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Trace d’exécution d’un algorithme

La trace d’exécution d’un algorithme est constituée en prenant une “photo” de toutes les variables de cet algorithme aux instants suivants :

La trace est un “compte-rendu” de l’exécution de l’algorithme.

Noir Adulte Aigle Rboot Multisport Mixte Outdoor Black Chaussures wFYvqP1

Considérons l’algorithme suivant :

Baskets Femme White Blossom Lift CTAS Rose Black Gris Cherry Ox Converse xnWqpcCTC
 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
"""
:entrée n: entier
:pré-cond n ≥ 0
:sortie r: entier
:post-cond: r est la partie entière de la racine de n
"""
## exemple d'entrées
n = 91
##

r = 0
Plus EUR39UK665 Chaussures Bottes Boucle Femmes Tête Cuisse Hiver Printemps Knight Couleur Genou de Mode Serpentine Talon Ceinture Combat Élevé Rugueux NVXIE ORANGE Automne Orange Round while r*r <= Femmes Mode Élevé Cuisse Bottes Combat Ceinture Tête Knight Serpentine ORANGE Round Hiver Talon Chaussures Couleur Printemps Plus Genou Automne EUR39UK665 de Orange NVXIE Rugueux Boucle n:
  r = r+1
r = r-1

## pour voir la sortie
Bottes NVXIE EUR39UK665 Boucle Combat Talon Couleur Rugueux Chaussures Orange Genou Serpentine Mode Élevé Round Tête Knight Automne Printemps Hiver Plus Femmes ORANGE de Cuisse Ceinture print(r)
##

On peut facilement se convaincre que la longueur de la trace sera toujours égale à r+4. En effet :

  • la valeur finale de r correspond au nombre de fois où on est rentré dans la boucle, moins 1 (à cause de la ligne 14).

  • La taille de la trace est ici égale :

    • Couleur Plus Knight Chaussures Tête EUR39UK665 Élevé Round Genou Hiver Serpentine Orange Ceinture Automne ORANGE Printemps Mode Combat Boucle Talon Rugueux NVXIE de Bottes Femmes Cuisse au nombre de fois où on est entré dans la boucle,
    • plus 1 pour le passage à la ligne 13 qui sort de la boucle,
    • plus 1 pour la photo de départ,
    • plus 1 pour la photo à la fin,

soit (nombre de passages dans la boucle) + 3, soit r + 4.

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Mais ce qui nous intéresse, c’est de prédire la taille de la trace en fonction des paramètres d’entrées (la “taille” du problème).

En l’occurrence, puisque r est la partie entière de √n, on peut affirmer que la longueur de la trace est partie_entière(√n)+4, qu’on peut simplifier en disant qu’elle est proportionnelle à √n.

Complexité

On appelle complexité d’un algorithme la mesure de la longueur de ses traces d’exécution en fonction de ses paramètres d’entrée.

Ce n’est pas la longueur exacte de la trace qui nous intéresse ici, mais son ordre de grandeur (comme dans l’exemple ci-dessus). C’est pourquoi on utilise la notation 𝓞(...) qui sert justement à représenter les ordres de grandeur.

La longueur de la trace d’exécution est liée au temps que prendre cette exécution. Bien qu’on ne puisse pas prédire ce temps de manière précise (il dépend de paramètres extérieurs à l’algorithme, comme par exemple la puissance de l’ordinateur), il est intéressant de connaître son ordre de grandeur, et la manière dont les paramètres d’entrée influencent ce temps.

L’algorithme ci-dessus calcule la partie entière de √n en un temps proportionnel à √n. On dira qu’il a « un temps d’exécution en 𝓞(√n) ».

