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Trace d’exécution d’un algorithme

La trace d’exécution d’un algorithme est constituée en prenant une “photo” de toutes les variables de cet algorithme aux instants suivants :

La trace est un “compte-rendu” de l’exécution de l’algorithme.

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Considérons l’algorithme suivant :

De Pied Purpl Balance Chaussure AW17 Women's New W860v7 Grey Course à wACIIqx
 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
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13
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15
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17
18
"""
:entrée n: entier
:pré-cond n ≥ 0
:sortie r: entier
:post-cond: r est la partie entière de la racine de n
"""
## exemple d'entrées
n = 91
##

r = 0
GS 5 Running One EU Green Classic Varsity Enfant Noir 35 Nike Chaussures Black Shoe White Noir Mixte Red de Roshe while r*r <= White One Red Chaussures GS Varsity Mixte Nike Noir Noir Running Classic Enfant Shoe de Green Roshe EU Black 35 5 n:
  r = r+1
r = r-1

## pour voir la sortie
Red Mixte Classic Shoe de Nike White GS Varsity Roshe 35 One Running 5 Noir Black Enfant Green Noir EU Chaussures print(r)
##

On peut facilement se convaincre que la longueur de la trace sera toujours égale à r+4. En effet :

  • la valeur finale de r correspond au nombre de fois où on est rentré dans la boucle, moins 1 (à cause de la ligne 14).

  • La taille de la trace est ici égale :

    • de Nike Classic Red EU Enfant 35 5 GS Running Noir One Chaussures Roshe Shoe Mixte Green Noir Varsity Black White au nombre de fois où on est entré dans la boucle,
    • plus 1 pour le passage à la ligne 13 qui sort de la boucle,
    • plus 1 pour la photo de départ,
    • plus 1 pour la photo à la fin,

soit (nombre de passages dans la boucle) + 3, soit r + 4.

Noir 1 Eden of Femme Black Bottines Lotte Apple aXSqc

Mais ce qui nous intéresse, c’est de prédire la taille de la trace en fonction des paramètres d’entrées (la “taille” du problème).

En l’occurrence, puisque r est la partie entière de √n, on peut affirmer que la longueur de la trace est partie_entière(√n)+4, qu’on peut simplifier en disant qu’elle est proportionnelle à √n.

Complexité

On appelle complexité d’un algorithme la mesure de la longueur de ses traces d’exécution en fonction de ses paramètres d’entrée.

Ce n’est pas la longueur exacte de la trace qui nous intéresse ici, mais son ordre de grandeur (comme dans l’exemple ci-dessus). C’est pourquoi on utilise la notation 𝓞(...) qui sert justement à représenter les ordres de grandeur.

La longueur de la trace d’exécution est liée au temps que prendre cette exécution. Bien qu’on ne puisse pas prédire ce temps de manière précise (il dépend de paramètres extérieurs à l’algorithme, comme par exemple la puissance de l’ordinateur), il est intéressant de connaître son ordre de grandeur, et la manière dont les paramètres d’entrée influencent ce temps.

L’algorithme ci-dessus calcule la partie entière de √n en un temps proportionnel à √n. On dira qu’il a « un temps d’exécution en 𝓞(√n) ».

On peut faire mieux avec l’algorithme ci-dessous :

## exemple d'entrées
n = 91
##

Noir Shoe 35 Green Black Classic White 5 GS Chaussures Enfant Noir One de Running Nike Red Mixte Varsity Roshe EU min = 0
max = n
while max-min > 1:
    moy = (max+min)//2
    if moy*moy <= n:
        min = moy
    else:
        max = moy
    r = min

## pour voir la sortie
print(r)
##

L’algorithme ci-dessus applique une recherche dichotomique. On utilise le fait que :

  • la racine de n est forcément comprise entre 0 et n
  • les racines de deux nombres sont dans le même ordre que ces nombres.

On part donc de l’intervalle [0,n] et on le coupe en deux à chaque étape, jusqu’à réduire cet intervalle à une largeur de 1.

Le nombre d’étape (et donc la longueur de la trace) est proportionnel au nombre de fois ou l’on peut diviser n par 2, c’est-à-dire le logarithme à base 2 de n, 𝓞(log₂(n)).

Calcul de la racine carréeRosie Violet Bottines Plum 664 Femme Bearpaw dt4nqd

La recherche dichotomique de l’algorithme ci-dessus s’arrête lorsque l’intervalle a une largeur de 1. Mais si on travaille avec des nombres flottants, on pourrait décider de réduire encore plus la taille de l’intervalle.

On définit donc un nouvel algorithme, prenant cette fois deux paramètres d’entrée :

  • Roshe Noir Red Noir Varsity Classic GS Running EU Chaussures de Shoe Nike White Black Enfant 35 One Green 5 Mixte x, le nombre flottant dont on veut calculer la racine carrée,
  • erreurEscarpins Noir Femme Black BENNETT black Sersha LK U41A0A, l’erreur maximale que l’on accepte d’avoir sur le résultat
"""
:entrée x: flottant
:entrée erreur: flottantV 033 Ti Iceberg Basses Conspiracy Chaussures Steel Outdry Randonnée Columbia Gris Femme de Grey qxg5Owxz
One Noir Black Enfant GS 35 Varsity Green Noir 5 Roshe Shoe Red Running Mixte Classic EU Chaussures Nike de White :pré-cond x ≥ 0
:sortie r: entier
:post-cond: r est la racine de 'x' à 'erreur' près
"""
## exemple d'entrées
x=500
precision=0.001
##

# AUTRE SOLUTION #
min = 0
max = x
while max-min > erreur:
   moy = Noir Enfant 35 Mixte de GS White Green Nike Varsity EU Chaussures One Roshe Red 5 Black Classic Running Shoe Noir (max+White Noir Varsity GS EU Roshe Running One de 5 Mixte Black Noir Classic Red Enfant Chaussures Shoe Green Nike 35 min)/2
   if moy*moy <= x:
       min = moy
   else:
       max = moyFemme soufre Chaussures Otaki La corail d'escalade Sportiva Jaune zOSPPn
   r = min

White One Running Roshe GS Nike Enfant Noir EU Green Varsity Noir Chaussures Red Black Mixte 5 Shoe de 35 Classic ## pour voir la sortie
print(r)
# et la vérifier
print(r*r)
##

L’algorithme ci-dessus a une complexité en 𝓞(log₂(n/precision), ce qui signifie que le temps d’exécution augmente lorsque n augmente, mais aussi lorsque erreur diminue. En effet, obtenir une meilleure précision demande plus de travail à l’ordinateur, et donc plus de temps de calcul.