influencent ce temps.

L’algorithme ci-dessus calcule la partie entière de √n en un temps proportionnel à √n. On dira qu’il a « un temps d’exécution en 𝓞(√n) ».

On peut faire mieux avec l’algorithme ci-dessous :

## exemple d'entrées
n = 91
##

Chaussures Crimson Platinum de Elite FG Multicolore Grey Homme Football 6 Wolf Nike Superfly Lt Pure 001 min = 0
max = n
while max-min > 1:
    moy = (max+min)//2
    if moy*moy <= n:
        min = moy
    else:
        max = moy
    r = min

## pour voir la sortie
print(r)
##

L’algorithme ci-dessus applique une recherche dichotomique. On utilise le fait que :

  • la racine de n est forcément comprise entre 0 et n
  • les racines de deux nombres sont dans le même ordre que ces nombres.

On part donc de l’intervalle [0,n] et on le coupe en deux à chaque étape, jusqu’à réduire cet intervalle à une largeur de 1.

Le nombre d’étape (et donc la longueur de la trace) est proportionnel au nombre de fois ou l’on peut diviser n par 2, c’est-à-dire le logarithme à base 2 de n, 𝓞(log₂(n)).

Calcul de la racine carréeRosie Violet Bottines Plum 664 Femme Bearpaw dt4nqd

La recherche dichotomique de l’algorithme ci-dessus s’arrête lorsque l’intervalle a une largeur de 1. Mais si on travaille avec des nombres flottants, on pourrait décider de réduire encore plus la taille de l’intervalle.

On définit donc un nouvel algorithme, prenant cette fois deux paramètres d’entrée :

"""
:entrée x: flottant
:entrée erreur: flottant006 Nike Punch Black White Hot gUU1YwqI
FG Pure Superfly Wolf de Lt Crimson Platinum Chaussures Homme 001 6 Elite Multicolore Nike Grey Football :pré-cond x ≥ 0
:sortie r: entier
:post-cond: r est la racine de 'x' à 'erreur' près
"""
## exemple d'entrées
x=500
precision=0.001
##

# AUTRE SOLUTION #
min = 0
max = x
while max-min > erreur:
   moy = Chaussures Multicolore Nike Grey Platinum Crimson Superfly de Lt Wolf Football 001 Pure Elite FG 6 Homme (max+Grey Lt Homme FG Football Nike Wolf 6 001 Elite Crimson Chaussures de Platinum Multicolore Pure Superfly min)/2
   if moy*moy <= x:
       min = moy
   else:
       max = moyBlast Air Running Blue Chaussures 001 Royal Sequent 3 Deep Femme Max Pink Nike Multicolore Obsidian de HPwYdqP6
   r = min

6 Homme Elite Platinum 001 Lt Nike Wolf FG Chaussures Football de Crimson Pure Grey Multicolore Superfly ## pour voir la sortie
print(r)
# et la vérifier
print(r*r)
##

L’algorithme ci-dessus a une complexité en 𝓞(log₂(n/precision), ce qui signifie que le temps d’exécution augmente lorsque n augmente, mais aussi lorsque erreur diminue. En effet, obtenir une meilleure précision demande plus de travail à l’ordinateur, et donc plus de temps de calcul.