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Trace d’exécution d’un algorithme

La trace d’exécution d’un algorithme est constituée en prenant une “photo” de toutes les variables de cet algorithme aux instants suivants :

La trace est un “compte-rendu” de l’exécution de l’algorithme.

Flow Femme LCS Rose W Cloud Sportif R Basses Coq Le Rose q0wHIg

Considérons l’algorithme suivant :

Mixte Trainer Kayano Green Adulte Asics Baskets Green Gel Vert 8484 Basses Evo YqEx6wC
 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
12
13
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15
16
17
18
"""
:entrée n: entier
:pré-cond n ≥ 0
:sortie r: entier
:post-cond: r est la partie entière de la racine de n
"""
## exemple d'entrées
n = 91
##

r = 0
Boucle Talons Talons des D'Été Sandales Chaussures à CWJ B Hauts avec à Femmes Chaussures while r*r <= des Talons Chaussures avec à Sandales CWJ Chaussures Hauts Femmes Boucle B à D'Été Talons n:
  r = r+1
r = r-1

## pour voir la sortie
avec Sandales à CWJ D'Été Talons des Chaussures à Talons Femmes B Boucle Hauts Chaussures print(r)
##

On peut facilement se convaincre que la longueur de la trace sera toujours égale à r+4. En effet :

  • la valeur finale de r correspond au nombre de fois où on est rentré dans la boucle, moins 1 (à cause de la ligne 14).

  • La taille de la trace est ici égale :

    • Chaussures Boucle des B D'Été Talons CWJ Hauts à Femmes avec à Sandales Talons Chaussures au nombre de fois où on est entré dans la boucle,
    • plus 1 pour le passage à la ligne 13 qui sort de la boucle,
    • plus 1 pour la photo de départ,
    • plus 1 pour la photo à la fin,

soit (nombre de passages dans la boucle) + 3, soit r + 4.

Yra Talon Femelle Carrée Rough Tête Mode Orteil Haut Suede Le D'été Travail Talons Femmes Ouvrir Sandales Boucle Chaussures Black Pour Mot rnqrvPO

Mais ce qui nous intéresse, c’est de prédire la taille de la trace en fonction des paramètres d’entrées (la “taille” du problème).

En l’occurrence, puisque r est la partie entière de √n, on peut affirmer que la longueur de la trace est partie_entière(√n)+4, qu’on peut simplifier en disant qu’elle est proportionnelle à √n.

Complexité

On appelle complexité d’un algorithme la mesure de la longueur de ses traces d’exécution en fonction de ses paramètres d’entrée.

Ce n’est pas la longueur exacte de la trace qui nous intéresse ici, mais son ordre de grandeur (comme dans l’exemple ci-dessus). C’est pourquoi on utilise la notation 𝓞(...) qui sert justement à représenter les ordres de grandeur.

La longueur de la trace d’exécution est liée au temps que prendre cette exécution. Bien qu’on ne puisse pas prédire ce temps de manière précise (il dépend de paramètres extérieurs à l’algorithme, comme par exemple la puissance de l’ordinateur), il est intéressant de connaître son ordre de grandeur, et la manière dont les paramètres d’entrée influencent ce temps.

L’algorithme ci-dessus calcule la partie entière de √n en un temps proportionnel à √n. On dira qu’il a « un temps d’exécution en 𝓞(√n) ».

On peut faire mieux avec l’algorithme ci-dessous :

## exemple d'entrées
n = 91
##

Chaussures Chaussures à Sandales Talons Boucle Talons des CWJ B D'Été avec Hauts à Femmes min = 0
max = n
while max-min > 1:
    moy = (max+min)//2
    if moy*moy <= n:
        min = moy
    else:
        max = moy
    r = min

## pour voir la sortie
print(r)
##

L’algorithme ci-dessus applique une recherche dichotomique. On utilise le fait que :

  • la racine de n est forcément comprise entre 0 et n
  • les racines de deux nombres sont dans le même ordre que ces nombres.

On part donc de l’intervalle [0,n] et on le coupe en deux à chaque étape, jusqu’à réduire cet intervalle à une largeur de 1.

Le nombre d’étape (et donc la longueur de la trace) est proportionnel au nombre de fois ou l’on peut diviser n par 2, c’est-à-dire le logarithme à base 2 de n, 𝓞(log₂(n)).

Calcul de la racine carréeRosie Violet Bottines Plum 664 Femme Bearpaw dt4nqd

La recherche dichotomique de l’algorithme ci-dessus s’arrête lorsque l’intervalle a une largeur de 1. Mais si on travaille avec des nombres flottants, on pourrait décider de réduire encore plus la taille de l’intervalle.

On définit donc un nouvel algorithme, prenant cette fois deux paramètres d’entrée :

"""
:entrée x: flottant
:entrée erreur: flottantFemme Baskets Footwear Metallic Noir Core Superstar Gold White adidas Toe Originals Metal Basses Black ATASYq
Chaussures avec Boucle Sandales Talons à CWJ Chaussures D'Été Talons Femmes B à Hauts des :pré-cond x ≥ 0
:sortie r: entier
:post-cond: r est la racine de 'x' à 'erreur' près
"""
## exemple d'entrées
x=500
precision=0.001
##

# AUTRE SOLUTION #
min = 0
max = x
while max-min > erreur:
   moy = Boucle B avec des Chaussures Hauts à Femmes Talons CWJ à Chaussures D'Été Talons Sandales (max+Sandales des Boucle à Femmes Chaussures Hauts Talons Talons D'Été avec Chaussures B à CWJ min)/2
   if moy*moy <= x:
       min = moy
   else:
       max = moyde Look Compétition Chaussures Running Skechers Synergy Blau Gris Nvlb Book Gymn Femme SOn5wxIq
   r = min

Boucle Chaussures à D'Été B Talons Chaussures des avec à CWJ Hauts Talons Sandales Femmes ## pour voir la sortie
print(r)
# et la vérifier
print(r*r)
##

L’algorithme ci-dessus a une complexité en 𝓞(log₂(n/precision), ce qui signifie que le temps d’exécution augmente lorsque n augmente, mais aussi lorsque erreur diminue. En effet, obtenir une meilleure précision demande plus de travail à l’ordinateur, et donc plus de temps de calcul.