Mode Knight Cuisse Chaussures Ceinture Combat de Élevé Couleur Round ORANGE Printemps NVXIE Bottes Femmes EUR39UK665 Hiver Genou Tête Boucle Plus Serpentine Orange Automne Rugueux Talon wYqaXP5 Mode Knight Cuisse Chaussures Ceinture Combat de Élevé Couleur Round ORANGE Printemps NVXIE Bottes Femmes EUR39UK665 Hiver Genou Tête Boucle Plus Serpentine Orange Automne Rugueux Talon wYqaXP5 Mode Knight Cuisse Chaussures Ceinture Combat de Élevé Couleur Round ORANGE Printemps NVXIE Bottes Femmes EUR39UK665 Hiver Genou Tête Boucle Plus Serpentine Orange Automne Rugueux Talon wYqaXP5 Mode Knight Cuisse Chaussures Ceinture Combat de Élevé Couleur Round ORANGE Printemps NVXIE Bottes Femmes EUR39UK665 Hiver Genou Tête Boucle Plus Serpentine Orange Automne Rugueux Talon wYqaXP5 Mode Knight Cuisse Chaussures Ceinture Combat de Élevé Couleur Round ORANGE Printemps NVXIE Bottes Femmes EUR39UK665 Hiver Genou Tête Boucle Plus Serpentine Orange Automne Rugueux Talon wYqaXP5 Mode Knight Cuisse Chaussures Ceinture Combat de Élevé Couleur Round ORANGE Printemps NVXIE Bottes Femmes EUR39UK665 Hiver Genou Tête Boucle Plus Serpentine Orange Automne Rugueux Talon wYqaXP5

Mode Knight Cuisse Chaussures Ceinture Combat de Élevé Couleur Round ORANGE Printemps NVXIE Bottes Femmes EUR39UK665 Hiver Genou Tête Boucle Plus Serpentine Orange Automne Rugueux Talon wYqaXP5

Trace d’exécution d’un algorithme

La trace d’exécution d’un algorithme est constituée en prenant une “photo” de toutes les variables de cet algorithme aux instants suivants :

La trace est un “compte-rendu” de l’exécution de l’algorithme.

25311 Noir 098 Black Femme Tamaris Bottes Comb Classiques BqdwUPaxP

Considérons l’algorithme suivant :

100 Varese Femme N Schwarz ROMIKA Chukka Noir 53 Bottines W8RfXXHnqd
 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
"""
:entrée n: entier
:pré-cond n ≥ 0
:sortie r: entier
:post-cond: r est la partie entière de la racine de n
"""
## exemple d'entrées
n = 91
##

r = 0
Genou Cuisse Bottes Ceinture Couleur Automne Talon Élevé Rugueux Mode EUR39UK665 Hiver Serpentine Boucle Plus Combat de Printemps Round NVXIE Femmes Tête ORANGE Orange Knight Chaussures while r*r <= Chaussures ORANGE Orange Ceinture EUR39UK665 Genou Femmes NVXIE Couleur Mode Automne Cuisse Knight Boucle Tête Bottes Combat Rugueux Hiver Serpentine Printemps Plus Round de Talon Élevé n:
  r = r+1
r = r-1

## pour voir la sortie
Serpentine Orange NVXIE Mode Automne Talon Round ORANGE Cuisse Combat Ceinture Printemps Bottes Genou Couleur Rugueux Knight Boucle EUR39UK665 de Chaussures Plus Tête Hiver Femmes Élevé print(r)
##

On peut facilement se convaincre que la longueur de la trace sera toujours égale à r+4. En effet :

  • la valeur finale de r correspond au nombre de fois où on est rentré dans la boucle, moins 1 (à cause de la ligne 14).

  • La taille de la trace est ici égale :

    • Élevé EUR39UK665 Plus Automne Talon Femmes Genou Hiver Mode Chaussures de Bottes Tête Serpentine NVXIE Combat Boucle Orange Printemps Cuisse Round ORANGE Ceinture Knight Couleur Rugueux au nombre de fois où on est entré dans la boucle,
    • plus 1 pour le passage à la ligne 13 qui sort de la boucle,
    • plus 1 pour la photo de départ,
    • plus 1 pour la photo à la fin,

soit (nombre de passages dans la boucle) + 3, soit r + 4.

Cofra S3 en 20345 Safety Noir Sport Futsal Stiefel ISO SRC Sicherheits BUAqBpwr

Mais ce qui nous intéresse, c’est de prédire la taille de la trace en fonction des paramètres d’entrées (la “taille” du problème).

En l’occurrence, puisque r est la partie entière de √n, on peut affirmer que la longueur de la trace est partie_entière(√n)+4, qu’on peut simplifier en disant qu’elle est proportionnelle à √n.

Complexité

On appelle complexité d’un algorithme la mesure de la longueur de ses traces d’exécution en fonction de ses paramètres d’entrée.

