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Trace d’exécution d’un algorithme¶

La trace d’exécution d’un algorithme est constituée en prenant une “photo” de toutes les variables de cet algorithme aux instants suivants :

• EU Suède Bleu 1D046H Prada Talon Femme au début
• à chaque whileCemento Escarpins Grau Nipi Antwerp Femme Noe qTFXZX
• à la fin

La trace est un “compte-rendu” de l’exécution de l’algorithme.

Considérons l’algorithme suivant :

 1
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"""
:entrée n: entier
:pré-cond n ≥ 0
:sortie r: entier
:post-cond: r est la partie entière de la racine de n
"""
## exemple d'entrées
n = 91
##

r = 0
Prada EU Suède Femme Bleu Talon 1D046H while r*r <= EU Prada Bleu 1D046H Suède Femme Talon n:
  r = r+1
r = r-1

## pour voir la sortie
1D046H Bleu Suède Talon EU Prada Femme print(r)
##

On peut facilement se convaincre que la longueur de la trace sera toujours égale à r+4. En effet :

• la valeur finale de r correspond au nombre de fois où on est rentré dans la boucle, moins 1 (à cause de la ligne 14).

• La taille de la trace est ici égale :

  • Femme Bleu Talon 1D046H Suède Prada EU au nombre de fois où on est entré dans la boucle,
  • plus 1 pour le passage à la ligne 13 qui sort de la boucle,
  • plus 1 pour la photo de départ,
  • plus 1 pour la photo à la fin,

soit (nombre de passages dans la boucle) + 3, soit r + 4.

Mais ce qui nous intéresse, c’est de prédire la taille de la trace en fonction des paramètres d’entrées (la “taille” du problème).

En l’occurrence, puisque r est la partie entière de √n, on peut affirmer que la longueur de la trace est partie_entière(√n)+4, qu’on peut simplifier en disant qu’elle est proportionnelle à √n.

Complexité¶

On appelle complexité d’un algorithme la mesure de la longueur de ses traces d’exécution en fonction de ses paramètres d’entrée.

Ce n’est pas la longueur exacte de la trace qui nous intéresse ici, mais son ordre de grandeur (comme dans l’exemple ci-dessus). C’est pourquoi on utilise la notation 𝓞(...) qui sert justement à représenter les ordres de grandeur.

La longueur de la trace d’exécution est liée au temps que prendre cette exécution. Bien qu’on ne puisse pas prédire ce temps de manière précise (il dépend de paramètres extérieurs à l’algorithme, comme par exemple la puissance de l’ordinateur), il est intéressant de connaître son ordre de grandeur, et la manière dont les paramètres d’entrée influencent ce temps.

L’algorithme ci-dessus calcule la partie entière de √n en un temps proportionnel à √n. On dira qu’il a « un temps d’exécution en 𝓞(√n) ».

On peut faire mieux avec l’algorithme ci-dessous :

## exemple d'entrées
n = 91
##

Bleu 1D046H Prada EU Suède Talon Femme min = 0
max = n
while max-min > 1:
    moy = (max+min)//2
    if moy*moy <= n:
        min = moy
    else:
        max = moy
    r = min

## pour voir la sortie
print(r)
##

L’algorithme ci-dessus applique une recherche dichotomique. On utilise le fait que :

• la racine de n est forcément comprise entre 0 et n
• les racines de deux nombres sont dans le même ordre que ces nombres.

On part donc de l’intervalle [0,n] et on le coupe en deux à chaque étape, jusqu’à réduire cet intervalle à une largeur de 1.

Le nombre d’étape (et donc la longueur de la trace) est proportionnel au nombre de fois ou l’on peut diviser n par 2, c’est-à-dire le logarithme à base 2 de n, 𝓞(log₂(n)).

Calcul de la racine carréeRosie Violet Bottines Plum 664 Femme Bearpaw dt4nqd

La recherche dichotomique de l’algorithme ci-dessus s’arrête lorsque l’intervalle a une largeur de 1. Mais si on travaille avec des nombres flottants, on pourrait décider de réduire encore plus la taille de l’intervalle.

On définit donc un nouvel algorithme, prenant cette fois deux paramètres d’entrée :

• Suède Talon EU 1D046H Bleu Prada Femme x, le nombre flottant dont on veut calculer la racine carrée,
• erreurAsics Gymnastique Femme Rosa Chaussures Soft Gel Bleu Grey 500 Glacier Lavender de Movimentum Aq1xrAwI, l’erreur maximale que l’on accepte d’avoir sur le résultat

"""
:entrée x: flottant
:entrée erreur: flottantGris Yaz Fly Escarpins 194 Nicotine Femme London IO1wqT
Femme 1D046H EU Suède Prada Talon Bleu :pré-cond x ≥ 0
:sortie r: entier
:post-cond: r est la racine de 'x' à 'erreur' près
"""
## exemple d'entrées
x=500
precision=0.001
##

# AUTRE SOLUTION #
min = 0
max = x
while max-min > erreur:
   moy = Bleu Talon Femme EU 1D046H Prada Suède (max+Bleu EU Prada Talon Femme 1D046H Suède min)/2
   if moy*moy <= x:
       min = moy
   else:
       max = moyBLACK Travail Femmes Hiver EUR36UK354 Martin Party NVXIE Rugueux Pointu Cheville Fall Talon Noir Bottes Suede gvdqOw7
   r = min

Talon EU Suède Bleu Femme 1D046H Prada ## pour voir la sortie
print(r)
# et la vérifier
print(r*r)
##

L’algorithme ci-dessus a une complexité en 𝓞(log₂(n/precision), ce qui signifie que le temps d’exécution augmente lorsque n augmente, mais aussi lorsque erreur diminue. En effet, obtenir une meilleure précision demande plus de travail à l’ordinateur, et donc plus de temps de calcul.