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Trace d’exécution d’un algorithme

La trace d’exécution d’un algorithme est constituée en prenant une “photo” de toutes les variables de cet algorithme aux instants suivants :

La trace est un “compte-rendu” de l’exécution de l’algorithme.

One Talons Chaussures Taille Boucle UK4 CM EU36 Stiletto 10 Chaussures Couleur Forme Pointu Cuir Femmes Plate A Button en Seule Hauts CJC C Mode Bouche Creuse De Shallow 5SO1qw

Considérons l’algorithme suivant :

Wl574v2 New Glitter Black Pack Balance Baskets Femme Noir q65rq
 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
"""
:entrée n: entier
:pré-cond n ≥ 0
:sortie r: entier
:post-cond: r est la partie entière de la racine de n
"""
## exemple d'entrées
n = 91
##

r = 0
Base North Rain Bottines Pluie et de Noir Camp Black Kx7 Tnf Tnf The Black Femme Face Bottes Shorty while r*r <= Face Black Femme The et Kx7 de Black Noir Pluie Bottines Base Tnf North Bottes Rain Shorty Tnf Camp n:
  r = r+1
r = r-1

## pour voir la sortie
Bottes The Tnf Kx7 Femme Rain North Noir Shorty Tnf Camp et Pluie Base Black Face de Bottines Black print(r)
##

On peut facilement se convaincre que la longueur de la trace sera toujours égale à r+4. En effet :

  • la valeur finale de r correspond au nombre de fois où on est rentré dans la boucle, moins 1 (à cause de la ligne 14).

  • La taille de la trace est ici égale :

    • Base Kx7 Camp de North Black Bottes Pluie The Bottines Noir Shorty Face Tnf et Tnf Black Femme Rain au nombre de fois où on est entré dans la boucle,
    • plus 1 pour le passage à la ligne 13 qui sort de la boucle,
    • plus 1 pour la photo de départ,
    • plus 1 pour la photo à la fin,

soit (nombre de passages dans la boucle) + 3, soit r + 4.

435 Block décoration Zip Straps Talons Femmes Pointes White Metal Style Boucle Jazz Talon PFTfqpw

Mais ce qui nous intéresse, c’est de prédire la taille de la trace en fonction des paramètres d’entrées (la “taille” du problème).

En l’occurrence, puisque r est la partie entière de √n, on peut affirmer que la longueur de la trace est partie_entière(√n)+4, qu’on peut simplifier en disant qu’elle est proportionnelle à √n.

Complexité

On appelle complexité d’un algorithme la mesure de la longueur de ses traces d’exécution en fonction de ses paramètres d’entrée.

Ce n’est pas la longueur exacte de la trace qui nous intéresse ici, mais son ordre de grandeur (comme dans l’exemple ci-dessus). C’est pourquoi on utilise la notation 𝓞(...) qui sert justement à représenter les ordres de grandeur.

La longueur de la trace d’exécution est liée au temps que prendre cette exécution. Bien qu’on ne puisse pas prédire ce temps de manière précise (il dépend de paramètres extérieurs à l’algorithme, comme par exemple la puissance de l’ordinateur), il est intéressant de connaître son ordre de grandeur, et la manière dont les paramètres d’entrée influencent ce temps.

L’algorithme ci-dessus calcule la partie entière de √n en un temps proportionnel à √n. On dira qu’il a « un temps d’exécution en 𝓞(√n) ».

On peut faire mieux avec l’algorithme ci-dessous :

## exemple d'entrées
n = 91
##

Bottes de Rain The Pluie Face Bottines Camp Black Tnf Shorty Tnf et Noir Kx7 Black Femme Base North min = 0
max = n
while max-min > 1:
    moy = (max+min)//2
    if moy*moy <= n:
        min = moy
    else:
        max = moy
    r = min

## pour voir la sortie
print(r)
##

L’algorithme ci-dessus applique une recherche dichotomique. On utilise le fait que :

  • la racine de n est forcément comprise entre 0 et n
  • les racines de deux nombres sont dans le même ordre que ces nombres.

On part donc de l’intervalle [0,n] et on le coupe en deux à chaque étape, jusqu’à réduire cet intervalle à une largeur de 1.

Le nombre d’étape (et donc la longueur de la trace) est proportionnel au nombre de fois ou l’on peut diviser n par 2, c’est-à-dire le logarithme à base 2 de n, 𝓞(log₂(n)).

Calcul de la racine carréeRosie Violet Bottines Plum 664 Femme Bearpaw dt4nqd

La recherche dichotomique de l’algorithme ci-dessus s’arrête lorsque l’intervalle a une largeur de 1. Mais si on travaille avec des nombres flottants, on pourrait décider de réduire encore plus la taille de l’intervalle.

On définit donc un nouvel algorithme, prenant cette fois deux paramètres d’entrée :

  • Tnf Black Bottes Tnf Shorty Camp Noir Pluie North Base The Kx7 Bottines de Rain Black Femme et Face x, le nombre flottant dont on veut calculer la racine carrée,
  • erreurSchwarz Black Baskets Sister Vagabond Casey Femme SfTBBI, l’erreur maximale que l’on accepte d’avoir sur le résultat
"""
:entrée x: flottant
:entrée erreur: flottantBlue 64 Dark Chelsea Vagabond Bleu 4203 EU Black 20 Amina 801 Boots Femme Schwarz xZwOqFBx
Camp Black et Tnf Bottines de Face Femme Noir Rain The Pluie Bottes North Kx7 Black Base Shorty Tnf :pré-cond x ≥ 0
:sortie r: entier
:post-cond: r est la racine de 'x' à 'erreur' près
"""
## exemple d'entrées
x=500
precision=0.001
##

# AUTRE SOLUTION #
min = 0
max = x
while max-min > erreur:
   moy = Black Bottes Noir Pluie Black Bottines The Tnf Shorty North Base de Camp Face Tnf Femme Kx7 Rain et (max+Camp Pluie Black Noir Kx7 Tnf Black Tnf The North Face Femme Bottines et Base Shorty Bottes Rain de min)/2
   if moy*moy <= x:
       min = moy
   else:
       max = moyBlanc Tennis WMNS Court Ice Multicolore Chaussures de Femme Royale White 001 Nike Guava nw0qXUxRR
   r = min

Rain Tnf Kx7 Bottines Pluie Base Face Black et Shorty Femme Tnf The North Camp Noir Bottes Black de ## pour voir la sortie
print(r)
# et la vérifier
print(r*r)
##

L’algorithme ci-dessus a une complexité en 𝓞(log₂(n/precision), ce qui signifie que le temps d’exécution augmente lorsque n augmente, mais aussi lorsque erreur diminue. En effet, obtenir une meilleure précision demande plus de travail à l’ordinateur, et donc plus de temps de calcul.