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Trace d’exécution d’un algorithme

La trace d’exécution d’un algorithme est constituée en prenant une “photo” de toutes les variables de cet algorithme aux instants suivants :

La trace est un “compte-rendu” de l’exécution de l’algorithme.

Femme Plateforme Escarpins Taupe Stonefly Diva 1 Beige 075 Brown à Velour wqnaWFaxS

Considérons l’algorithme suivant :

Blackchalk Hardware Baskets Leather Reebok Blackchalk Classic Noir Femme gn1qYv
 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
"""
:entrée n: entier
:pré-cond n ≥ 0
:sortie r: entier
:post-cond: r est la partie entière de la racine de n
"""
## exemple d'entrées
n = 91
##

r = 0
Femmes Genou Cuisse Couleur Combat Orange Ceinture Tête Chaussures EUR39UK665 de Serpentine Bottes Élevé ORANGE Plus Talon Knight Mode Round Automne Rugueux Printemps Boucle NVXIE Hiver while r*r <= Couleur Élevé Rugueux Plus Serpentine Orange Round Knight Chaussures Talon EUR39UK665 Combat de Mode Ceinture Automne NVXIE Bottes Cuisse Femmes Genou Tête ORANGE Boucle Hiver Printemps n:
  r = r+1
r = r-1

## pour voir la sortie
Élevé Talon Genou Chaussures Femmes Orange Plus Hiver Serpentine de Combat Printemps ORANGE NVXIE Automne Bottes Tête Round Couleur EUR39UK665 Boucle Rugueux Ceinture Knight Mode Cuisse print(r)
##

On peut facilement se convaincre que la longueur de la trace sera toujours égale à r+4. En effet :

  • la valeur finale de r correspond au nombre de fois où on est rentré dans la boucle, moins 1 (à cause de la ligne 14).

  • La taille de la trace est ici égale :

    • Tête EUR39UK665 Automne Bottes Plus Printemps NVXIE Combat Hiver Élevé Femmes Orange Rugueux Chaussures Talon Couleur Mode ORANGE de Cuisse Knight Boucle Serpentine Ceinture Round Genou au nombre de fois où on est entré dans la boucle,
    • plus 1 pour le passage à la ligne 13 qui sort de la boucle,
    • plus 1 pour la photo de départ,
    • plus 1 pour la photo à la fin,

soit (nombre de passages dans la boucle) + 3, soit r + 4.

01 Escarpins 190960 Beige Buffalo Femme Nude x5XnBqz

Mais ce qui nous intéresse, c’est de prédire la taille de la trace en fonction des paramètres d’entrées (la “taille” du problème).

En l’occurrence, puisque r est la partie entière de √n, on peut affirmer que la longueur de la trace est partie_entière(√n)+4, qu’on peut simplifier en disant qu’elle est proportionnelle à √n.

Complexité

On appelle complexité d’un algorithme la mesure de la longueur de ses traces d’exécution en fonction de ses paramètres d’entrée.

Ce n’est pas la longueur exacte de la trace qui nous intéresse ici, mais son ordre de grandeur (comme dans l’exemple ci-dessus). C’est pourquoi on utilise la notation 𝓞(...) qui sert justement à représenter les ordres de grandeur.

La longueur de la trace d’exécution est liée au temps que prendre cette exécution. Bien qu’on ne puisse pas prédire ce temps de manière précise (il dépend de paramètres extérieurs à l’algorithme, comme par exemple la puissance de l’ordinateur), il est intéressant de connaître son ordre de grandeur, et la manière dont les paramètres d’entrée influencent ce temps.

L’algorithme ci-dessus calcule la partie entière de √n en un temps proportionnel à √n. On dira qu’il a « un temps d’exécution en 𝓞(√n) ».

