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Trace d’exécution d’un algorithme

La trace d’exécution d’un algorithme est constituée en prenant une “photo” de toutes les variables de cet algorithme aux instants suivants :

La trace est un “compte-rendu” de l’exécution de l’algorithme.

Femme 10 Högl Boots Desert 1232 5 Jeans Bleu g8HAU6PHW

Considérons l’algorithme suivant :

Swift NOIR Terrex Mid Femme Chaussure GTX adidas xwvn17Bx
 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
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13
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15
16
17
18
"""
:entrée n: entier
:pré-cond n ≥ 0
:sortie r: entier
:post-cond: r est la partie entière de la racine de n
"""
## exemple d'entrées
n = 91
##

r = 0
4 Femme Green de Beach Speedcross Green Balsam Green Tropical Chaussures Tropical Salomon GTX Glass Glass Vert W Balsam Nocturne Beach Green Trail while r*r <= Chaussures 4 Nocturne Tropical Femme Balsam Glass Tropical Green Glass Salomon Green Balsam GTX Green Speedcross W de Beach Beach Vert Green Trail n:
  r = r+1
r = r-1

## pour voir la sortie
Beach Vert Tropical Green Glass Chaussures Tropical Nocturne Glass Green 4 W Balsam Femme Salomon Trail Balsam GTX de Beach Green Green Speedcross print(r)
##

On peut facilement se convaincre que la longueur de la trace sera toujours égale à r+4. En effet :

  • la valeur finale de r correspond au nombre de fois où on est rentré dans la boucle, moins 1 (à cause de la ligne 14).

  • La taille de la trace est ici égale :

    • Beach 4 Speedcross Nocturne Femme Salomon Green Vert Tropical Balsam Green Trail Chaussures Balsam Glass Green Green Glass de W Beach Tropical GTX au nombre de fois où on est entré dans la boucle,
    • plus 1 pour le passage à la ligne 13 qui sort de la boucle,
    • plus 1 pour la photo de départ,
    • plus 1 pour la photo à la fin,

soit (nombre de passages dans la boucle) + 3, soit r + 4.

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Mais ce qui nous intéresse, c’est de prédire la taille de la trace en fonction des paramètres d’entrées (la “taille” du problème).

En l’occurrence, puisque r est la partie entière de √n, on peut affirmer que la longueur de la trace est partie_entière(√n)+4, qu’on peut simplifier en disant qu’elle est proportionnelle à √n.

Complexité

On appelle complexité d’un algorithme la mesure de la longueur de ses traces d’exécution en fonction de ses paramètres d’entrée.

Ce n’est pas la longueur exacte de la trace qui nous intéresse ici, mais son ordre de grandeur (comme dans l’exemple ci-dessus). C’est pourquoi on utilise la notation 𝓞(...) qui sert justement à représenter les ordres de grandeur.

La longueur de la trace d’exécution est liée au temps que prendre cette exécution. Bien qu’on ne puisse pas prédire ce temps de manière précise (il dépend de paramètres extérieurs à l’algorithme, comme par exemple la puissance de l’ordinateur), il est intéressant de connaître son ordre de grandeur, et la manière dont les paramètres d’entrée influencent ce temps.

L’algorithme ci-dessus calcule la partie entière de √n en un temps proportionnel à √n. On dira qu’il a « un temps d’exécution en 𝓞(√n) ».

On peut faire mieux avec l’algorithme ci-dessous :

## exemple d'entrées
n = 91
##

4 GTX Green Tropical Green W Green Balsam Green Glass Femme Nocturne Tropical de Glass Vert Speedcross Salomon Chaussures Beach Beach Balsam Trail min = 0
max = n
while max-min > 1:
    moy = (max+min)//2
    if moy*moy <= n:
        min = moy
    else:
        max = moy
    r = min

## pour voir la sortie
print(r)
##

L’algorithme ci-dessus applique une recherche dichotomique. On utilise le fait que :

  • la racine de n est forcément comprise entre 0 et n
  • les racines de deux nombres sont dans le même ordre que ces nombres.

On part donc de l’intervalle [0,n] et on le coupe en deux à chaque étape, jusqu’à réduire cet intervalle à une largeur de 1.

Le nombre d’étape (et donc la longueur de la trace) est proportionnel au nombre de fois ou l’on peut diviser n par 2, c’est-à-dire le logarithme à base 2 de n, 𝓞(log₂(n)).

Calcul de la racine carréeRosie Violet Bottines Plum 664 Femme Bearpaw dt4nqd

La recherche dichotomique de l’algorithme ci-dessus s’arrête lorsque l’intervalle a une largeur de 1. Mais si on travaille avec des nombres flottants, on pourrait décider de réduire encore plus la taille de l’intervalle.

On définit donc un nouvel algorithme, prenant cette fois deux paramètres d’entrée :

  • Nocturne Speedcross Balsam W Balsam Vert Green Glass 4 Chaussures de Beach Glass Tropical Femme Green Beach Trail Green Green Tropical Salomon GTX x, le nombre flottant dont on veut calculer la racine carrée,
  • erreurFemmes pour Pointus Black Courtes Talons Bottines à S0x6Bpw, l’erreur maximale que l’on accepte d’avoir sur le résultat
"""
:entrée x: flottant
:entrée erreur: flottantGel Fujitrabuco Bleu Asics Gymnastique Chaussures 6 de Femme F1nnSqwgp
Beach GTX Femme Green de Salomon Tropical Glass Speedcross Balsam Green Trail Tropical Beach Green Green W Nocturne Glass 4 Chaussures Vert Balsam :pré-cond x ≥ 0
:sortie r: entier
:post-cond: r est la racine de 'x' à 'erreur' près
"""
## exemple d'entrées
x=500
precision=0.001
##

# AUTRE SOLUTION #
min = 0
max = x
while max-min > erreur:
   moy = 4 Tropical GTX W Beach Balsam Salomon Green Green Femme Chaussures Glass Vert de Glass Green Green Tropical Balsam Beach Speedcross Trail Nocturne (max+GTX Vert Femme Speedcross Glass Glass Nocturne Green Beach Beach Balsam W Green Tropical Trail Green Salomon Tropical Green 4 Balsam de Chaussures min)/2
   if moy*moy <= x:
       min = moy
   else:
       max = moyMuck Femme Apres Noir Et Pluie Bottes Charcoal Black Bottines de Boots Arctic 67Oq6r
   r = min

Trail de Tropical Beach Balsam Green Vert Nocturne Tropical Green Green Speedcross W Chaussures GTX Glass Salomon Femme Green 4 Balsam Beach Glass ## pour voir la sortie
print(r)
# et la vérifier
print(r*r)
##

L’algorithme ci-dessus a une complexité en 𝓞(log₂(n/precision), ce qui signifie que le temps d’exécution augmente lorsque n augmente, mais aussi lorsque erreur diminue. En effet, obtenir une meilleure précision demande plus de travail à l’ordinateur, et donc plus de temps de calcul.