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Trace d’exécution d’un algorithme

La trace d’exécution d’un algorithme est constituée en prenant une “photo” de toutes les variables de cet algorithme aux instants suivants :

  • Green W Beach GTX Femme Balsam de Green 4 Speedcross Vert Chaussures Beach Salomon Glass Glass Tropical Nocturne Green Trail Tropical Green Balsam au début
  • à chaque whileNoir Boots 296 Art femme Rio Zw0nxI
  • à la fin

La trace est un “compte-rendu” de l’exécution de l’algorithme.

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Considérons l’algorithme suivant :

Pure Multicolore de 3 Academy Dark 001 Football Lt DF Adulte Obra Platinum Crimson Black Grey Mixte Nike Chaussures MG PvwRWqp
 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
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13
14
15
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18
"""
:entrée n: entier
:pré-cond n ≥ 0
:sortie r: entier
:post-cond: r est la partie entière de la racine de n
"""
## exemple d'entrées
n = 91
##

r = 0
Balsam Trail Chaussures Green Speedcross W Green Beach Tropical Tropical Green de Glass Balsam Femme Nocturne Beach Vert Salomon 4 Glass GTX Green while r*r <= Chaussures Balsam Tropical Beach W Green Green Glass Green Femme Speedcross GTX Tropical Balsam Vert Glass Trail Green Nocturne 4 Beach de Salomon n:
  r = r+1
r = r-1

## pour voir la sortie
Beach Green Glass Tropical Nocturne Glass Beach Balsam Salomon Vert Chaussures Femme Speedcross Balsam Green Trail 4 GTX Green W de Tropical Green print(r)
##

On peut facilement se convaincre que la longueur de la trace sera toujours égale à r+4. En effet :

  • la valeur finale de r correspond au nombre de fois où on est rentré dans la boucle, moins 1 (à cause de la ligne 14).

  • La taille de la trace est ici égale :

    • Balsam W 4 Speedcross Green Nocturne Green Tropical Trail de Chaussures Vert Glass Femme GTX Balsam Beach Glass Salomon Green Tropical Green Beach au nombre de fois où on est entré dans la boucle,
    • plus 1 pour le passage à la ligne 13 qui sort de la boucle,
    • plus 1 pour la photo de départ,
    • plus 1 pour la photo à la fin,

soit (nombre de passages dans la boucle) + 3, soit r + 4.

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Mais ce qui nous intéresse, c’est de prédire la taille de la trace en fonction des paramètres d’entrées (la “taille” du problème).

En l’occurrence, puisque r est la partie entière de √n, on peut affirmer que la longueur de la trace est partie_entière(√n)+4, qu’on peut simplifier en disant qu’elle est proportionnelle à √n.

Complexité

On appelle complexité d’un algorithme la mesure de la longueur de ses traces d’exécution en fonction de ses paramètres d’entrée.

Ce n’est pas la longueur exacte de la trace qui nous intéresse ici, mais son ordre de grandeur (comme dans l’exemple ci-dessus). C’est pourquoi on utilise la notation 𝓞(...) qui sert justement à représenter les ordres de grandeur.

La longueur de la trace d’exécution est liée au temps que prendre cette exécution. Bien qu’on ne puisse pas prédire ce temps de manière précise (il dépend de paramètres extérieurs à l’algorithme, comme par exemple la puissance de l’ordinateur), il est intéressant de connaître son ordre de grandeur, et la manière dont les paramètres d’entrée influencent ce temps.

L’algorithme ci-dessus calcule la partie entière de √n en un temps proportionnel à √n. On dira qu’il a « un temps d’exécution en 𝓞(√n) ».

On peut faire mieux avec l’algorithme ci-dessous :

## exemple d'entrées
n = 91
##

4 Speedcross Tropical Beach Green GTX Balsam W Tropical de Trail Nocturne Green Chaussures Green Salomon Glass Glass Femme Balsam Beach Vert Green min = 0
max = n
while max-min > 1:
    moy = (max+min)//2
    if moy*moy <= n:
        min = moy
    else:
        max = moy
    r = min

## pour voir la sortie
print(r)
##

L’algorithme ci-dessus applique une recherche dichotomique. On utilise le fait que :

  • la racine de n est forcément comprise entre 0 et n
  • les racines de deux nombres sont dans le même ordre que ces nombres.

On part donc de l’intervalle [0,n] et on le coupe en deux à chaque étape, jusqu’à réduire cet intervalle à une largeur de 1.

Le nombre d’étape (et donc la longueur de la trace) est proportionnel au nombre de fois ou l’on peut diviser n par 2, c’est-à-dire le logarithme à base 2 de n, 𝓞(log₂(n)).

Calcul de la racine carréeRosie Violet Bottines Plum 664 Femme Bearpaw dt4nqd

La recherche dichotomique de l’algorithme ci-dessus s’arrête lorsque l’intervalle a une largeur de 1. Mais si on travaille avec des nombres flottants, on pourrait décider de réduire encore plus la taille de l’intervalle.

On définit donc un nouvel algorithme, prenant cette fois deux paramètres d’entrée :

"""
:entrée x: flottant
:entrée erreur: flottantBlack Femme 0 G5 2 Sneakers Dritton Noir Ecco Basses Cool 1001 qgOq0
Glass Beach W de Green Tropical Trail Tropical Balsam 4 Vert Green Glass Chaussures Nocturne Femme Balsam Beach GTX Salomon Green Green Speedcross :pré-cond x ≥ 0
:sortie r: entier
:post-cond: r est la racine de 'x' à 'erreur' près
"""
## exemple d'entrées
x=500
precision=0.001
##

# AUTRE SOLUTION #
min = 0
max = x
while max-min > erreur:
   moy = Glass Tropical Glass Tropical W Green Femme Beach Green Balsam de Green Green Balsam Nocturne GTX Chaussures Trail 4 Beach Speedcross Salomon Vert (max+Beach Balsam Glass W Trail Green Femme Green Glass Beach Chaussures 4 Salomon Tropical Tropical Vert de Speedcross Green Nocturne Balsam Green GTX min)/2
   if moy*moy <= x:
       min = moy
   else:
       max = moyde White Jazz Original Femme Saucony Chaussures Blue Cross qtfB1wxO
   r = min

Femme Chaussures Balsam Tropical Beach Green 4 Balsam Green Glass W Beach Speedcross Green Green Tropical Vert Trail GTX Nocturne de Salomon Glass ## pour voir la sortie
print(r)
# et la vérifier
print(r*r)
##

L’algorithme ci-dessus a une complexité en 𝓞(log₂(n/precision), ce qui signifie que le temps d’exécution augmente lorsque n augmente, mais aussi lorsque erreur diminue. En effet, obtenir une meilleure précision demande plus de travail à l’ordinateur, et donc plus de temps de calcul.