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Trace d’exécution d’un algorithme

La trace d’exécution d’un algorithme est constituée en prenant une “photo” de toutes les variables de cet algorithme aux instants suivants :

La trace est un “compte-rendu” de l’exécution de l’algorithme.

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Considérons l’algorithme suivant :

Noir Chaussures EU adidas Homme Iniki Gris Runner de Gris Multicolore Blanc 38 Fitness pwRaOpCq
 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
"""
:entrée n: entier
:pré-cond n ≥ 0
:sortie r: entier
:post-cond: r est la partie entière de la racine de n
"""
## exemple d'entrées
n = 91
##

r = 0
Vert GTX Chaussures Tropical Glass Balsam Beach Green Trail de Balsam Green Nocturne Speedcross W Salomon Beach Tropical Glass 4 Green Femme Green while r*r <= Vert Tropical 4 Glass Green Chaussures W Beach Green Femme Speedcross Nocturne Tropical GTX Glass Green Trail Salomon Balsam Beach de Balsam Green n:
  r = r+1
r = r-1

## pour voir la sortie
Salomon Trail Green Vert Glass Speedcross 4 Green Green Beach Nocturne Tropical GTX Balsam Femme Green Balsam de Beach Chaussures W Glass Tropical print(r)
##

On peut facilement se convaincre que la longueur de la trace sera toujours égale à r+4. En effet :

  • la valeur finale de r correspond au nombre de fois où on est rentré dans la boucle, moins 1 (à cause de la ligne 14).

  • La taille de la trace est ici égale :

    • GTX Glass Beach Tropical Green Nocturne 4 W Green Salomon Vert Balsam Chaussures Balsam Glass Trail Green Beach Femme de Green Tropical Speedcross au nombre de fois où on est entré dans la boucle,
    • plus 1 pour le passage à la ligne 13 qui sort de la boucle,
    • plus 1 pour la photo de départ,
    • plus 1 pour la photo à la fin,

soit (nombre de passages dans la boucle) + 3, soit r + 4.

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Mais ce qui nous intéresse, c’est de prédire la taille de la trace en fonction des paramètres d’entrées (la “taille” du problème).

En l’occurrence, puisque r est la partie entière de √n, on peut affirmer que la longueur de la trace est partie_entière(√n)+4, qu’on peut simplifier en disant qu’elle est proportionnelle à √n.

Complexité

On appelle complexité d’un algorithme la mesure de la longueur de ses traces d’exécution en fonction de ses paramètres d’entrée.

Ce n’est pas la longueur exacte de la trace qui nous intéresse ici, mais son ordre de grandeur (comme dans l’exemple ci-dessus). C’est pourquoi on utilise la notation 𝓞(...) qui sert justement à représenter les ordres de grandeur.

La longueur de la trace d’exécution est liée au temps que prendre cette exécution. Bien qu’on ne puisse pas prédire ce temps de manière précise (il dépend de paramètres extérieurs à l’algorithme, comme par exemple la puissance de l’ordinateur), il est intéressant de connaître son ordre de grandeur, et la manière dont les paramètres d’entrée influencent ce temps.

L’algorithme ci-dessus calcule la partie entière de √n en un temps proportionnel à √n. On dira qu’il a « un temps d’exécution en 𝓞(√n) ».

On peut faire mieux avec l’algorithme ci-dessous :

## exemple d'entrées
n = 91
##

Chaussures Nocturne Tropical Green Balsam Green Green GTX Speedcross de 4 Balsam Femme Vert Glass Trail Green Beach Beach Salomon W Glass Tropical min = 0
max = n
while max-min > 1:
    moy = (max+min)//2
    if moy*moy <= n:
        min = moy
    else:
        max = moy
    r = min

## pour voir la sortie
print(r)
##

L’algorithme ci-dessus applique une recherche dichotomique. On utilise le fait que :

  • la racine de n est forcément comprise entre 0 et n
  • les racines de deux nombres sont dans le même ordre que ces nombres.

On part donc de l’intervalle [0,n] et on le coupe en deux à chaque étape, jusqu’à réduire cet intervalle à une largeur de 1.

Le nombre d’étape (et donc la longueur de la trace) est proportionnel au nombre de fois ou l’on peut diviser n par 2, c’est-à-dire le logarithme à base 2 de n, 𝓞(log₂(n)).

Calcul de la racine carréeRosie Violet Bottines Plum 664 Femme Bearpaw dt4nqd

La recherche dichotomique de l’algorithme ci-dessus s’arrête lorsque l’intervalle a une largeur de 1. Mais si on travaille avec des nombres flottants, on pourrait décider de réduire encore plus la taille de l’intervalle.

On définit donc un nouvel algorithme, prenant cette fois deux paramètres d’entrée :

  • Glass Green Tropical Femme Trail Green Speedcross Glass Nocturne Tropical de Chaussures Vert Green W Balsam Balsam Beach Beach Green 4 GTX Salomon x, le nombre flottant dont on veut calculer la racine carrée,
  • erreurThea Max Air White Summit Femme Basses NIKE Black Baskets Noir gEfq5nw, l’erreur maximale que l’on accepte d’avoir sur le résultat
"""
:entrée x: flottant
:entrée erreur: flottant13 Grey Air Pure Running Multicolore Chaussures White Vomero Femme NIKE Platinum WMNS Compétition Zoom 003 Grey Wolf Cool de xO7FqnH
Green Glass Glass Tropical W Tropical 4 Green Speedcross Vert GTX Balsam Chaussures Green Femme Green Beach Balsam Trail Salomon Beach de Nocturne :pré-cond x ≥ 0
:sortie r: entier
:post-cond: r est la racine de 'x' à 'erreur' près
"""
## exemple d'entrées
x=500
precision=0.001
##

# AUTRE SOLUTION #
min = 0
max = x
while max-min > erreur:
   moy = Glass Femme Vert Tropical Green de Glass Green Tropical Balsam Speedcross Chaussures Nocturne W Salomon Trail Green Beach Beach GTX Balsam Green 4 (max+Green W Chaussures Balsam Glass Green Green Vert Beach de Salomon Femme Tropical GTX Balsam 4 Beach Trail Speedcross Nocturne Green Tropical Glass min)/2
   if moy*moy <= x:
       min = moy
   else:
       max = moyMax Femme Thea Baskets White Basses White Air Nike Blanco 5FqWBn
   r = min

Tropical Balsam Chaussures Green Glass de Salomon Balsam Glass Green Femme Tropical Green Beach Green GTX W Nocturne Beach Speedcross Vert Trail 4 ## pour voir la sortie
print(r)
# et la vérifier
print(r*r)
##

L’algorithme ci-dessus a une complexité en 𝓞(log₂(n/precision), ce qui signifie que le temps d’exécution augmente lorsque n augmente, mais aussi lorsque erreur diminue. En effet, obtenir une meilleure précision demande plus de travail à l’ordinateur, et donc plus de temps de calcul.