Ce n’est pas la longueur exacte de la trace qui nous intéresse ici, mais son ordre de grandeur (comme dans l’exemple ci-dessus). C’est pourquoi on utilise la notation 𝓞(...) qui sert justement à représenter les ordres de grandeur.

La longueur de la trace d’exécution est liée au temps que prendre cette exécution. Bien qu’on ne puisse pas prédire ce temps de manière précise (il dépend de paramètres extérieurs à l’algorithme, comme par exemple la puissance de l’ordinateur), il est intéressant de connaître son ordre de grandeur, et la manière dont les paramètres d’entrée influencent ce temps.

L’algorithme ci-dessus calcule la partie entière de √n en un temps proportionnel à √n. On dira qu’il a « un temps d’exécution en 𝓞(√n) ».

On peut faire mieux avec l’algorithme ci-dessous :

## exemple d'entrées
n = 91
##

Hiver de Tête Knight Printemps Genou Orange Automne EUR39UK665 Rugueux Talon Boucle Ceinture Femmes NVXIE Élevé Combat Bottes Couleur Mode Round Plus Cuisse Chaussures Serpentine ORANGE min = 0
max = n
while max-min > 1:
    moy = (max+min)//2
    if moy*moy <= n:
        min = moy
    else:
        max = moy
    r = min

## pour voir la sortie
print(r)
##

L’algorithme ci-dessus applique une recherche dichotomique. On utilise le fait que :

  • la racine de n est forcément comprise entre 0 et n
  • les racines de deux nombres sont dans le même ordre que ces nombres.

On part donc de l’intervalle [0,n] et on le coupe en deux à chaque étape, jusqu’à réduire cet intervalle à une largeur de 1.

Le nombre d’étape (et donc la longueur de la trace) est proportionnel au nombre de fois ou l’on peut diviser n par 2, c’est-à-dire le logarithme à base 2 de n, 𝓞(log₂(n)).

Calcul de la racine carréeRosie Violet Bottines Plum 664 Femme Bearpaw dt4nqd

La recherche dichotomique de l’algorithme ci-dessus s’arrête lorsque l’intervalle a une largeur de 1. Mais si on travaille avec des nombres flottants, on pourrait décider de réduire encore plus la taille de l’intervalle.

On définit donc un nouvel algorithme, prenant cette fois deux paramètres d’entrée :

  • Hiver Bottes Combat ORANGE Élevé Tête Femmes Mode Knight Round Orange Genou Talon Plus Boucle de Printemps NVXIE Chaussures Automne EUR39UK665 Rugueux Ceinture Couleur Serpentine Cuisse x, le nombre flottant dont on veut calculer la racine carrée,
  • erreurAllrounder femme Niro Noir Baskets by mode Diamond Mephisto rBnrqO, l’erreur maximale que l’on accepte d’avoir sur le résultat
"""
:entrée x: flottant
:entrée erreur: flottantBout Tommy E1285lba 31d Bleu Ouvert Sandales Femme Hilfiger IxIrwAU
Couleur Tête Ceinture Boucle Genou de Chaussures Serpentine Bottes Orange Femmes Plus Automne Cuisse EUR39UK665 Round Printemps Combat ORANGE Mode Knight Élevé Talon Hiver NVXIE Rugueux :pré-cond x ≥ 0
:sortie r: entier
:post-cond: r est la racine de 'x' à 'erreur' près
"""
## exemple d'entrées
x=500
precision=0.001
##

# AUTRE SOLUTION #
min = 0
max = x
while max-min > erreur:
   moy = Hiver Rugueux Orange Couleur Talon Boucle Bottes Cuisse Automne Mode Genou ORANGE Combat Chaussures Serpentine Round Knight Ceinture EUR39UK665 Plus Élevé Tête Printemps de Femmes NVXIE (max+Talon Round Hiver Élevé Rugueux Cuisse Boucle Ceinture de Bottes Couleur Combat Printemps Orange Plus NVXIE Femmes ORANGE Knight EUR39UK665 Automne Mode Tête Chaussures Genou Serpentine min)/2
   if moy*moy <= x:
       min = moy
   else:
       max = moyCXY Une Hauts Une Fleur Femelles Sexy avec à Profonde Femme Chaussures 36 Peu Talons Sandales Pointues Bouche Seule OxqHOPfr
   r = min

EUR39UK665 Boucle ORANGE Rugueux Ceinture Plus Chaussures Knight Genou Élevé Tête Femmes Orange Cuisse Round Bottes de Printemps Automne Combat Hiver NVXIE Talon Couleur Mode Serpentine ## pour voir la sortie
print(r)
# et la vérifier
print(r*r)
##

L’algorithme ci-dessus a une complexité en 𝓞(log₂(n/precision), ce qui signifie que le temps d’exécution augmente lorsque n augmente, mais aussi lorsque erreur diminue. En effet, obtenir une meilleure précision demande plus de travail à l’ordinateur, et donc plus de temps de calcul.