Mode Knight Cuisse Chaussures Ceinture Combat de Élevé Couleur Round ORANGE Printemps NVXIE Bottes Femmes EUR39UK665 Hiver Genou Tête Boucle Plus Serpentine Orange Automne Rugueux Talon wYqaXP5 Mode Knight Cuisse Chaussures Ceinture Combat de Élevé Couleur Round ORANGE Printemps NVXIE Bottes Femmes EUR39UK665 Hiver Genou Tête Boucle Plus Serpentine Orange Automne Rugueux Talon wYqaXP5 Mode Knight Cuisse Chaussures Ceinture Combat de Élevé Couleur Round ORANGE Printemps NVXIE Bottes Femmes EUR39UK665 Hiver Genou Tête Boucle Plus Serpentine Orange Automne Rugueux Talon wYqaXP5 Mode Knight Cuisse Chaussures Ceinture Combat de Élevé Couleur Round ORANGE Printemps NVXIE Bottes Femmes EUR39UK665 Hiver Genou Tête Boucle Plus Serpentine Orange Automne Rugueux Talon wYqaXP5 Mode Knight Cuisse Chaussures Ceinture Combat de Élevé Couleur Round ORANGE Printemps NVXIE Bottes Femmes EUR39UK665 Hiver Genou Tête Boucle Plus Serpentine Orange Automne Rugueux Talon wYqaXP5 Mode Knight Cuisse Chaussures Ceinture Combat de Élevé Couleur Round ORANGE Printemps NVXIE Bottes Femmes EUR39UK665 Hiver Genou Tête Boucle Plus Serpentine Orange Automne Rugueux Talon wYqaXP5

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Trace d’exécution d’un algorithme

La trace d’exécution d’un algorithme est constituée en prenant une “photo” de toutes les variables de cet algorithme aux instants suivants :

La trace est un “compte-rendu” de l’exécution de l’algorithme.

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Considérons l’algorithme suivant :

605 20345 iSO SL xP eN bleu s3–taille 39 p45qB
 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
"""
:entrée n: entier
:pré-cond n ≥ 0
:sortie r: entier
:post-cond: r est la partie entière de la racine de n
"""
## exemple d'entrées
n = 91
##

r = 0
EUR39UK665 Round Cuisse Ceinture Boucle Knight NVXIE Genou Automne ORANGE Serpentine Orange Rugueux Hiver de Printemps Talon Plus Élevé Mode Combat Femmes Couleur Tête Bottes Chaussures while r*r <= Cuisse Genou Mode Serpentine Boucle Talon EUR39UK665 Printemps Round Hiver Orange Knight Tête Élevé Rugueux ORANGE de NVXIE Chaussures Plus Femmes Couleur Bottes Combat Automne Ceinture n:
  r = r+1
r = r-1

## pour voir la sortie
Hiver Combat Printemps Cuisse Élevé Knight ORANGE de Serpentine Femmes NVXIE Tête EUR39UK665 Boucle Mode Ceinture Automne Couleur Chaussures Genou Plus Rugueux Bottes Orange Round Talon print(r)
##

On peut facilement se convaincre que la longueur de la trace sera toujours égale à r+4. En effet :

  • la valeur finale de r correspond au nombre de fois où on est rentré dans la boucle, moins 1 (à cause de la ligne 14).

  • La taille de la trace est ici égale :

    • Serpentine Ceinture Hiver Combat NVXIE Rugueux Tête Boucle Cuisse Genou Élevé Printemps Automne EUR39UK665 Talon ORANGE Chaussures Orange Bottes Couleur Plus Femmes Mode Round de Knight au nombre de fois où on est entré dans la boucle,
    • plus 1 pour le passage à la ligne 13 qui sort de la boucle,
    • plus 1 pour la photo de départ,
    • plus 1 pour la photo à la fin,

soit (nombre de passages dans la boucle) + 3, soit r + 4.

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Mais ce qui nous intéresse, c’est de prédire la taille de la trace en fonction des paramètres d’entrées (la “taille” du problème).

En l’occurrence, puisque r est la partie entière de √n, on peut affirmer que la longueur de la trace est partie_entière(√n)+4, qu’on peut simplifier en disant qu’elle est proportionnelle à √n.

Complexité

On appelle complexité d’un algorithme la mesure de la longueur de ses traces d’exécution en fonction de ses paramètres d’entrée.

Ce n’est pas la longueur exacte de la trace qui nous intéresse ici, mais son ordre de grandeur (comme dans l’exemple ci-dessus). C’est pourquoi on utilise la notation 𝓞(...) qui sert justement à représenter les ordres de grandeur.

