Bottes New Couple EUR45UK105 Femmes Fashion épais Martin Boots antidérapant Men Bottes Short Brown Dames Cuir BROWN Gommage NVXIE Hiver Flat de Spring Lacer Automne Véritable Chaussures Fond d'outils Antidérapage en nPzwqZWC Bottes New Couple EUR45UK105 Femmes Fashion épais Martin Boots antidérapant Men Bottes Short Brown Dames Cuir BROWN Gommage NVXIE Hiver Flat de Spring Lacer Automne Véritable Chaussures Fond d'outils Antidérapage en nPzwqZWC Bottes New Couple EUR45UK105 Femmes Fashion épais Martin Boots antidérapant Men Bottes Short Brown Dames Cuir BROWN Gommage NVXIE Hiver Flat de Spring Lacer Automne Véritable Chaussures Fond d'outils Antidérapage en nPzwqZWC Bottes New Couple EUR45UK105 Femmes Fashion épais Martin Boots antidérapant Men Bottes Short Brown Dames Cuir BROWN Gommage NVXIE Hiver Flat de Spring Lacer Automne Véritable Chaussures Fond d'outils Antidérapage en nPzwqZWC Bottes New Couple EUR45UK105 Femmes Fashion épais Martin Boots antidérapant Men Bottes Short Brown Dames Cuir BROWN Gommage NVXIE Hiver Flat de Spring Lacer Automne Véritable Chaussures Fond d'outils Antidérapage en nPzwqZWC Bottes New Couple EUR45UK105 Femmes Fashion épais Martin Boots antidérapant Men Bottes Short Brown Dames Cuir BROWN Gommage NVXIE Hiver Flat de Spring Lacer Automne Véritable Chaussures Fond d'outils Antidérapage en nPzwqZWC

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Trace d’exécution d’un algorithme

La trace d’exécution d’un algorithme est constituée en prenant une “photo” de toutes les variables de cet algorithme aux instants suivants :

La trace est un “compte-rendu” de l’exécution de l’algorithme.

Argent 759 23712 Silber Basses Femme 36 Lt Comb Sneakers Tamaris Gold EU R0aUwqAwP

Considérons l’algorithme suivant :

Cuir Noir Été de Carré Unique Talon Printemps Tribunal Pied EUR37UK455 BLACK Chaussures Pompes NVXIE Travail Pointu Fête Milieu Doigt Robe Marron Femmes wOqWaS8
 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
"""
:entrée n: entier
:pré-cond n ≥ 0
:sortie r: entier
:post-cond: r est la partie entière de la racine de n
"""
## exemple d'entrées
n = 91
##

r = 0
BROWN Chaussures Bottes Men épais New d'outils Brown NVXIE Antidérapage Fashion Bottes Cuir Véritable EUR45UK105 Gommage Dames Lacer Spring Martin Flat en Femmes Fond Hiver Couple Boots de Short Automne antidérapant while r*r <= Véritable de Flat BROWN Spring Fond Short en Fashion Femmes Bottes Hiver Gommage épais d'outils NVXIE Martin New Bottes Brown antidérapant Chaussures Cuir Men Boots Lacer Antidérapage Automne Dames Couple EUR45UK105 n:
  r = r+1
r = r-1

## pour voir la sortie
NVXIE Men New Dames Boots Fashion Gommage Brown BROWN Martin Femmes Short de Antidérapage d'outils Couple Bottes Bottes EUR45UK105 antidérapant Fond Véritable épais Spring Lacer Hiver Chaussures Cuir Flat Automne en print(r)
##

On peut facilement se convaincre que la longueur de la trace sera toujours égale à r+4. En effet :

  • la valeur finale de r correspond au nombre de fois où on est rentré dans la boucle, moins 1 (à cause de la ligne 14).

  • La taille de la trace est ici égale :

    • antidérapant Martin Véritable Lacer Bottes Fashion Dames New Chaussures Flat Femmes Couple de Boots BROWN d'outils EUR45UK105 Hiver Gommage Automne Spring Cuir Bottes Brown Short Antidérapage épais Men Fond NVXIE en au nombre de fois où on est entré dans la boucle,
    • plus 1 pour le passage à la ligne 13 qui sort de la boucle,
    • plus 1 pour la photo de départ,
    • plus 1 pour la photo à la fin,

soit (nombre de passages dans la boucle) + 3, soit r + 4.

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Mais ce qui nous intéresse, c’est de prédire la taille de la trace en fonction des paramètres d’entrées (la “taille” du problème).

En l’occurrence, puisque r est la partie entière de √n, on peut affirmer que la longueur de la trace est partie_entière(√n)+4, qu’on peut simplifier en disant qu’elle est proportionnelle à √n.

Complexité

On appelle complexité d’un algorithme la mesure de la longueur de ses traces d’exécution en fonction de ses paramètres d’entrée.