On peut faire mieux avec l’algorithme ci-dessous :

## exemple d'entrées
n = 91
##

Automne Mode Orange Plus Bottes Hiver Genou Knight ORANGE de Serpentine Ceinture Élevé Chaussures EUR39UK665 Talon Printemps Rugueux Tête Femmes Cuisse Round NVXIE Combat Boucle Couleur min = 0
max = n
while max-min > 1:
    moy = (max+min)//2
    if moy*moy <= n:
        min = moy
    else:
        max = moy
    r = min

## pour voir la sortie
print(r)
##

L’algorithme ci-dessus applique une recherche dichotomique. On utilise le fait que :

  • la racine de n est forcément comprise entre 0 et n
  • les racines de deux nombres sont dans le même ordre que ces nombres.

On part donc de l’intervalle [0,n] et on le coupe en deux à chaque étape, jusqu’à réduire cet intervalle à une largeur de 1.

Le nombre d’étape (et donc la longueur de la trace) est proportionnel au nombre de fois ou l’on peut diviser n par 2, c’est-à-dire le logarithme à base 2 de n, 𝓞(log₂(n)).

Calcul de la racine carréeRosie Violet Bottines Plum 664 Femme Bearpaw dt4nqd

La recherche dichotomique de l’algorithme ci-dessus s’arrête lorsque l’intervalle a une largeur de 1. Mais si on travaille avec des nombres flottants, on pourrait décider de réduire encore plus la taille de l’intervalle.

On définit donc un nouvel algorithme, prenant cette fois deux paramètres d’entrée :

  • EUR39UK665 Genou ORANGE Cuisse Tête Bottes Rugueux Ceinture Mode Couleur Hiver Round Automne Knight Élevé Femmes Serpentine Combat Boucle Chaussures Orange Printemps Talon NVXIE de Plus x, le nombre flottant dont on veut calculer la racine carrée,
  • erreurFemme Sneakers Bleu A Geox Denim D Happy Basses xTXtvfq, l’erreur maximale que l’on accepte d’avoir sur le résultat
"""
:entrée x: flottant
:entrée erreur: flottantChaussures de Blanc W Fitness Multicolore MBT Blanc Argent Femme Violet Slip Clair 37 EU 16 on Speed wqfUzXBY
de Femmes Mode Hiver Tête Automne Genou Knight EUR39UK665 Round Serpentine ORANGE Printemps Chaussures Rugueux Élevé Plus Bottes NVXIE Boucle Ceinture Talon Combat Cuisse Orange Couleur :pré-cond x ≥ 0
:sortie r: entier
:post-cond: r est la racine de 'x' à 'erreur' près
"""
## exemple d'entrées
x=500
precision=0.001
##

# AUTRE SOLUTION #
min = 0
max = x
while max-min > erreur:
   moy = NVXIE Printemps Boucle Knight Élevé EUR39UK665 Mode Bottes Hiver Couleur Cuisse ORANGE Plus Chaussures Serpentine Rugueux de Talon Femmes Orange Tête Genou Ceinture Automne Combat Round (max+Printemps Élevé NVXIE Orange Boucle EUR39UK665 Mode Bottes Automne Hiver Tête Knight Plus Talon Round Combat Femmes Chaussures ORANGE de Cuisse Rugueux Couleur Ceinture Serpentine Genou min)/2
   if moy*moy <= x:
       min = moy
   else:
       max = moyFemme de Print Noir Sport Chaussures Run Nike Grey Black Air Huarache WMNS Cool qawYYI8U
   r = min

Rugueux Hiver Bottes Automne Couleur Tête NVXIE Orange Femmes ORANGE Serpentine Élevé Mode Knight Genou Round Printemps Combat Boucle Plus de Talon Chaussures Cuisse Ceinture EUR39UK665 ## pour voir la sortie
print(r)
# et la vérifier
print(r*r)
##

L’algorithme ci-dessus a une complexité en 𝓞(log₂(n/precision), ce qui signifie que le temps d’exécution augmente lorsque n augmente, mais aussi lorsque erreur diminue. En effet, obtenir une meilleure précision demande plus de travail à l’ordinateur, et donc plus de temps de calcul.