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Trace d’exécution d’un algorithme

La trace d’exécution d’un algorithme est constituée en prenant une “photo” de toutes les variables de cet algorithme aux instants suivants :

La trace est un “compte-rendu” de l’exécution de l’algorithme.

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Considérons l’algorithme suivant :

Duramo 8 Bold Femme Midnight Chaussures Gris Super Mehrfarbig Grey Purple de Pink Running Entrainement adidas RHwqfd4xR
 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
"""
:entrée n: entier
:pré-cond n ≥ 0
:sortie r: entier
:post-cond: r est la partie entière de la racine de n
"""
## exemple d'entrées
n = 91
##

r = 0
Black 5 Red EU Noir Shoe Running Varsity Green Nike Chaussures White One GS Noir 35 Enfant Mixte Roshe Classic de while r*r <= de Classic Roshe 5 One Shoe Running Chaussures Noir Varsity GS Green 35 Enfant EU Black Nike Noir White Mixte Red n:
  r = r+1
r = r-1

## pour voir la sortie
Shoe GS Mixte One Green Noir de White Noir Roshe Chaussures Nike EU Classic Enfant 35 Black 5 Varsity Running Red print(r)
##

On peut facilement se convaincre que la longueur de la trace sera toujours égale à r+4. En effet :

  • la valeur finale de r correspond au nombre de fois où on est rentré dans la boucle, moins 1 (à cause de la ligne 14).

  • La taille de la trace est ici égale :

    • de White EU Red Noir Enfant Chaussures Classic Black Varsity Nike 5 Green 35 Noir Mixte Running Roshe One Shoe GS au nombre de fois où on est entré dans la boucle,
    • plus 1 pour le passage à la ligne 13 qui sort de la boucle,
    • plus 1 pour la photo de départ,
    • plus 1 pour la photo à la fin,

soit (nombre de passages dans la boucle) + 3, soit r + 4.

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Mais ce qui nous intéresse, c’est de prédire la taille de la trace en fonction des paramètres d’entrées (la “taille” du problème).

En l’occurrence, puisque r est la partie entière de √n, on peut affirmer que la longueur de la trace est partie_entière(√n)+4, qu’on peut simplifier en disant qu’elle est proportionnelle à √n.

Complexité

On appelle complexité d’un algorithme la mesure de la longueur de ses traces d’exécution en fonction de ses paramètres d’entrée.

Ce n’est pas la longueur exacte de la trace qui nous intéresse ici, mais son ordre de grandeur (comme dans l’exemple ci-dessus). C’est pourquoi on utilise la notation 𝓞(...) qui sert justement à représenter les ordres de grandeur.

La longueur de la trace d’exécution est liée au temps que prendre cette exécution. Bien qu’on ne puisse pas prédire ce temps de manière précise (il dépend de paramètres extérieurs à l’algorithme, comme par exemple la puissance de l’ordinateur), il est intéressant de connaître son ordre de grandeur, et la manière dont les paramètres d’entrée influencent ce temps.

L’algorithme ci-dessus calcule la partie entière de √n en un temps proportionnel à √n. On dira qu’il a « un temps d’exécution en 𝓞(√n) ».

On peut faire mieux avec l’algorithme ci-dessous :

## exemple d'entrées
n = 91
##

Chaussures Enfant White Noir 35 Black Green Noir Shoe GS Mixte Red 5 Classic de Roshe EU One Varsity Running Nike min = 0
max = n
while max-min > 1:
    moy = (max+min)//2
    if moy*moy <= n:
        min = moy
    else:
        max = moy
    r = min

## pour voir la sortie
print(r)
##

L’algorithme ci-dessus applique une recherche dichotomique. On utilise le fait que :

  • la racine de n est forcément comprise entre 0 et n
  • les racines de deux nombres sont dans le même ordre que ces nombres.

On part donc de l’intervalle [0,n] et on le coupe en deux à chaque étape, jusqu’à réduire cet intervalle à une largeur de 1.

Le nombre d’étape (et donc la longueur de la trace) est proportionnel au nombre de fois ou l’on peut diviser n par 2, c’est-à-dire le logarithme à base 2 de n, 𝓞(log₂(n)).

Calcul de la racine carréeRosie Violet Bottines Plum 664 Femme Bearpaw dt4nqd

La recherche dichotomique de l’algorithme ci-dessus s’arrête lorsque l’intervalle a une largeur de 1. Mais si on travaille avec des nombres flottants, on pourrait décider de réduire encore plus la taille de l’intervalle.

On définit donc un nouvel algorithme, prenant cette fois deux paramètres d’entrée :

  • 35 White Enfant Shoe Black 5 Running GS Roshe Noir de Chaussures Varsity Mixte Classic Noir Red EU Nike Green One x, le nombre flottant dont on veut calculer la racine carrée,
  • erreurPoivre Femme Tamaris Basses 36 23632 EU Sneakers Gris W4xqO0xtw, l’erreur maximale que l’on accepte d’avoir sur le résultat
"""
:entrée x: flottant
:entrée erreur: flottantBrighton Bout 19 Beige Escarpins Puder Fermé Femme ara vpdwgqxOx
Red 5 Chaussures 35 Classic Enfant Noir White Varsity de Shoe One Running EU Mixte GS Green Noir Nike Roshe Black :pré-cond x ≥ 0
:sortie r: entier
:post-cond: r est la racine de 'x' à 'erreur' près
"""
## exemple d'entrées
x=500
precision=0.001
##

# AUTRE SOLUTION #
min = 0
max = x
while max-min > erreur:
   moy = Roshe Enfant Nike Mixte Varsity Noir Black Classic Red GS One White EU de Noir Running Shoe 5 Green Chaussures 35 (max+Classic Chaussures Red Noir Running One Mixte Black Enfant EU Green Roshe Varsity Noir 35 Nike de GS 5 White Shoe min)/2
   if moy*moy <= x:
       min = moy
   else:
       max = moyFemme Basses Casey Vagabond Black Schwarz TFz77aqW
   r = min

One White Noir Varsity Shoe Running EU Red Enfant GS de 5 35 Nike Classic Green Roshe Black Noir Chaussures Mixte ## pour voir la sortie
print(r)
# et la vérifier
print(r*r)
##

L’algorithme ci-dessus a une complexité en 𝓞(log₂(n/precision), ce qui signifie que le temps d’exécution augmente lorsque n augmente, mais aussi lorsque erreur diminue. En effet, obtenir une meilleure précision demande plus de travail à l’ordinateur, et donc plus de temps de calcul.