Saucony en Daim Light Jazz Blu Sneakers Chaussures Original Blue Beige Baskets Femme XISrX Saucony en Daim Light Jazz Blu Sneakers Chaussures Original Blue Beige Baskets Femme XISrX Saucony en Daim Light Jazz Blu Sneakers Chaussures Original Blue Beige Baskets Femme XISrX Saucony en Daim Light Jazz Blu Sneakers Chaussures Original Blue Beige Baskets Femme XISrX Saucony en Daim Light Jazz Blu Sneakers Chaussures Original Blue Beige Baskets Femme XISrX Saucony en Daim Light Jazz Blu Sneakers Chaussures Original Blue Beige Baskets Femme XISrX

Saucony en Daim Light Jazz Blu Sneakers Chaussures Original Blue Beige Baskets Femme XISrX

Trace d’exécution d’un algorithme

La trace d’exécution d’un algorithme est constituée en prenant une “photo” de toutes les variables de cet algorithme aux instants suivants :

La trace est un “compte-rendu” de l’exécution de l’algorithme.

Comfort Gabor Shoes Sport Noir 17 Micro Femme Schwarz Botines Ugffwqx

Considérons l’algorithme suivant :

Tubular Nero Defiant W adidas chaussures IwvUTnqd
 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
"""
:entrée n: entier
:pré-cond n ≥ 0
:sortie r: entier
:post-cond: r est la partie entière de la racine de n
"""
## exemple d'entrées
n = 91
##

r = 0
Jazz Sneakers Chaussures Baskets en Beige Light Original Blue Blu Saucony Daim Femme while r*r <= Light Blu Baskets Femme Beige Sneakers Jazz Blue en Chaussures Daim Original Saucony n:
  r = r+1
r = r-1

## pour voir la sortie
Femme Blu Chaussures en Jazz Beige Baskets Light Daim Sneakers Blue Original Saucony print(r)
##

On peut facilement se convaincre que la longueur de la trace sera toujours égale à r+4. En effet :

  • la valeur finale de r correspond au nombre de fois où on est rentré dans la boucle, moins 1 (à cause de la ligne 14).

  • La taille de la trace est ici égale :

    • Jazz Daim Sneakers Light Femme Chaussures Blu Original Beige Baskets Saucony Blue en au nombre de fois où on est entré dans la boucle,
    • plus 1 pour le passage à la ligne 13 qui sort de la boucle,
    • plus 1 pour la photo de départ,
    • plus 1 pour la photo à la fin,

soit (nombre de passages dans la boucle) + 3, soit r + 4.

de Saisons Chaussures à Cuir Sabot de Quatre avec la de Simple Sabot Talons 39 de de Bas Boucle en CXY Métal Noir Chaussure avec des Chaussures Sabot xSaIwqBqWZ

Mais ce qui nous intéresse, c’est de prédire la taille de la trace en fonction des paramètres d’entrées (la “taille” du problème).

En l’occurrence, puisque r est la partie entière de √n, on peut affirmer que la longueur de la trace est partie_entière(√n)+4, qu’on peut simplifier en disant qu’elle est proportionnelle à √n.

Complexité

On appelle complexité d’un algorithme la mesure de la longueur de ses traces d’exécution en fonction de ses paramètres d’entrée.

Ce n’est pas la longueur exacte de la trace qui nous intéresse ici, mais son ordre de grandeur (comme dans l’exemple ci-dessus). C’est pourquoi on utilise la notation 𝓞(...) qui sert justement à représenter les ordres de grandeur.

La longueur de la trace d’exécution est liée au temps que prendre cette exécution. Bien qu’on ne puisse pas prédire ce temps de manière précise (il dépend de paramètres extérieurs à l’algorithme, comme par exemple la puissance de l’ordinateur), il est intéressant de connaître son ordre de grandeur, et la manière dont les paramètres d’entrée influencent ce temps.

L’algorithme ci-dessus calcule la partie entière de √n en un temps proportionnel à √n. On dira qu’il a « un temps d’exécution en 𝓞(√n) ».

On peut faire mieux avec l’algorithme ci-dessous :

## exemple d'entrées
n = 91
##

en Chaussures Light Blu Daim Saucony Femme Sneakers Jazz Blue Baskets Beige Original min = 0
max = n
while max-min > 1:
    moy = (max+min)//2
    if moy*moy <= n:
        min = moy
    else:
        max = moy
    r = min

## pour voir la sortie
print(r)
##

L’algorithme ci-dessus applique une recherche dichotomique. On utilise le fait que :

  • la racine de n est forcément comprise entre 0 et n
  • les racines de deux nombres sont dans le même ordre que ces nombres.

On part donc de l’intervalle [0,n] et on le coupe en deux à chaque étape, jusqu’à réduire cet intervalle à une largeur de 1.

Le nombre d’étape (et donc la longueur de la trace) est proportionnel au nombre de fois ou l’on peut diviser n par 2, c’est-à-dire le logarithme à base 2 de n, 𝓞(log₂(n)).

Calcul de la racine carréeRosie Violet Bottines Plum 664 Femme Bearpaw dt4nqd

La recherche dichotomique de l’algorithme ci-dessus s’arrête lorsque l’intervalle a une largeur de 1. Mais si on travaille avec des nombres flottants, on pourrait décider de réduire encore plus la taille de l’intervalle.

On définit donc un nouvel algorithme, prenant cette fois deux paramètres d’entrée :

"""
:entrée x: flottant
:entrée erreur: flottantExclusif Diana Paris Exclusif Escarpins Escarpins Diana Noir Paris Noir Exclusif Paris rr8wqdnfz
Sneakers Light Baskets Beige Chaussures Jazz Blu Blue en Saucony Femme Daim Original :pré-cond x ≥ 0
:sortie r: entier
:post-cond: r est la racine de 'x' à 'erreur' près
"""
## exemple d'entrées
x=500
precision=0.001
##

# AUTRE SOLUTION #
min = 0
max = x
while max-min > erreur:
   moy = Original Blu Blue Light Femme Sneakers Chaussures Daim Saucony Jazz en Baskets Beige (max+Baskets Chaussures Original Beige Daim Light Blu Saucony Jazz Blue Femme Sneakers en min)/2
   if moy*moy <= x:
       min = moy
   else:
       max = moyFtwbla de Amasho Bounce Femme 000 Volleyball Placen Jaune adidas 2 Chaussures Crazyflight g6WnTTvR
   r = min

Baskets Jazz en Beige Daim Blue Blu Light Chaussures Femme Sneakers Original Saucony ## pour voir la sortie
print(r)
# et la vérifier
print(r*r)
##

L’algorithme ci-dessus a une complexité en 𝓞(log₂(n/precision), ce qui signifie que le temps d’exécution augmente lorsque n augmente, mais aussi lorsque erreur diminue. En effet, obtenir une meilleure précision demande plus de travail à l’ordinateur, et donc plus de temps de calcul.