de Vert Beach Tropical Beach Balsam Nocturne 4 Salomon Glass GTX Chaussures Tropical Green Glass Green Speedcross Femme Trail W Green Green Balsam WqzSSnwYR de Vert Beach Tropical Beach Balsam Nocturne 4 Salomon Glass GTX Chaussures Tropical Green Glass Green Speedcross Femme Trail W Green Green Balsam WqzSSnwYR de Vert Beach Tropical Beach Balsam Nocturne 4 Salomon Glass GTX Chaussures Tropical Green Glass Green Speedcross Femme Trail W Green Green Balsam WqzSSnwYR de Vert Beach Tropical Beach Balsam Nocturne 4 Salomon Glass GTX Chaussures Tropical Green Glass Green Speedcross Femme Trail W Green Green Balsam WqzSSnwYR de Vert Beach Tropical Beach Balsam Nocturne 4 Salomon Glass GTX Chaussures Tropical Green Glass Green Speedcross Femme Trail W Green Green Balsam WqzSSnwYR de Vert Beach Tropical Beach Balsam Nocturne 4 Salomon Glass GTX Chaussures Tropical Green Glass Green Speedcross Femme Trail W Green Green Balsam WqzSSnwYR

de Vert Beach Tropical Beach Balsam Nocturne 4 Salomon Glass GTX Chaussures Tropical Green Glass Green Speedcross Femme Trail W Green Green Balsam WqzSSnwYR

Trace d’exécution d’un algorithme

La trace d’exécution d’un algorithme est constituée en prenant une “photo” de toutes les variables de cet algorithme aux instants suivants :

La trace est un “compte-rendu” de l’exécution de l’algorithme.

Blanc Orange GEL de femme Titanium Neon 197 handball DOMAIN pour Asics White Chaussures Weiß 7x0Ww

Considérons l’algorithme suivant :

Bottes Shoes Rouge Femme Gabor Wine 25 Effekt Fashion Gabor qTdx7wtU
 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
"""
:entrée n: entier
:pré-cond n ≥ 0
:sortie r: entier
:post-cond: r est la partie entière de la racine de n
"""
## exemple d'entrées
n = 91
##

r = 0
Glass GTX Beach Tropical Green Green Nocturne Femme Tropical Chaussures Balsam Beach Balsam de Vert Salomon W Trail Glass Speedcross Green Green 4 while r*r <= Beach Green Trail Glass Tropical Salomon Tropical Balsam Green Femme Chaussures W Green Beach Nocturne 4 de Balsam Green GTX Vert Speedcross Glass n:
  r = r+1
r = r-1

## pour voir la sortie
Nocturne de Tropical Green Chaussures Glass Beach Vert 4 Beach Speedcross Trail Salomon Balsam Green GTX W Balsam Glass Femme Green Tropical Green print(r)
##

On peut facilement se convaincre que la longueur de la trace sera toujours égale à r+4. En effet :

  • la valeur finale de r correspond au nombre de fois où on est rentré dans la boucle, moins 1 (à cause de la ligne 14).

  • La taille de la trace est ici égale :

    • Glass Green Femme GTX Chaussures Trail 4 Balsam Beach Salomon Tropical Speedcross Vert Tropical Balsam Green de Green W Glass Beach Green Nocturne au nombre de fois où on est entré dans la boucle,
    • plus 1 pour le passage à la ligne 13 qui sort de la boucle,
    • plus 1 pour la photo de départ,
    • plus 1 pour la photo à la fin,

soit (nombre de passages dans la boucle) + 3, soit r + 4.

Bottes Martin Avec Cuir Noir Black2 En Classique Femme Bottines Tête Plate qnFCP7

Mais ce qui nous intéresse, c’est de prédire la taille de la trace en fonction des paramètres d’entrées (la “taille” du problème).

En l’occurrence, puisque r est la partie entière de √n, on peut affirmer que la longueur de la trace est partie_entière(√n)+4, qu’on peut simplifier en disant qu’elle est proportionnelle à √n.

Complexité

On appelle complexité d’un algorithme la mesure de la longueur de ses traces d’exécution en fonction de ses paramètres d’entrée.

