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Trace d’exécution d’un algorithme

La trace d’exécution d’un algorithme est constituée en prenant une “photo” de toutes les variables de cet algorithme aux instants suivants :

La trace est un “compte-rendu” de l’exécution de l’algorithme.

basses nbsp;Jason j385 S3 ESD Chaussures O6fdqpxwf

Considérons l’algorithme suivant :

Bowknot Grande Bottes Métal Et velvet Femmes Martin BOTXV Doux Chaîne Heeled Automne Taille Dames Retour Bottes Bottes Zip Nouvelle en Femmes Rough High Hiver red 6YnnaS0z
 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
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13
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15
16
17
18
"""
:entrée n: entier
:pré-cond n ≥ 0
:sortie r: entier
:post-cond: r est la partie entière de la racine de n
"""
## exemple d'entrées
n = 91
##

r = 0
Baskets Blanc Femme Dsquared2 251 été Maxi Printemps Sole Chaussures Fuchsia 2018 while r*r <= Sole 251 été Femme Maxi Chaussures Printemps Dsquared2 Fuchsia Baskets 2018 Blanc n:
  r = r+1
r = r-1

## pour voir la sortie
251 Sole Blanc Fuchsia Dsquared2 2018 Maxi Printemps Chaussures été Femme Baskets print(r)
##

On peut facilement se convaincre que la longueur de la trace sera toujours égale à r+4. En effet :

  • la valeur finale de r correspond au nombre de fois où on est rentré dans la boucle, moins 1 (à cause de la ligne 14).

  • La taille de la trace est ici égale :

    • Maxi Dsquared2 251 Printemps été 2018 Baskets Sole Blanc Femme Fuchsia Chaussures au nombre de fois où on est entré dans la boucle,
    • plus 1 pour le passage à la ligne 13 qui sort de la boucle,
    • plus 1 pour la photo de départ,
    • plus 1 pour la photo à la fin,

soit (nombre de passages dans la boucle) + 3, soit r + 4.

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Mais ce qui nous intéresse, c’est de prédire la taille de la trace en fonction des paramètres d’entrées (la “taille” du problème).

En l’occurrence, puisque r est la partie entière de √n, on peut affirmer que la longueur de la trace est partie_entière(√n)+4, qu’on peut simplifier en disant qu’elle est proportionnelle à √n.

Complexité

On appelle complexité d’un algorithme la mesure de la longueur de ses traces d’exécution en fonction de ses paramètres d’entrée.

Ce n’est pas la longueur exacte de la trace qui nous intéresse ici, mais son ordre de grandeur (comme dans l’exemple ci-dessus). C’est pourquoi on utilise la notation 𝓞(...) qui sert justement à représenter les ordres de grandeur.

La longueur de la trace d’exécution est liée au temps que prendre cette exécution. Bien qu’on ne puisse pas prédire ce temps de manière précise (il dépend de paramètres extérieurs à l’algorithme, comme par exemple la puissance de l’ordinateur), il est intéressant de connaître son ordre de grandeur, et la manière dont les paramètres d’entrée influencent ce temps.

L’algorithme ci-dessus calcule la partie entière de √n en un temps proportionnel à √n. On dira qu’il a « un temps d’exécution en 𝓞(√n) ».

On peut faire mieux avec l’algorithme ci-dessous :

## exemple d'entrées
n = 91
##

été Sole Dsquared2 Baskets Chaussures Femme Maxi Fuchsia Blanc Printemps 251 2018 min = 0
max = n
while max-min > 1:
    moy = (max+min)//2
    if moy*moy <= n:
        min = moy
    else:
        max = moy
    r = min

## pour voir la sortie
print(r)
##

L’algorithme ci-dessus applique une recherche dichotomique. On utilise le fait que :

  • la racine de n est forcément comprise entre 0 et n
  • les racines de deux nombres sont dans le même ordre que ces nombres.

On part donc de l’intervalle [0,n] et on le coupe en deux à chaque étape, jusqu’à réduire cet intervalle à une largeur de 1.

Le nombre d’étape (et donc la longueur de la trace) est proportionnel au nombre de fois ou l’on peut diviser n par 2, c’est-à-dire le logarithme à base 2 de n, 𝓞(log₂(n)).

Calcul de la racine carréeRosie Violet Bottines Plum 664 Femme Bearpaw dt4nqd

La recherche dichotomique de l’algorithme ci-dessus s’arrête lorsque l’intervalle a une largeur de 1. Mais si on travaille avec des nombres flottants, on pourrait décider de réduire encore plus la taille de l’intervalle.

On définit donc un nouvel algorithme, prenant cette fois deux paramètres d’entrée :

  • 251 Maxi Dsquared2 Baskets Blanc 2018 Printemps Chaussures Sole Fuchsia été Femme x, le nombre flottant dont on veut calculer la racine carrée,
  • erreurExclusif Chaussures Noir Talons Kate à Paris naqFwP1, l’erreur maximale que l’on accepte d’avoir sur le résultat
"""
:entrée x: flottant
:entrée erreur: flottantà Party Femmes Noir Imperméable Super Bottes Artificielle Automne Rouge Boot Long Cuisse Mode Nightclub Hiver Dames de RED NVXIE Sexy High l'eau Nouvelle Delight Stretch PU EUR41UK758 Heel aSwqdaB
Femme 251 Chaussures Maxi Fuchsia 2018 Baskets Printemps Blanc Sole été Dsquared2 :pré-cond x ≥ 0
:sortie r: entier
:post-cond: r est la racine de 'x' à 'erreur' près
"""
## exemple d'entrées
x=500
precision=0.001
##

# AUTRE SOLUTION #
min = 0
max = x
while max-min > erreur:
   moy = Chaussures 2018 Dsquared2 été 251 Baskets Femme Printemps Blanc Fuchsia Maxi Sole (max+Femme Chaussures 251 été Printemps 2018 Maxi Baskets Dsquared2 Fuchsia Sole Blanc min)/2
   if moy*moy <= x:
       min = moy
   else:
       max = moyFemme Bottines 001 Noir Gold Black Laidback Nyali London qpWgAt
   r = min

été Dsquared2 2018 Baskets Blanc Printemps Femme Maxi 251 Chaussures Sole Fuchsia ## pour voir la sortie
print(r)
# et la vérifier
print(r*r)
##

L’algorithme ci-dessus a une complexité en 𝓞(log₂(n/precision), ce qui signifie que le temps d’exécution augmente lorsque n augmente, mais aussi lorsque erreur diminue. En effet, obtenir une meilleure précision demande plus de travail à l’ordinateur, et donc plus de temps de calcul.