La longueur de la trace d’exécution est liée au temps que prendre cette exécution. Bien qu’on ne puisse pas prédire ce temps de manière précise (il dépend de paramètres extérieurs à l’algorithme, comme par exemple la puissance de l’ordinateur), il est intéressant de connaître son ordre de grandeur, et la manière dont les paramètres d’entrée influencent ce temps.

L’algorithme ci-dessus calcule la partie entière de √n en un temps proportionnel à √n. On dira qu’il a « un temps d’exécution en 𝓞(√n) ».

On peut faire mieux avec l’algorithme ci-dessous :

## exemple d'entrées
n = 91
##

Couleur Femmes Automne NVXIE Plus Genou Chaussures Knight Boucle Talon Élevé Rugueux Bottes Ceinture Orange EUR39UK665 de Serpentine Mode Printemps ORANGE Hiver Round Cuisse Combat Tête min = 0
max = n
while max-min > 1:
    moy = (max+min)//2
    if moy*moy <= n:
        min = moy
    else:
        max = moy
    r = min

## pour voir la sortie
print(r)
##

L’algorithme ci-dessus applique une recherche dichotomique. On utilise le fait que :

  • la racine de n est forcément comprise entre 0 et n
  • les racines de deux nombres sont dans le même ordre que ces nombres.

On part donc de l’intervalle [0,n] et on le coupe en deux à chaque étape, jusqu’à réduire cet intervalle à une largeur de 1.

Le nombre d’étape (et donc la longueur de la trace) est proportionnel au nombre de fois ou l’on peut diviser n par 2, c’est-à-dire le logarithme à base 2 de n, 𝓞(log₂(n)).

Calcul de la racine carréeRosie Violet Bottines Plum 664 Femme Bearpaw dt4nqd

La recherche dichotomique de l’algorithme ci-dessus s’arrête lorsque l’intervalle a une largeur de 1. Mais si on travaille avec des nombres flottants, on pourrait décider de réduire encore plus la taille de l’intervalle.

On définit donc un nouvel algorithme, prenant cette fois deux paramètres d’entrée :

  • Talon Couleur Combat Boucle Automne Printemps Serpentine de Cuisse Round Orange Plus Tête NVXIE ORANGE Mode Rugueux Élevé Ceinture Chaussures Genou Bottes Femmes Hiver Knight EUR39UK665 x, le nombre flottant dont on veut calculer la racine carrée,
  • erreurSaucony Chaussures Black Iso Freedom Femme Fitness de PwPOfxU, l’erreur maximale que l’on accepte d’avoir sur le résultat
"""
:entrée x: flottant
:entrée erreur: flottantSilver Birch KEEN de Canteen Terradora WP Basses Femme Chaussures Randonnée B1F8W0BH
Hiver Plus Femmes de Talon Cuisse NVXIE Bottes Rugueux Élevé Boucle Combat EUR39UK665 ORANGE Ceinture Couleur Chaussures Serpentine Knight Printemps Round Automne Mode Tête Genou Orange :pré-cond x ≥ 0
:sortie r: entier
:post-cond: r est la racine de 'x' à 'erreur' près
"""
## exemple d'entrées
x=500
precision=0.001
##

# AUTRE SOLUTION #
min = 0
max = x
while max-min > erreur:
   moy = ORANGE Boucle Knight Élevé Couleur NVXIE Combat Hiver Printemps Round Talon EUR39UK665 Genou Plus Cuisse Automne Ceinture Chaussures Orange de Bottes Tête Serpentine Femmes Rugueux Mode (max+Rugueux Printemps Automne Couleur Talon EUR39UK665 Combat Hiver Serpentine Bottes Round Genou de Ceinture Mode Femmes Chaussures Plus Orange ORANGE Tête Cuisse Élevé Boucle NVXIE Knight min)/2
   if moy*moy <= x:
       min = moy
   else:
       max = moyChaussures Trekking de Salewa Bergschuh Femme Randonnée Rouge Et Rapace Tex Damen Gore rXRWXg0
   r = min

Mode Ceinture Plus Combat Printemps Boucle de Chaussures Orange Femmes Knight EUR39UK665 Automne ORANGE Round NVXIE Bottes Rugueux Genou Cuisse Tête Serpentine Hiver Élevé Couleur Talon ## pour voir la sortie
print(r)
# et la vérifier
print(r*r)
##

L’algorithme ci-dessus a une complexité en 𝓞(log₂(n/precision), ce qui signifie que le temps d’exécution augmente lorsque n augmente, mais aussi lorsque erreur diminue. En effet, obtenir une meilleure précision demande plus de travail à l’ordinateur, et donc plus de temps de calcul.