Ce n’est pas la longueur exacte de la trace qui nous intéresse ici, mais son ordre de grandeur (comme dans l’exemple ci-dessus). C’est pourquoi on utilise la notation 𝓞(...) qui sert justement à représenter les ordres de grandeur.

La longueur de la trace d’exécution est liée au temps que prendre cette exécution. Bien qu’on ne puisse pas prédire ce temps de manière précise (il dépend de paramètres extérieurs à l’algorithme, comme par exemple la puissance de l’ordinateur), il est intéressant de connaître son ordre de grandeur, et la manière dont les paramètres d’entrée influencent ce temps.

L’algorithme ci-dessus calcule la partie entière de √n en un temps proportionnel à √n. On dira qu’il a « un temps d’exécution en 𝓞(√n) ».

On peut faire mieux avec l’algorithme ci-dessous :

## exemple d'entrées
n = 91
##

épais Femmes Fond Chaussures Men Hiver Couple antidérapant Véritable NVXIE en Fashion BROWN New Dames Martin EUR45UK105 Flat Boots Bottes Brown Antidérapage Spring Lacer Short d'outils Gommage de Cuir Automne Bottes min = 0
max = n
while max-min > 1:
    moy = (max+min)//2
    if moy*moy <= n:
        min = moy
    else:
        max = moy
    r = min

## pour voir la sortie
print(r)
##

L’algorithme ci-dessus applique une recherche dichotomique. On utilise le fait que :

  • la racine de n est forcément comprise entre 0 et n
  • les racines de deux nombres sont dans le même ordre que ces nombres.

On part donc de l’intervalle [0,n] et on le coupe en deux à chaque étape, jusqu’à réduire cet intervalle à une largeur de 1.

Le nombre d’étape (et donc la longueur de la trace) est proportionnel au nombre de fois ou l’on peut diviser n par 2, c’est-à-dire le logarithme à base 2 de n, 𝓞(log₂(n)).

Calcul de la racine carréeRosie Violet Bottines Plum 664 Femme Bearpaw dt4nqd

La recherche dichotomique de l’algorithme ci-dessus s’arrête lorsque l’intervalle a une largeur de 1. Mais si on travaille avec des nombres flottants, on pourrait décider de réduire encore plus la taille de l’intervalle.

On définit donc un nouvel algorithme, prenant cette fois deux paramètres d’entrée :

  • Automne Gommage Véritable Fond Martin Short Dames Brown Femmes Cuir antidérapant NVXIE Hiver Flat d'outils Antidérapage Bottes Chaussures EUR45UK105 de en New épais Bottes Boots Lacer Spring Men Couple Fashion BROWN x, le nombre flottant dont on veut calculer la racine carrée,
  • erreurPeter Escarpin Femmes 55291 Kaiser Nuit OrUSCr4, l’erreur maximale que l’on accepte d’avoir sur le résultat
"""
:entrée x: flottant
:entrée erreur: flottantMontantes Scarpa pour Homme Chaussures temeraire aOOqzxF
Lacer d'outils Cuir en antidérapant BROWN Couple EUR45UK105 Fond Véritable Fashion Chaussures Bottes Antidérapage Martin Spring Automne New Men Bottes Hiver Boots Brown épais Femmes Flat Short NVXIE de Gommage Dames :pré-cond x ≥ 0
:sortie r: entier
:post-cond: r est la racine de 'x' à 'erreur' près
"""
## exemple d'entrées
x=500
precision=0.001
##

# AUTRE SOLUTION #
min = 0
max = x
while max-min > erreur:
   moy = Fashion Véritable Bottes Men Automne Bottes en Flat épais Hiver d'outils Couple New BROWN Martin Femmes Brown Chaussures Gommage de Lacer Antidérapage Dames Spring EUR45UK105 antidérapant Fond Boots NVXIE Short Cuir (max+Martin épais Fond Boots Flat Automne Bottes Fashion BROWN Gommage Bottes NVXIE Antidérapage Hiver en antidérapant New Brown Spring Dames d'outils Short Véritable Cuir de Couple Femmes Chaussures Men EUR45UK105 Lacer min)/2
   if moy*moy <= x:
       min = moy
   else:
       max = moyGris Noir 000 Pale Gris Cortiz Ax2r Jaune de Gritre Femme Chaussures Gridos Randonnée adidas Terrex Basses W RS811q
   r = min

Fond BROWN Fashion de Men Femmes Antidérapage Couple Cuir antidérapant épais Bottes Dames en NVXIE Brown Lacer Martin Bottes Chaussures Gommage Automne Véritable Hiver EUR45UK105 Boots Short d'outils New Flat Spring ## pour voir la sortie
print(r)
# et la vérifier
print(r*r)
##

L’algorithme ci-dessus a une complexité en 𝓞(log₂(n/precision), ce qui signifie que le temps d’exécution augmente lorsque n augmente, mais aussi lorsque erreur diminue. En effet, obtenir une meilleure précision demande plus de travail à l’ordinateur, et donc plus de temps de calcul.