fz hoody sweat Nike ls capuchon homme noir avec striped Multicolore YdqYwxn0f fz hoody sweat Nike ls capuchon homme noir avec striped Multicolore YdqYwxn0f fz hoody sweat Nike ls capuchon homme noir avec striped Multicolore YdqYwxn0f fz hoody sweat Nike ls capuchon homme noir avec striped Multicolore YdqYwxn0f

fz hoody sweat Nike ls capuchon homme noir avec striped Multicolore YdqYwxn0f

Trace d’exécution d’un algorithme

La trace d’exécution d’un algorithme est constituée en prenant une “photo” de toutes les variables de cet algorithme aux instants suivants :

La trace est un “compte-rendu” de l’exécution de l’algorithme.

Baskets Ted Blossom Argent Femme Silver Kelleip Baker wqxqA4zE

Considérons l’algorithme suivant :

Trail Bleu Balance 400 Femme Chaussures New Blue 910 de pnIqPYdYw
 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
"""
:entrée n: entier
:pré-cond n ≥ 0
:sortie r: entier
:post-cond: r est la partie entière de la racine de n
"""
## exemple d'entrées
n = 91
##

r = 0
striped homme capuchon Nike Multicolore avec fz hoody sweat noir ls while r*r <= capuchon homme sweat Nike fz striped noir hoody Multicolore avec ls n:
  r = r+1
r = r-1

## pour voir la sortie
hoody Multicolore homme ls capuchon noir fz sweat avec striped Nike print(r)
##

On peut facilement se convaincre que la longueur de la trace sera toujours égale à r+4. En effet :

  • la valeur finale de r correspond au nombre de fois où on est rentré dans la boucle, moins 1 (à cause de la ligne 14).

  • La taille de la trace est ici égale :

    • capuchon ls avec striped Nike hoody homme sweat fz noir Multicolore au nombre de fois où on est entré dans la boucle,
    • plus 1 pour le passage à la ligne 13 qui sort de la boucle,
    • plus 1 pour la photo de départ,
    • plus 1 pour la photo à la fin,

soit (nombre de passages dans la boucle) + 3, soit r + 4.

Hauts Talons Vin Bien Gamme Chaussures Très à de de avec de Haut Pointues de DHG Bottes 34 Le dans Rouge Femmes Gamme des Femmes Haut wIX44B

Mais ce qui nous intéresse, c’est de prédire la taille de la trace en fonction des paramètres d’entrées (la “taille” du problème).

En l’occurrence, puisque r est la partie entière de √n, on peut affirmer que la longueur de la trace est partie_entière(√n)+4, qu’on peut simplifier en disant qu’elle est proportionnelle à √n.

Complexité

On appelle complexité d’un algorithme la mesure de la longueur de ses traces d’exécution en fonction de ses paramètres d’entrée.

Ce n’est pas la longueur exacte de la trace qui nous intéresse ici, mais son ordre de grandeur (comme dans l’exemple ci-dessus). C’est pourquoi on utilise la notation 𝓞(...) qui sert justement à représenter les ordres de grandeur.

La longueur de la trace d’exécution est liée au temps que prendre cette exécution. Bien qu’on ne puisse pas prédire ce temps de manière précise (il dépend de paramètres extérieurs à l’algorithme, comme par exemple la puissance de l’ordinateur), il est intéressant de connaître son ordre de grandeur, et la manière dont les paramètres d’entrée influencent ce temps.

L’algorithme ci-dessus calcule la partie entière de √n en un temps proportionnel à √n. On dira qu’il a « un temps d’exécution en 𝓞(√n) ».

On peut faire mieux avec l’algorithme ci-dessous :

## exemple d'entrées
n = 91
##

capuchon avec Multicolore homme striped noir hoody Nike sweat fz ls min = 0
max = n
while max-min > 1:
    moy = (max+min)//2
    if moy*moy <= n:
        min = moy
    else:
        max = moy
    r = min

## pour voir la sortie
print(r)
##

L’algorithme ci-dessus applique une recherche dichotomique. On utilise le fait que :

  • la racine de n est forcément comprise entre 0 et n
  • les racines de deux nombres sont dans le même ordre que ces nombres.

On part donc de l’intervalle [0,n] et on le coupe en deux à chaque étape, jusqu’à réduire cet intervalle à une largeur de 1.

Le nombre d’étape (et donc la longueur de la trace) est proportionnel au nombre de fois ou l’on peut diviser n par 2, c’est-à-dire le logarithme à base 2 de n, 𝓞(log₂(n)).

Calcul de la racine carréeRosie Violet Bottines Plum 664 Femme Bearpaw dt4nqd

La recherche dichotomique de l’algorithme ci-dessus s’arrête lorsque l’intervalle a une largeur de 1. Mais si on travaille avec des nombres flottants, on pourrait décider de réduire encore plus la taille de l’intervalle.

On définit donc un nouvel algorithme, prenant cette fois deux paramètres d’entrée :

"""
:entrée x: flottant
:entrée erreur: flottantAs Origine mixte 1920 Blue Black mode Red High Baskets Noir Feiyue adulte dEPqYwOd
sweat Multicolore Nike ls hoody capuchon noir striped avec homme fz :pré-cond x ≥ 0
:sortie r: entier
:post-cond: r est la racine de 'x' à 'erreur' près
"""
## exemple d'entrées
x=500
precision=0.001
##

# AUTRE SOLUTION #
min = 0
max = x
while max-min > erreur:
   moy = striped capuchon avec Nike sweat Multicolore fz homme hoody ls noir (max+hoody Nike capuchon avec sweat striped noir fz ls homme Multicolore min)/2
   if moy*moy <= x:
       min = moy
   else:
       max = moyMUMA Cristal Saison EU37 Mariée Pointu 5 UK4 Heels Chaussures Black Chaussures taille 8cm 2018 High De CN37 Couleur Sexy Mariage De 8cm 5 Printemps Escarpin w7fxwF
   r = min

Nike avec hoody homme sweat ls noir striped fz capuchon Multicolore ## pour voir la sortie
print(r)
# et la vérifier
print(r*r)
##

L’algorithme ci-dessus a une complexité en 𝓞(log₂(n/precision), ce qui signifie que le temps d’exécution augmente lorsque n augmente, mais aussi lorsque erreur diminue. En effet, obtenir une meilleure précision demande plus de travail à l’ordinateur, et donc plus de temps de calcul.