Experience Wflex NIKE Sneakers Elemental Diffused Pink Pink RN 7 001 Femme Multicolore Basses Blue q6pxUpw Experience Wflex NIKE Sneakers Elemental Diffused Pink Pink RN 7 001 Femme Multicolore Basses Blue q6pxUpw Experience Wflex NIKE Sneakers Elemental Diffused Pink Pink RN 7 001 Femme Multicolore Basses Blue q6pxUpw Experience Wflex NIKE Sneakers Elemental Diffused Pink Pink RN 7 001 Femme Multicolore Basses Blue q6pxUpw

Experience Wflex NIKE Sneakers Elemental Diffused Pink Pink RN 7 001 Femme Multicolore Basses Blue q6pxUpw

Trace d’exécution d’un algorithme

La trace d’exécution d’un algorithme est constituée en prenant une “photo” de toutes les variables de cet algorithme aux instants suivants :

La trace est un “compte-rendu” de l’exécution de l’algorithme.

HT Hansen Taille sécurité 40 Noir Bottes Chelsea Orange de 992 78250 Helly WW Mid 40 41qdSwz4

Considérons l’algorithme suivant :

Farah Marron Softinos Nubuck Bleu Femme Bottines Un0qgC7
 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
"""
:entrée n: entier
:pré-cond n ≥ 0
:sortie r: entier
:post-cond: r est la partie entière de la racine de n
"""
## exemple d'entrées
n = 91
##

r = 0
Diffused Experience Multicolore Blue 001 Sneakers Femme NIKE Wflex 7 Pink Pink Elemental Basses RN while r*r <= Femme Elemental Pink Blue Diffused NIKE RN Basses 001 Experience Pink 7 Wflex Multicolore Sneakers n:
  r = r+1
r = r-1

## pour voir la sortie
Elemental Diffused Wflex RN Pink Basses Experience Femme 001 7 Multicolore Blue Sneakers NIKE Pink print(r)
##

On peut facilement se convaincre que la longueur de la trace sera toujours égale à r+4. En effet :

  • la valeur finale de r correspond au nombre de fois où on est rentré dans la boucle, moins 1 (à cause de la ligne 14).

  • La taille de la trace est ici égale :

    • Diffused 7 Multicolore RN Blue Femme Pink Pink Sneakers 001 NIKE Basses Wflex Experience Elemental au nombre de fois où on est entré dans la boucle,
    • plus 1 pour le passage à la ligne 13 qui sort de la boucle,
    • plus 1 pour la photo de départ,
    • plus 1 pour la photo à la fin,

soit (nombre de passages dans la boucle) + 3, soit r + 4.

Navy Heathrow Baskets TX Navy Shoes Se Femme DC zWZvqv

Mais ce qui nous intéresse, c’est de prédire la taille de la trace en fonction des paramètres d’entrées (la “taille” du problème).

En l’occurrence, puisque r est la partie entière de √n, on peut affirmer que la longueur de la trace est partie_entière(√n)+4, qu’on peut simplifier en disant qu’elle est proportionnelle à √n.

Complexité

On appelle complexité d’un algorithme la mesure de la longueur de ses traces d’exécution en fonction de ses paramètres d’entrée.

Ce n’est pas la longueur exacte de la trace qui nous intéresse ici, mais son ordre de grandeur (comme dans l’exemple ci-dessus). C’est pourquoi on utilise la notation 𝓞(...) qui sert justement à représenter les ordres de grandeur.

La longueur de la trace d’exécution est liée au temps que prendre cette exécution. Bien qu’on ne puisse pas prédire ce temps de manière précise (il dépend de paramètres extérieurs à l’algorithme, comme par exemple la puissance de l’ordinateur), il est intéressant de connaître son ordre de grandeur, et la manière dont les paramètres d’entrée influencent ce temps.

L’algorithme ci-dessus calcule la partie entière de √n en un temps proportionnel à √n. On dira qu’il a « un temps d’exécution en 𝓞(√n) ».

On peut faire mieux avec l’algorithme ci-dessous :

## exemple d'entrées
n = 91
##

Wflex Experience Diffused 001 Sneakers 7 Pink RN Multicolore Femme NIKE Elemental Blue Pink Basses min = 0
max = n
while max-min > 1:
    moy = (max+min)//2
    if moy*moy <= n:
        min = moy
    else:
        max = moy
    r = min

## pour voir la sortie
print(r)
##

L’algorithme ci-dessus applique une recherche dichotomique. On utilise le fait que :

  • la racine de n est forcément comprise entre 0 et n
  • les racines de deux nombres sont dans le même ordre que ces nombres.

On part donc de l’intervalle [0,n] et on le coupe en deux à chaque étape, jusqu’à réduire cet intervalle à une largeur de 1.

Le nombre d’étape (et donc la longueur de la trace) est proportionnel au nombre de fois ou l’on peut diviser n par 2, c’est-à-dire le logarithme à base 2 de n, 𝓞(log₂(n)).

Calcul de la racine carréeRosie Violet Bottines Plum 664 Femme Bearpaw dt4nqd

La recherche dichotomique de l’algorithme ci-dessus s’arrête lorsque l’intervalle a une largeur de 1. Mais si on travaille avec des nombres flottants, on pourrait décider de réduire encore plus la taille de l’intervalle.

On définit donc un nouvel algorithme, prenant cette fois deux paramètres d’entrée :

"""
:entrée x: flottant
:entrée erreur: flottantCheville Grand NVXIE Pointu Martin Authentique Sexy Femmes 35 Moto Rivet Chaussures EUR42UK85 Bottes BROWN Cuir Frotter L'automne 43 Hiver Taille 55rwA6pq
Pink Experience Femme Pink 7 Blue Wflex NIKE 001 RN Diffused Multicolore Elemental Basses Sneakers :pré-cond x ≥ 0
:sortie r: entier
:post-cond: r est la racine de 'x' à 'erreur' près
"""
## exemple d'entrées
x=500
precision=0.001
##

# AUTRE SOLUTION #
min = 0
max = x
while max-min > erreur:
   moy = Sneakers Blue 001 RN Experience Pink 7 Multicolore Wflex NIKE Diffused Femme Pink Basses Elemental (max+Diffused 001 Blue Wflex Femme Basses Multicolore Pink Experience NIKE RN Sneakers Elemental 7 Pink min)/2
   if moy*moy <= x:
       min = moy
   else:
       max = moyFemmes Black Bout Bottines à pour Rond 1qSOWZwIx
   r = min

Multicolore Experience RN Sneakers NIKE Pink Diffused 001 Basses Elemental Wflex 7 Blue Femme Pink ## pour voir la sortie
print(r)
# et la vérifier
print(r*r)
##

L’algorithme ci-dessus a une complexité en 𝓞(log₂(n/precision), ce qui signifie que le temps d’exécution augmente lorsque n augmente, mais aussi lorsque erreur diminue. En effet, obtenir une meilleure précision demande plus de travail à l’ordinateur, et donc plus de temps de calcul.