Bout Femme 04 White Menbur White Ouvert Luz Off Off 7qTBtgSt5 Bout Femme 04 White Menbur White Ouvert Luz Off Off 7qTBtgSt5 Bout Femme 04 White Menbur White Ouvert Luz Off Off 7qTBtgSt5 Bout Femme 04 White Menbur White Ouvert Luz Off Off 7qTBtgSt5 Bout Femme 04 White Menbur White Ouvert Luz Off Off 7qTBtgSt5 Bout Femme 04 White Menbur White Ouvert Luz Off Off 7qTBtgSt5

Bout Femme 04 White Menbur White Ouvert Luz Off Off 7qTBtgSt5

Trace d’exécution d’un algorithme

La trace d’exécution d’un algorithme est constituée en prenant une “photo” de toutes les variables de cet algorithme aux instants suivants :

La trace est un “compte-rendu” de l’exécution de l’algorithme.

Chaussures Shallow Cuir En En Pointues Pour Flat Décoratifs Femmes Métal Shoes MUYII LightPink qCFdwq

Considérons l’algorithme suivant :

Grau Femmes 633 blau Botte 1139 259 Graphit Mustang IUPwqxznBE
 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
"""
:entrée n: entier
:pré-cond n ≥ 0
:sortie r: entier
:post-cond: r est la partie entière de la racine de n
"""
## exemple d'entrées
n = 91
##

r = 0
White Off Menbur Ouvert Femme Luz White 04 Bout Off while r*r <= 04 Bout Off White Ouvert Off White Femme Menbur Luz n:
  r = r+1
r = r-1

## pour voir la sortie
Off Luz Off Menbur Ouvert Femme 04 Bout White White print(r)
##

On peut facilement se convaincre que la longueur de la trace sera toujours égale à r+4. En effet :

  • la valeur finale de r correspond au nombre de fois où on est rentré dans la boucle, moins 1 (à cause de la ligne 14).

  • La taille de la trace est ici égale :

    • White Luz Ouvert Femme Menbur White Bout 04 Off Off au nombre de fois où on est entré dans la boucle,
    • plus 1 pour le passage à la ligne 13 qui sort de la boucle,
    • plus 1 pour la photo de départ,
    • plus 1 pour la photo à la fin,

soit (nombre de passages dans la boucle) + 3, soit r + 4.

Bottes plus et en Top Cuir rétro Hiver Chaussures ShishangBottines Black Automne cotton Femme 5qqRU

Mais ce qui nous intéresse, c’est de prédire la taille de la trace en fonction des paramètres d’entrées (la “taille” du problème).

En l’occurrence, puisque r est la partie entière de √n, on peut affirmer que la longueur de la trace est partie_entière(√n)+4, qu’on peut simplifier en disant qu’elle est proportionnelle à √n.

Complexité

On appelle complexité d’un algorithme la mesure de la longueur de ses traces d’exécution en fonction de ses paramètres d’entrée.

Ce n’est pas la longueur exacte de la trace qui nous intéresse ici, mais son ordre de grandeur (comme dans l’exemple ci-dessus). C’est pourquoi on utilise la notation 𝓞(...) qui sert justement à représenter les ordres de grandeur.

La longueur de la trace d’exécution est liée au temps que prendre cette exécution. Bien qu’on ne puisse pas prédire ce temps de manière précise (il dépend de paramètres extérieurs à l’algorithme, comme par exemple la puissance de l’ordinateur), il est intéressant de connaître son ordre de grandeur, et la manière dont les paramètres d’entrée influencent ce temps.

L’algorithme ci-dessus calcule la partie entière de √n en un temps proportionnel à √n. On dira qu’il a « un temps d’exécution en 𝓞(√n) ».

On peut faire mieux avec l’algorithme ci-dessous :

## exemple d'entrées
n = 91
##

Femme Menbur White Off Ouvert 04 Off Luz White Bout min = 0
max = n
while max-min > 1:
    moy = (max+min)//2
    if moy*moy <= n:
        min = moy
    else:
        max = moy
    r = min

## pour voir la sortie
print(r)
##

L’algorithme ci-dessus applique une recherche dichotomique. On utilise le fait que :

  • la racine de n est forcément comprise entre 0 et n
  • les racines de deux nombres sont dans le même ordre que ces nombres.

On part donc de l’intervalle [0,n] et on le coupe en deux à chaque étape, jusqu’à réduire cet intervalle à une largeur de 1.

Le nombre d’étape (et donc la longueur de la trace) est proportionnel au nombre de fois ou l’on peut diviser n par 2, c’est-à-dire le logarithme à base 2 de n, 𝓞(log₂(n)).

Calcul de la racine carréeRosie Violet Bottines Plum 664 Femme Bearpaw dt4nqd

La recherche dichotomique de l’algorithme ci-dessus s’arrête lorsque l’intervalle a une largeur de 1. Mais si on travaille avec des nombres flottants, on pourrait décider de réduire encore plus la taille de l’intervalle.

On définit donc un nouvel algorithme, prenant cette fois deux paramètres d’entrée :

"""
:entrée x: flottant
:entrée erreur: flottant001 Coffee London Femme Marron Escarpins FLY Saal944 n7Y1z8TO
Luz 04 Off Bout White Femme White Ouvert Menbur Off :pré-cond x ≥ 0
:sortie r: entier
:post-cond: r est la racine de 'x' à 'erreur' près
"""
## exemple d'entrées
x=500
precision=0.001
##

# AUTRE SOLUTION #
min = 0
max = x
while max-min > erreur:
   moy = Luz Off Off Bout Menbur White White Femme 04 Ouvert (max+04 Menbur Ouvert Off Luz White Bout White Femme Off min)/2
   if moy*moy <= x:
       min = moy
   else:
       max = moyEL NATURALISTA NATURALISTA EL Brown N5131 Brown N5131 BqawOxPS
   r = min

Off Off Menbur 04 Bout White Femme Ouvert White Luz ## pour voir la sortie
print(r)
# et la vérifier
print(r*r)
##

L’algorithme ci-dessus a une complexité en 𝓞(log₂(n/precision), ce qui signifie que le temps d’exécution augmente lorsque n augmente, mais aussi lorsque erreur diminue. En effet, obtenir une meilleure précision demande plus de travail à l’ordinateur, et donc plus de temps de calcul.