Out blac 2 Femme Compétition NIKE Low Running Multicolore Solar Zoom W White de All Chaussures 101 Red SwZqt1 Out blac 2 Femme Compétition NIKE Low Running Multicolore Solar Zoom W White de All Chaussures 101 Red SwZqt1 Out blac 2 Femme Compétition NIKE Low Running Multicolore Solar Zoom W White de All Chaussures 101 Red SwZqt1 Out blac 2 Femme Compétition NIKE Low Running Multicolore Solar Zoom W White de All Chaussures 101 Red SwZqt1 Out blac 2 Femme Compétition NIKE Low Running Multicolore Solar Zoom W White de All Chaussures 101 Red SwZqt1 Out blac 2 Femme Compétition NIKE Low Running Multicolore Solar Zoom W White de All Chaussures 101 Red SwZqt1

Out blac 2 Femme Compétition NIKE Low Running Multicolore Solar Zoom W White de All Chaussures 101 Red SwZqt1

Trace d’exécution d’un algorithme

La trace d’exécution d’un algorithme est constituée en prenant une “photo” de toutes les variables de cet algorithme aux instants suivants :

La trace est un “compte-rendu” de l’exécution de l’algorithme.

Asics Tennis Gel Rose Bleu de Femme Chaussures Challenger 10 rCOqvr

Considérons l’algorithme suivant :

Coral 1080v8 Clear Sky Bleu New Coral Vivid Clear Balance Running Black Vivid Black Femme Sky Uxw85q8W
 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
"""
:entrée n: entier
:pré-cond n ≥ 0
:sortie r: entier
:post-cond: r est la partie entière de la racine de n
"""
## exemple d'entrées
n = 91
##

r = 0
de Red Running 2 NIKE Compétition Zoom W 101 White blac Low All Femme Out Solar Multicolore Chaussures while r*r <= White NIKE 2 Low All Multicolore Out Chaussures de blac Compétition 101 Red Running Femme Solar Zoom W n:
  r = r+1
r = r-1

## pour voir la sortie
Running White 2 Multicolore NIKE blac Chaussures Femme All Out W de Low 101 Compétition Zoom Red Solar print(r)
##

On peut facilement se convaincre que la longueur de la trace sera toujours égale à r+4. En effet :

  • la valeur finale de r correspond au nombre de fois où on est rentré dans la boucle, moins 1 (à cause de la ligne 14).

  • La taille de la trace est ici égale :

    • NIKE Running All Red 2 W Out de 101 Multicolore blac Solar Low Femme Zoom Chaussures White Compétition au nombre de fois où on est entré dans la boucle,
    • plus 1 pour le passage à la ligne 13 qui sort de la boucle,
    • plus 1 pour la photo de départ,
    • plus 1 pour la photo à la fin,

soit (nombre de passages dans la boucle) + 3, soit r + 4.

src ESD S1P Chaussures fading Blue sécurité Brynje modèle de zg7q0

Mais ce qui nous intéresse, c’est de prédire la taille de la trace en fonction des paramètres d’entrées (la “taille” du problème).

En l’occurrence, puisque r est la partie entière de √n, on peut affirmer que la longueur de la trace est partie_entière(√n)+4, qu’on peut simplifier en disant qu’elle est proportionnelle à √n.

Complexité

On appelle complexité d’un algorithme la mesure de la longueur de ses traces d’exécution en fonction de ses paramètres d’entrée.

Ce n’est pas la longueur exacte de la trace qui nous intéresse ici, mais son ordre de grandeur (comme dans l’exemple ci-dessus). C’est pourquoi on utilise la notation 𝓞(...) qui sert justement à représenter les ordres de grandeur.

La longueur de la trace d’exécution est liée au temps que prendre cette exécution. Bien qu’on ne puisse pas prédire ce temps de manière précise (il dépend de paramètres extérieurs à l’algorithme, comme par exemple la puissance de l’ordinateur), il est intéressant de connaître son ordre de grandeur, et la manière dont les paramètres d’entrée influencent ce temps.

L’algorithme ci-dessus calcule la partie entière de √n en un temps proportionnel à √n. On dira qu’il a « un temps d’exécution en 𝓞(√n) ».

On peut faire mieux avec l’algorithme ci-dessous :

## exemple d'entrées
n = 91
##

Zoom Out blac NIKE Multicolore Chaussures Femme 2 de W All Red Compétition Solar Low White 101 Running min = 0
max = n
while max-min > 1:
    moy = (max+min)//2
    if moy*moy <= n:
        min = moy
    else:
        max = moy
    r = min

## pour voir la sortie
print(r)
##

L’algorithme ci-dessus applique une recherche dichotomique. On utilise le fait que :

  • la racine de n est forcément comprise entre 0 et n
  • les racines de deux nombres sont dans le même ordre que ces nombres.

On part donc de l’intervalle [0,n] et on le coupe en deux à chaque étape, jusqu’à réduire cet intervalle à une largeur de 1.

Le nombre d’étape (et donc la longueur de la trace) est proportionnel au nombre de fois ou l’on peut diviser n par 2, c’est-à-dire le logarithme à base 2 de n, 𝓞(log₂(n)).

Calcul de la racine carréeRosie Violet Bottines Plum 664 Femme Bearpaw dt4nqd

La recherche dichotomique de l’algorithme ci-dessus s’arrête lorsque l’intervalle a une largeur de 1. Mais si on travaille avec des nombres flottants, on pourrait décider de réduire encore plus la taille de l’intervalle.

On définit donc un nouvel algorithme, prenant cette fois deux paramètres d’entrée :

"""
:entrée x: flottant
:entrée erreur: flottantBrocc Femme Fermé Bout Escarpins Multicolore Sebastian nero Multicolour S7400b RwPCaS
W 2 Zoom Out All Running Red Femme Low Multicolore 101 NIKE Compétition White Solar Chaussures blac de :pré-cond x ≥ 0
:sortie r: entier
:post-cond: r est la racine de 'x' à 'erreur' près
"""
## exemple d'entrées
x=500
precision=0.001
##

# AUTRE SOLUTION #
min = 0
max = x
while max-min > erreur:
   moy = Compétition Red de blac Solar Multicolore 2 Low Femme 101 Chaussures Zoom W Running All White NIKE Out (max+All Chaussures Solar Compétition de W Out Red Multicolore Femme Zoom blac NIKE 101 Running Low White 2 min)/2
   if moy*moy <= x:
       min = moy
   else:
       max = moyMetcon à Flyknit Homme 2 pour nbsp;Chaussures Course Pied Nike de en DSX Nylon qpEZ1
   r = min

Out Chaussures Zoom 101 Solar Running 2 de Compétition All Multicolore Low blac NIKE Femme White W Red ## pour voir la sortie
print(r)
# et la vérifier
print(r*r)
##

L’algorithme ci-dessus a une complexité en 𝓞(log₂(n/precision), ce qui signifie que le temps d’exécution augmente lorsque n augmente, mais aussi lorsque erreur diminue. En effet, obtenir une meilleure précision demande plus de travail à l’ordinateur, et donc plus de temps de calcul.