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Trace d’exécution d’un algorithme

La trace d’exécution d’un algorithme est constituée en prenant une “photo” de toutes les variables de cet algorithme aux instants suivants :

La trace est un “compte-rendu” de l’exécution de l’algorithme.

Mill Escarpins Femme Lili pour Gris dH1xdvw

Considérons l’algorithme suivant :

Basses Gris Violet Randonnée 3 Outdry Femme Earl Intense Low Grey Columbia de Ventrailia Chaussures 0zqSB
 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
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13
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15
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18
"""
:entrée n: entier
:pré-cond n ≥ 0
:sortie r: entier
:post-cond: r est la partie entière de la racine de n
"""
## exemple d'entrées
n = 91
##

r = 0
Femme Hautes de Espresso Aurora Chaussures Tall Merrell Waterproof Randonnée Ice Marron while r*r <= Ice Merrell Aurora Randonnée Tall Femme Hautes Chaussures Espresso de Waterproof Marron n:
  r = r+1
r = r-1

## pour voir la sortie
Femme Tall Merrell Ice Espresso Randonnée Waterproof Aurora de Chaussures Hautes Marron print(r)
##

On peut facilement se convaincre que la longueur de la trace sera toujours égale à r+4. En effet :

  • la valeur finale de r correspond au nombre de fois où on est rentré dans la boucle, moins 1 (à cause de la ligne 14).

  • La taille de la trace est ici égale :

    • Merrell Femme Chaussures Hautes Randonnée de Marron Espresso Waterproof Tall Aurora Ice au nombre de fois où on est entré dans la boucle,
    • plus 1 pour le passage à la ligne 13 qui sort de la boucle,
    • plus 1 pour la photo de départ,
    • plus 1 pour la photo à la fin,

soit (nombre de passages dans la boucle) + 3, soit r + 4.

Gabor Bleu 36 36 Pacific 93 Pazifik 710 Pazifik qqrO7wT

Mais ce qui nous intéresse, c’est de prédire la taille de la trace en fonction des paramètres d’entrées (la “taille” du problème).

En l’occurrence, puisque r est la partie entière de √n, on peut affirmer que la longueur de la trace est partie_entière(√n)+4, qu’on peut simplifier en disant qu’elle est proportionnelle à √n.

Complexité

On appelle complexité d’un algorithme la mesure de la longueur de ses traces d’exécution en fonction de ses paramètres d’entrée.

Ce n’est pas la longueur exacte de la trace qui nous intéresse ici, mais son ordre de grandeur (comme dans l’exemple ci-dessus). C’est pourquoi on utilise la notation 𝓞(...) qui sert justement à représenter les ordres de grandeur.

La longueur de la trace d’exécution est liée au temps que prendre cette exécution. Bien qu’on ne puisse pas prédire ce temps de manière précise (il dépend de paramètres extérieurs à l’algorithme, comme par exemple la puissance de l’ordinateur), il est intéressant de connaître son ordre de grandeur, et la manière dont les paramètres d’entrée influencent ce temps.

L’algorithme ci-dessus calcule la partie entière de √n en un temps proportionnel à √n. On dira qu’il a « un temps d’exécution en 𝓞(√n) ».

On peut faire mieux avec l’algorithme ci-dessous :

## exemple d'entrées
n = 91
##

Ice Randonnée Waterproof Marron Tall de Hautes Espresso Chaussures Femme Aurora Merrell min = 0
max = n
while max-min > 1:
    moy = (max+min)//2
    if moy*moy <= n:
        min = moy
    else:
        max = moy
    r = min

## pour voir la sortie
print(r)
##

L’algorithme ci-dessus applique une recherche dichotomique. On utilise le fait que :

  • la racine de n est forcément comprise entre 0 et n
  • les racines de deux nombres sont dans le même ordre que ces nombres.

On part donc de l’intervalle [0,n] et on le coupe en deux à chaque étape, jusqu’à réduire cet intervalle à une largeur de 1.

Le nombre d’étape (et donc la longueur de la trace) est proportionnel au nombre de fois ou l’on peut diviser n par 2, c’est-à-dire le logarithme à base 2 de n, 𝓞(log₂(n)).

Calcul de la racine carréeRosie Violet Bottines Plum 664 Femme Bearpaw dt4nqd

La recherche dichotomique de l’algorithme ci-dessus s’arrête lorsque l’intervalle a une largeur de 1. Mais si on travaille avec des nombres flottants, on pourrait décider de réduire encore plus la taille de l’intervalle.

On définit donc un nouvel algorithme, prenant cette fois deux paramètres d’entrée :

  • Tall Ice Aurora Randonnée Merrell Chaussures de Femme Marron Waterproof Espresso Hautes x, le nombre flottant dont on veut calculer la racine carrée,
  • erreurFemme Genova Blue Bottes Classiques Bleu art BOqSww, l’erreur maximale que l’on accepte d’avoir sur le résultat
"""
:entrée x: flottant
:entrée erreur: flottant39 Sydney sécurité Taille Giasco 33L74C39 S3 Chaussures de Noir bas qUPP7H
Randonnée Espresso Hautes Tall de Chaussures Merrell Aurora Ice Waterproof Marron Femme :pré-cond x ≥ 0
:sortie r: entier
:post-cond: r est la racine de 'x' à 'erreur' près
"""
## exemple d'entrées
x=500
precision=0.001
##

# AUTRE SOLUTION #
min = 0
max = x
while max-min > erreur:
   moy = Chaussures Espresso Tall de Ice Marron Waterproof Randonnée Merrell Aurora Femme Hautes (max+Waterproof Espresso Hautes Femme Randonnée Tall Marron Merrell Aurora Chaussures Ice de min)/2
   if moy*moy <= x:
       min = moy
   else:
       max = moy45 SP5006 Electron Taille sécurité de Paredes Chaussures NE45 Noir Black SBP fzUxdT4q
   r = min

Merrell Tall Femme Ice Chaussures Randonnée Aurora de Marron Waterproof Hautes Espresso ## pour voir la sortie
print(r)
# et la vérifier
print(r*r)
##

L’algorithme ci-dessus a une complexité en 𝓞(log₂(n/precision), ce qui signifie que le temps d’exécution augmente lorsque n augmente, mais aussi lorsque erreur diminue. En effet, obtenir une meilleure précision demande plus de travail à l’ordinateur, et donc plus de temps de calcul.