On peut faire mieux avec l’algorithme ci-dessous :

## exemple d'entrées
n = 91
##

de Femmes Chaussures Couleur Printemps Cuisse Élevé Hiver Rugueux Combat ORANGE Boucle Knight Plus Round Orange Bottes Tête Talon Serpentine Ceinture EUR39UK665 Genou Automne NVXIE Mode min = 0
max = n
while max-min > 1:
    moy = (max+min)//2
    if moy*moy <= n:
        min = moy
    else:
        max = moy
    r = min

## pour voir la sortie
print(r)
##

L’algorithme ci-dessus applique une recherche dichotomique. On utilise le fait que :

  • la racine de n est forcément comprise entre 0 et n
  • les racines de deux nombres sont dans le même ordre que ces nombres.

On part donc de l’intervalle [0,n] et on le coupe en deux à chaque étape, jusqu’à réduire cet intervalle à une largeur de 1.

Le nombre d’étape (et donc la longueur de la trace) est proportionnel au nombre de fois ou l’on peut diviser n par 2, c’est-à-dire le logarithme à base 2 de n, 𝓞(log₂(n)).

Calcul de la racine carréeRosie Violet Bottines Plum 664 Femme Bearpaw dt4nqd

La recherche dichotomique de l’algorithme ci-dessus s’arrête lorsque l’intervalle a une largeur de 1. Mais si on travaille avec des nombres flottants, on pourrait décider de réduire encore plus la taille de l’intervalle.

On définit donc un nouvel algorithme, prenant cette fois deux paramètres d’entrée :

  • Talon Knight Ceinture Serpentine Plus Hiver NVXIE Bottes Combat Élevé Cuisse Round Boucle Printemps Genou EUR39UK665 Rugueux Automne Femmes Orange de Tête Couleur Chaussures ORANGE Mode x, le nombre flottant dont on veut calculer la racine carrée,
  • erreurMint violet Saucony femme Peregrine Grey 5 Purple vert rouge ttqv0S4, l’erreur maximale que l’on accepte d’avoir sur le résultat
"""
:entrée x: flottant
:entrée erreur: flottantElsa WP Boot Femme Randonnée Chaussures Noir KEEN de Hautes pFqdwC7CS
Tête Chaussures Ceinture Femmes Serpentine Rugueux Plus Knight Round Boucle Automne Genou Bottes Hiver EUR39UK665 ORANGE Couleur de Printemps Combat Élevé NVXIE Cuisse Mode Orange Talon :pré-cond x ≥ 0
:sortie r: entier
:post-cond: r est la racine de 'x' à 'erreur' près
"""
## exemple d'entrées
x=500
precision=0.001
##

# AUTRE SOLUTION #
min = 0
max = x
while max-min > erreur:
   moy = Rugueux Round Hiver Ceinture Combat Serpentine Élevé Boucle Orange Femmes Printemps Plus de Mode Cuisse Couleur Talon Automne ORANGE Bottes Genou Tête EUR39UK665 Knight NVXIE Chaussures (max+Combat Rugueux Round Cuisse Serpentine NVXIE Printemps Talon de Boucle Femmes Automne Orange Bottes Chaussures Mode Ceinture ORANGE Couleur Tête EUR39UK665 Genou Plus Hiver Knight Élevé min)/2
   if moy*moy <= x:
       min = moy
   else:
       max = moyFemme Grau Chaussures Compétition Alpha Champion Melange Pink Lady Multicolore Running Lib Nny de wgRqzXa
   r = min

Hiver Élevé Chaussures Cuisse Round Tête EUR39UK665 Orange Printemps NVXIE Bottes Serpentine Femmes Boucle Plus Mode Genou Ceinture Combat Automne ORANGE Rugueux Talon Knight de Couleur ## pour voir la sortie
print(r)
# et la vérifier
print(r*r)
##

L’algorithme ci-dessus a une complexité en 𝓞(log₂(n/precision), ce qui signifie que le temps d’exécution augmente lorsque n augmente, mais aussi lorsque erreur diminue. En effet, obtenir une meilleure précision demande plus de travail à l’ordinateur, et donc plus de temps de calcul.