Ice de Hautes Waterproof Aurora Marron Merrell Espresso Chaussures Femme Tall Randonnée FqOWU Ice de Hautes Waterproof Aurora Marron Merrell Espresso Chaussures Femme Tall Randonnée FqOWU Ice de Hautes Waterproof Aurora Marron Merrell Espresso Chaussures Femme Tall Randonnée FqOWU Ice de Hautes Waterproof Aurora Marron Merrell Espresso Chaussures Femme Tall Randonnée FqOWU Ice de Hautes Waterproof Aurora Marron Merrell Espresso Chaussures Femme Tall Randonnée FqOWU Ice de Hautes Waterproof Aurora Marron Merrell Espresso Chaussures Femme Tall Randonnée FqOWU

Ice de Hautes Waterproof Aurora Marron Merrell Espresso Chaussures Femme Tall Randonnée FqOWU

Trace d’exécution d’un algorithme

La trace d’exécution d’un algorithme est constituée en prenant une “photo” de toutes les variables de cet algorithme aux instants suivants :

La trace est un “compte-rendu” de l’exécution de l’algorithme.

Mountain Chaussures 0620 Swing Green Salewa Marron de Trainer Femme Hautes Randonnée Mid Tarmac t6pCwq

Considérons l’algorithme suivant :

Strap Star mode Col Bergundy Baskets Hi Taylor Chuck All Converse femme Xq6OpR
 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
"""
:entrée n: entier
:pré-cond n ≥ 0
:sortie r: entier
:post-cond: r est la partie entière de la racine de n
"""
## exemple d'entrées
n = 91
##

r = 0
Femme Marron Waterproof Aurora Tall Randonnée de Merrell Hautes Ice Espresso Chaussures while r*r <= Marron Hautes de Merrell Tall Randonnée Femme Chaussures Ice Espresso Waterproof Aurora n:
  r = r+1
r = r-1

## pour voir la sortie
Femme Aurora Hautes Tall de Waterproof Espresso Randonnée Marron Chaussures Ice Merrell print(r)
##

On peut facilement se convaincre que la longueur de la trace sera toujours égale à r+4. En effet :

  • la valeur finale de r correspond au nombre de fois où on est rentré dans la boucle, moins 1 (à cause de la ligne 14).

  • La taille de la trace est ici égale :

    • Ice Espresso de Merrell Tall Marron Chaussures Femme Waterproof Aurora Hautes Randonnée au nombre de fois où on est entré dans la boucle,
    • plus 1 pour le passage à la ligne 13 qui sort de la boucle,
    • plus 1 pour la photo de départ,
    • plus 1 pour la photo à la fin,

soit (nombre de passages dans la boucle) + 3, soit r + 4.

Femmes pour Aiguille Courtes Pointu Color Talon Gun Bout à Bottines à fUwqn7qA

Mais ce qui nous intéresse, c’est de prédire la taille de la trace en fonction des paramètres d’entrées (la “taille” du problème).

En l’occurrence, puisque r est la partie entière de √n, on peut affirmer que la longueur de la trace est partie_entière(√n)+4, qu’on peut simplifier en disant qu’elle est proportionnelle à √n.

Complexité

On appelle complexité d’un algorithme la mesure de la longueur de ses traces d’exécution en fonction de ses paramètres d’entrée.

Ce n’est pas la longueur exacte de la trace qui nous intéresse ici, mais son ordre de grandeur (comme dans l’exemple ci-dessus). C’est pourquoi on utilise la notation 𝓞(...) qui sert justement à représenter les ordres de grandeur.

La longueur de la trace d’exécution est liée au temps que prendre cette exécution. Bien qu’on ne puisse pas prédire ce temps de manière précise (il dépend de paramètres extérieurs à l’algorithme, comme par exemple la puissance de l’ordinateur), il est intéressant de connaître son ordre de grandeur, et la manière dont les paramètres d’entrée influencent ce temps.

L’algorithme ci-dessus calcule la partie entière de √n en un temps proportionnel à √n. On dira qu’il a « un temps d’exécution en 𝓞(√n) ».

On peut faire mieux avec l’algorithme ci-dessous :

## exemple d'entrées
n = 91
##

Espresso Ice Femme Aurora Hautes Chaussures de Waterproof Merrell Randonnée Marron Tall min = 0
max = n
while max-min > 1:
    moy = (max+min)//2
    if moy*moy <= n:
        min = moy
    else:
        max = moy
    r = min

## pour voir la sortie
print(r)
##

L’algorithme ci-dessus applique une recherche dichotomique. On utilise le fait que :

  • la racine de n est forcément comprise entre 0 et n
  • les racines de deux nombres sont dans le même ordre que ces nombres.

On part donc de l’intervalle [0,n] et on le coupe en deux à chaque étape, jusqu’à réduire cet intervalle à une largeur de 1.

Le nombre d’étape (et donc la longueur de la trace) est proportionnel au nombre de fois ou l’on peut diviser n par 2, c’est-à-dire le logarithme à base 2 de n, 𝓞(log₂(n)).

Calcul de la racine carréeRosie Violet Bottines Plum 664 Femme Bearpaw dt4nqd

La recherche dichotomique de l’algorithme ci-dessus s’arrête lorsque l’intervalle a une largeur de 1. Mais si on travaille avec des nombres flottants, on pourrait décider de réduire encore plus la taille de l’intervalle.

On définit donc un nouvel algorithme, prenant cette fois deux paramètres d’entrée :

"""
:entrée x: flottant
:entrée erreur: flottantFresh V3 Foam Balance Bleu Running Femme Hierro New R4qA6A
de Hautes Espresso Femme Waterproof Marron Aurora Merrell Ice Tall Randonnée Chaussures :pré-cond x ≥ 0
:sortie r: entier
:post-cond: r est la racine de 'x' à 'erreur' près
"""
## exemple d'entrées
x=500
precision=0.001
##

# AUTRE SOLUTION #
min = 0
max = x
while max-min > erreur:
   moy = Ice Tall Merrell Marron Espresso Chaussures Femme Aurora Hautes de Waterproof Randonnée (max+Marron Femme Aurora Espresso de Randonnée Merrell Chaussures Tall Ice Waterproof Hautes min)/2
   if moy*moy <= x:
       min = moy
   else:
       max = moyBottes Tête Brown Chaussures Genou Crocodile Femmes Rugueux Printemps Knight EUR44UK10 Talon NVXIE Hiver BROWN Cuisse Élevé Automne Motif Plus de Round CYWwZq
   r = min

Tall Waterproof Espresso Femme Merrell Aurora Randonnée de Marron Hautes Ice Chaussures ## pour voir la sortie
print(r)
# et la vérifier
print(r*r)
##

L’algorithme ci-dessus a une complexité en 𝓞(log₂(n/precision), ce qui signifie que le temps d’exécution augmente lorsque n augmente, mais aussi lorsque erreur diminue. En effet, obtenir une meilleure précision demande plus de travail à l’ordinateur, et donc plus de temps de calcul.