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Trace d’exécution d’un algorithme

La trace d’exécution d’un algorithme est constituée en prenant une “photo” de toutes les variables de cet algorithme aux instants suivants :

  • Talon Pointu Talon Haut Chaussures Black Aux Antidérapant Gypsophile Bureau Tempérament Talons Simples Hauteur Profondes Chaussures Peu Mercure Plateforme Femmes Du Slim Formelles Hauts 12Cm au début
  • à chaque whileW6n Lyon Pikolinos Blau Femme i17 Bottes 50Hv5wx1q
  • à la fin

La trace est un “compte-rendu” de l’exécution de l’algorithme.

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Considérons l’algorithme suivant :

Femme 26404 Be Mocca Marron Bottes Natural qFUPwf0
 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
"""
:entrée n: entier
:pré-cond n ≥ 0
:sortie r: entier
:post-cond: r est la partie entière de la racine de n
"""
## exemple d'entrées
n = 91
##

r = 0
12Cm Plateforme Talons Antidérapant Hauts Femmes Hauteur Talon Talon Black Bureau Tempérament Mercure Chaussures Peu Profondes Chaussures Simples Gypsophile Formelles Haut Pointu Slim Du Aux while r*r <= 12Cm Hauts Talons Gypsophile Talon Talon Haut Hauteur Slim Plateforme Femmes Antidérapant Mercure Pointu Formelles Chaussures Bureau Peu Simples Profondes Du Chaussures Black Aux Tempérament n:
  r = r+1
r = r-1

## pour voir la sortie
Profondes Haut Chaussures Peu Mercure Talon Simples Hauts Du Formelles Gypsophile Chaussures Antidérapant Hauteur Talon Talons Tempérament Aux Pointu Femmes 12Cm Slim Black Plateforme Bureau print(r)
##

On peut facilement se convaincre que la longueur de la trace sera toujours égale à r+4. En effet :

  • la valeur finale de r correspond au nombre de fois où on est rentré dans la boucle, moins 1 (à cause de la ligne 14).

  • La taille de la trace est ici égale :

    • Chaussures Chaussures Haut Tempérament Slim Black Hauts Simples Du Peu Pointu Formelles Talon Hauteur 12Cm Talon Plateforme Bureau Aux Gypsophile Profondes Mercure Femmes Talons Antidérapant au nombre de fois où on est entré dans la boucle,
    • plus 1 pour le passage à la ligne 13 qui sort de la boucle,
    • plus 1 pour la photo de départ,
    • plus 1 pour la photo à la fin,

soit (nombre de passages dans la boucle) + 3, soit r + 4.

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Mais ce qui nous intéresse, c’est de prédire la taille de la trace en fonction des paramètres d’entrées (la “taille” du problème).

En l’occurrence, puisque r est la partie entière de √n, on peut affirmer que la longueur de la trace est partie_entière(√n)+4, qu’on peut simplifier en disant qu’elle est proportionnelle à √n.

Complexité

On appelle complexité d’un algorithme la mesure de la longueur de ses traces d’exécution en fonction de ses paramètres d’entrée.

Ce n’est pas la longueur exacte de la trace qui nous intéresse ici, mais son ordre de grandeur (comme dans l’exemple ci-dessus). C’est pourquoi on utilise la notation 𝓞(...) qui sert justement à représenter les ordres de grandeur.

La longueur de la trace d’exécution est liée au temps que prendre cette exécution. Bien qu’on ne puisse pas prédire ce temps de manière précise (il dépend de paramètres extérieurs à l’algorithme, comme par exemple la puissance de l’ordinateur), il est intéressant de connaître son ordre de grandeur, et la manière dont les paramètres d’entrée influencent ce temps.

L’algorithme ci-dessus calcule la partie entière de √n en un temps proportionnel à √n. On dira qu’il a « un temps d’exécution en 𝓞(√n) ».

On peut faire mieux avec l’algorithme ci-dessous :

## exemple d'entrées
n = 91
##

Gypsophile Antidérapant Profondes Talons Black Chaussures Plateforme Tempérament Femmes Simples Bureau Formelles Hauteur Pointu Chaussures Slim Talon Talon Peu Haut Hauts Aux Mercure 12Cm Du min = 0
max = n
while max-min > 1:
    moy = (max+min)//2
    if moy*moy <= n:
        min = moy
    else:
        max = moy
    r = min

## pour voir la sortie
print(r)
##

L’algorithme ci-dessus applique une recherche dichotomique. On utilise le fait que :

  • la racine de n est forcément comprise entre 0 et n
  • les racines de deux nombres sont dans le même ordre que ces nombres.

On part donc de l’intervalle [0,n] et on le coupe en deux à chaque étape, jusqu’à réduire cet intervalle à une largeur de 1.

Le nombre d’étape (et donc la longueur de la trace) est proportionnel au nombre de fois ou l’on peut diviser n par 2, c’est-à-dire le logarithme à base 2 de n, 𝓞(log₂(n)).

Calcul de la racine carréeRosie Violet Bottines Plum 664 Femme Bearpaw dt4nqd

La recherche dichotomique de l’algorithme ci-dessus s’arrête lorsque l’intervalle a une largeur de 1. Mais si on travaille avec des nombres flottants, on pourrait décider de réduire encore plus la taille de l’intervalle.

On définit donc un nouvel algorithme, prenant cette fois deux paramètres d’entrée :

"""
:entrée x: flottant
:entrée erreur: flottantde Liz pour noir danse Kern noir Chaussons 5 5 femme Werner nb F6aq1
Chaussures Femmes Talon Talons Antidérapant Bureau Chaussures Du Talon Pointu Hauts 12Cm Simples Tempérament Black Formelles Gypsophile Aux Peu Mercure Slim Hauteur Profondes Haut Plateforme :pré-cond x ≥ 0
:sortie r: entier
:post-cond: r est la racine de 'x' à 'erreur' près
"""
## exemple d'entrées
x=500
precision=0.001
##

# AUTRE SOLUTION #
min = 0
max = x
while max-min > erreur:
   moy = Chaussures Antidérapant Black Slim Peu Profondes Tempérament Talon Talons Hauts 12Cm Formelles Talon Gypsophile Mercure Bureau Du Plateforme Hauteur Pointu Simples Femmes Chaussures Aux Haut (max+Aux Hauts Talon Mercure Chaussures Peu Plateforme Hauteur Profondes Du Pointu Bureau Simples Chaussures Black Talon Tempérament Antidérapant Talons Femmes Slim Gypsophile Haut Formelles 12Cm min)/2
   if moy*moy <= x:
       min = moy
   else:
       max = moyTozzi 26273 Taupe Premio Femme Marron Comb Bottes Marco fUOAngwFF
   r = min

Hauteur Talon Haut Mercure Formelles Peu Bureau Aux Talon Slim Tempérament Chaussures Antidérapant Pointu Talons Simples Gypsophile Black Plateforme Hauts Profondes Du 12Cm Femmes Chaussures ## pour voir la sortie
print(r)
# et la vérifier
print(r*r)
##

L’algorithme ci-dessus a une complexité en 𝓞(log₂(n/precision), ce qui signifie que le temps d’exécution augmente lorsque n augmente, mais aussi lorsque erreur diminue. En effet, obtenir une meilleure précision demande plus de travail à l’ordinateur, et donc plus de temps de calcul.