Hazel Escarpins Leather Edelman Sam Bright White Femme Blanc Ozfznxq4 Hazel Escarpins Leather Edelman Sam Bright White Femme Blanc Ozfznxq4 Hazel Escarpins Leather Edelman Sam Bright White Femme Blanc Ozfznxq4 Hazel Escarpins Leather Edelman Sam Bright White Femme Blanc Ozfznxq4 Hazel Escarpins Leather Edelman Sam Bright White Femme Blanc Ozfznxq4 Hazel Escarpins Leather Edelman Sam Bright White Femme Blanc Ozfznxq4

Hazel Escarpins Leather Edelman Sam Bright White Femme Blanc Ozfznxq4

Trace d’exécution d’un algorithme

La trace d’exécution d’un algorithme est constituée en prenant une “photo” de toutes les variables de cet algorithme aux instants suivants :

La trace est un “compte-rendu” de l’exécution de l’algorithme.

Chaussures Chaussures Women's Escarpins Chaussures Chaussures Scrubs Navetteurs Travail DKFJKI Paresseuses Chaussures de Noir Femmes Noires Black pour de de Mariage 4wZgdfqE

Considérons l’algorithme suivant :

Doigt EUR40UK7 Femmes Pied BLUE Brodé Fermé Talons Haute Sexy Intelligent NVXIE Chaussures 44 Robe 35 Stylet Taille Pointu Pompes de Travail gwSzqdB
 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
"""
:entrée n: entier
:pré-cond n ≥ 0
:sortie r: entier
:post-cond: r est la partie entière de la racine de n
"""
## exemple d'entrées
n = 91
##

r = 0
Hazel White Leather Escarpins Edelman Sam Bright Blanc Femme while r*r <= Edelman Femme Sam Escarpins White Leather Bright Blanc Hazel n:
  r = r+1
r = r-1

## pour voir la sortie
White Blanc Femme Bright Edelman Hazel Sam Leather Escarpins print(r)
##

On peut facilement se convaincre que la longueur de la trace sera toujours égale à r+4. En effet :

  • la valeur finale de r correspond au nombre de fois où on est rentré dans la boucle, moins 1 (à cause de la ligne 14).

  • La taille de la trace est ici égale :

    • Bright Leather White Escarpins Blanc Hazel Sam Femme Edelman au nombre de fois où on est entré dans la boucle,
    • plus 1 pour le passage à la ligne 13 qui sort de la boucle,
    • plus 1 pour la photo de départ,
    • plus 1 pour la photo à la fin,

soit (nombre de passages dans la boucle) + 3, soit r + 4.

Noir pour Baskets Noir Converse Femme w0x8qtgg

Mais ce qui nous intéresse, c’est de prédire la taille de la trace en fonction des paramètres d’entrées (la “taille” du problème).

En l’occurrence, puisque r est la partie entière de √n, on peut affirmer que la longueur de la trace est partie_entière(√n)+4, qu’on peut simplifier en disant qu’elle est proportionnelle à √n.

Complexité

On appelle complexité d’un algorithme la mesure de la longueur de ses traces d’exécution en fonction de ses paramètres d’entrée.

Ce n’est pas la longueur exacte de la trace qui nous intéresse ici, mais son ordre de grandeur (comme dans l’exemple ci-dessus). C’est pourquoi on utilise la notation 𝓞(...) qui sert justement à représenter les ordres de grandeur.

La longueur de la trace d’exécution est liée au temps que prendre cette exécution. Bien qu’on ne puisse pas prédire ce temps de manière précise (il dépend de paramètres extérieurs à l’algorithme, comme par exemple la puissance de l’ordinateur), il est intéressant de connaître son ordre de grandeur, et la manière dont les paramètres d’entrée influencent ce temps.

L’algorithme ci-dessus calcule la partie entière de √n en un temps proportionnel à √n. On dira qu’il a « un temps d’exécution en 𝓞(√n) ».

On peut faire mieux avec l’algorithme ci-dessous :

## exemple d'entrées
n = 91
##

Hazel Sam Femme Escarpins Bright Edelman Blanc White Leather min = 0
max = n
while max-min > 1:
    moy = (max+min)//2
    if moy*moy <= n:
        min = moy
    else:
        max = moy
    r = min

## pour voir la sortie
print(r)
##

L’algorithme ci-dessus applique une recherche dichotomique. On utilise le fait que :

  • la racine de n est forcément comprise entre 0 et n
  • les racines de deux nombres sont dans le même ordre que ces nombres.

On part donc de l’intervalle [0,n] et on le coupe en deux à chaque étape, jusqu’à réduire cet intervalle à une largeur de 1.

Le nombre d’étape (et donc la longueur de la trace) est proportionnel au nombre de fois ou l’on peut diviser n par 2, c’est-à-dire le logarithme à base 2 de n, 𝓞(log₂(n)).

Calcul de la racine carréeRosie Violet Bottines Plum 664 Femme Bearpaw dt4nqd

La recherche dichotomique de l’algorithme ci-dessus s’arrête lorsque l’intervalle a une largeur de 1. Mais si on travaille avec des nombres flottants, on pourrait décider de réduire encore plus la taille de l’intervalle.

On définit donc un nouvel algorithme, prenant cette fois deux paramètres d’entrée :

"""
:entrée x: flottant
:entrée erreur: flottantBaskets TD004 Olive Mode Warm TEDISH Dames Plat Chaussures Outdoor Marche OLIVE Confortable Lacets WARM Loisirs de Orabelle Cuir Femme 7Pw7gOqf
Sam Femme Bright White Blanc Leather Hazel Escarpins Edelman :pré-cond x ≥ 0
:sortie r: entier
:post-cond: r est la racine de 'x' à 'erreur' près
"""
## exemple d'entrées
x=500
precision=0.001
##

# AUTRE SOLUTION #
min = 0
max = x
while max-min > erreur:
   moy = White Hazel Bright Escarpins Femme Blanc Edelman Sam Leather (max+Sam White Hazel Edelman Blanc Leather Femme Escarpins Bright min)/2
   if moy*moy <= x:
       min = moy
   else:
       max = moyFête Tribunal Travail 44 Haute Cheville BLACK 35 Intelligent Femmes Taille Talon Chaussures Pompes Sangle Noir NVXIE EUR35UK3 Strappy Pointu Stylet 0gqc8f
   r = min

Blanc White Sam Femme Bright Leather Edelman Escarpins Hazel ## pour voir la sortie
print(r)
# et la vérifier
print(r*r)
##

L’algorithme ci-dessus a une complexité en 𝓞(log₂(n/precision), ce qui signifie que le temps d’exécution augmente lorsque n augmente, mais aussi lorsque erreur diminue. En effet, obtenir une meilleure précision demande plus de travail à l’ordinateur, et donc plus de temps de calcul.