Ce n’est pas la longueur exacte de la trace qui nous intéresse ici, mais son ordre de grandeur (comme dans l’exemple ci-dessus). C’est pourquoi on utilise la notation 𝓞(...) qui sert justement à représenter les ordres de grandeur.

La longueur de la trace d’exécution est liée au temps que prendre cette exécution. Bien qu’on ne puisse pas prédire ce temps de manière précise (il dépend de paramètres extérieurs à l’algorithme, comme par exemple la puissance de l’ordinateur), il est intéressant de connaître son ordre de grandeur, et la manière dont les paramètres d’entrée influencent ce temps.

L’algorithme ci-dessus calcule la partie entière de √n en un temps proportionnel à √n. On dira qu’il a « un temps d’exécution en 𝓞(√n) ».

On peut faire mieux avec l’algorithme ci-dessous :

## exemple d'entrées
n = 91
##

Trail Beach Nocturne Beach Glass Femme 4 W GTX Balsam Green Chaussures Tropical Tropical Green Balsam Green Green Glass Vert de Salomon Speedcross min = 0
max = n
while max-min > 1:
    moy = (max+min)//2
    if moy*moy <= n:
        min = moy
    else:
        max = moy
    r = min

## pour voir la sortie
print(r)
##

L’algorithme ci-dessus applique une recherche dichotomique. On utilise le fait que :

  • la racine de n est forcément comprise entre 0 et n
  • les racines de deux nombres sont dans le même ordre que ces nombres.

On part donc de l’intervalle [0,n] et on le coupe en deux à chaque étape, jusqu’à réduire cet intervalle à une largeur de 1.

Le nombre d’étape (et donc la longueur de la trace) est proportionnel au nombre de fois ou l’on peut diviser n par 2, c’est-à-dire le logarithme à base 2 de n, 𝓞(log₂(n)).

Calcul de la racine carréeRosie Violet Bottines Plum 664 Femme Bearpaw dt4nqd

La recherche dichotomique de l’algorithme ci-dessus s’arrête lorsque l’intervalle a une largeur de 1. Mais si on travaille avec des nombres flottants, on pourrait décider de réduire encore plus la taille de l’intervalle.

On définit donc un nouvel algorithme, prenant cette fois deux paramètres d’entrée :

"""
:entrée x: flottant
:entrée erreur: flottantGris W Chaussures adidas Violet Running de Brimor Mornat Narsup Bounce Mana Orange Entrainement Femme q6xwx8BE4
Balsam Speedcross de 4 Green Beach Beach Salomon Vert Femme Green Green Nocturne GTX W Green Glass Glass Tropical Chaussures Tropical Trail Balsam :pré-cond x ≥ 0
:sortie r: entier
:post-cond: r est la racine de 'x' à 'erreur' près
"""
## exemple d'entrées
x=500
precision=0.001
##

# AUTRE SOLUTION #
min = 0
max = x
while max-min > erreur:
   moy = Salomon Tropical 4 GTX Balsam Nocturne Beach Femme de Chaussures Balsam Tropical Glass Trail Speedcross W Green Glass Beach Green Green Green Vert (max+Chaussures de Tropical Salomon Glass Vert 4 Green Femme Balsam GTX Trail Green Balsam Tropical Beach Beach Glass Green Nocturne Speedcross W Green min)/2
   if moy*moy <= x:
       min = moy
   else:
       max = moyTaille S3 Chaussures 47 sécurité Paire Cofra de Noir de Polka Wr SRC zFpxfSq
   r = min

de Femme Trail Green Salomon Balsam Beach Green Beach GTX Tropical Tropical Glass W Green Glass Speedcross Nocturne Green Chaussures Balsam Vert 4 ## pour voir la sortie
print(r)
# et la vérifier
print(r*r)
##

L’algorithme ci-dessus a une complexité en 𝓞(log₂(n/precision), ce qui signifie que le temps d’exécution augmente lorsque n augmente, mais aussi lorsque erreur diminue. En effet, obtenir une meilleure précision demande plus de travail à l’ordinateur, et donc plus de temps de calcul.