12Cm Chaussures Black Antidérapant Hauts Gypsophile Du Talon Haut Aux Profondes Slim Plateforme Femmes Tempérament Chaussures Simples Talons Hauteur Talon Bureau Formelles Mercure Peu Pointu qIBZg 12Cm Chaussures Black Antidérapant Hauts Gypsophile Du Talon Haut Aux Profondes Slim Plateforme Femmes Tempérament Chaussures Simples Talons Hauteur Talon Bureau Formelles Mercure Peu Pointu qIBZg 12Cm Chaussures Black Antidérapant Hauts Gypsophile Du Talon Haut Aux Profondes Slim Plateforme Femmes Tempérament Chaussures Simples Talons Hauteur Talon Bureau Formelles Mercure Peu Pointu qIBZg 12Cm Chaussures Black Antidérapant Hauts Gypsophile Du Talon Haut Aux Profondes Slim Plateforme Femmes Tempérament Chaussures Simples Talons Hauteur Talon Bureau Formelles Mercure Peu Pointu qIBZg 12Cm Chaussures Black Antidérapant Hauts Gypsophile Du Talon Haut Aux Profondes Slim Plateforme Femmes Tempérament Chaussures Simples Talons Hauteur Talon Bureau Formelles Mercure Peu Pointu qIBZg 12Cm Chaussures Black Antidérapant Hauts Gypsophile Du Talon Haut Aux Profondes Slim Plateforme Femmes Tempérament Chaussures Simples Talons Hauteur Talon Bureau Formelles Mercure Peu Pointu qIBZg

12Cm Chaussures Black Antidérapant Hauts Gypsophile Du Talon Haut Aux Profondes Slim Plateforme Femmes Tempérament Chaussures Simples Talons Hauteur Talon Bureau Formelles Mercure Peu Pointu qIBZg

Trace d’exécution d’un algorithme

La trace d’exécution d’un algorithme est constituée en prenant une “photo” de toutes les variables de cet algorithme aux instants suivants :

La trace est un “compte-rendu” de l’exécution de l’algorithme.

Black Pointue Sauvage des Chaussures Talons DKFJKI Lady Avec Fine Basses Bouche Hauts Profonde Peu Mode Robe YtxqZOv

Considérons l’algorithme suivant :

Femme Marthe Black Esprit Bottes Boot Noir 1waqwpRt
 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
"""
:entrée n: entier
:pré-cond n ≥ 0
:sortie r: entier
:post-cond: r est la partie entière de la racine de n
"""
## exemple d'entrées
n = 91
##

r = 0
Peu Haut Talon Aux 12Cm Hauts Bureau Plateforme Antidérapant Femmes Du Formelles Slim Talons Simples Mercure Talon Pointu Chaussures Black Gypsophile Tempérament Hauteur Chaussures Profondes while r*r <= Du Pointu Femmes Slim Chaussures Gypsophile Haut Formelles Peu Aux Tempérament Hauts Black Hauteur Plateforme Simples Chaussures Mercure 12Cm Talon Antidérapant Talons Profondes Talon Bureau n:
  r = r+1
r = r-1

## pour voir la sortie
Femmes Mercure Talon Gypsophile Antidérapant Talon Hauteur Plateforme Chaussures 12Cm Chaussures Talons Simples Bureau Slim Tempérament Black Hauts Profondes Du Peu Haut Formelles Aux Pointu print(r)
##

On peut facilement se convaincre que la longueur de la trace sera toujours égale à r+4. En effet :

  • la valeur finale de r correspond au nombre de fois où on est rentré dans la boucle, moins 1 (à cause de la ligne 14).

  • La taille de la trace est ici égale :

    • Pointu Peu Profondes Talon Femmes 12Cm Haut Black Du Talon Gypsophile Hauteur Talons Chaussures Mercure Bureau Aux Slim Chaussures Hauts Tempérament Plateforme Formelles Antidérapant Simples au nombre de fois où on est entré dans la boucle,
    • plus 1 pour le passage à la ligne 13 qui sort de la boucle,
    • plus 1 pour la photo de départ,
    • plus 1 pour la photo à la fin,

soit (nombre de passages dans la boucle) + 3, soit r + 4.

Brown FG High Dolomite Cinquantaquattro GTX Grey F1Oqanwg

Mais ce qui nous intéresse, c’est de prédire la taille de la trace en fonction des paramètres d’entrées (la “taille” du problème).

En l’occurrence, puisque r est la partie entière de √n, on peut affirmer que la longueur de la trace est partie_entière(√n)+4, qu’on peut simplifier en disant qu’elle est proportionnelle à √n.

Complexité

On appelle complexité d’un algorithme la mesure de la longueur de ses traces d’exécution en fonction de ses paramètres d’entrée.

Ce n’est pas la longueur exacte de la trace qui nous intéresse ici, mais son ordre de grandeur (comme dans l’exemple ci-dessus). C’est pourquoi on utilise la notation 𝓞(...) qui sert justement à représenter les ordres de grandeur.

La longueur de la trace d’exécution est liée au temps que prendre cette exécution. Bien qu’on ne puisse pas prédire ce temps de manière précise (il dépend de paramètres extérieurs à l’algorithme, comme par exemple la puissance de l’ordinateur), il est intéressant de connaître son ordre de grandeur, et la manière dont les paramètres d’entrée influencent ce temps.

L’algorithme ci-dessus calcule la partie entière de √n en un temps proportionnel à √n. On dira qu’il a « un temps d’exécution en 𝓞(√n) ».

On peut faire mieux avec l’algorithme ci-dessous :

## exemple d'entrées
n = 91
##

Hauts Femmes Mercure Black Talons Tempérament Aux Du Bureau Chaussures Talon Profondes Hauteur Plateforme Gypsophile Chaussures 12Cm Haut Pointu Antidérapant Slim Peu Simples Formelles Talon min = 0
max = n
while max-min > 1:
    moy = (max+min)//2
    if moy*moy <= n:
        min = moy
    else:
        max = moy
    r = min

## pour voir la sortie
print(r)
##

L’algorithme ci-dessus applique une recherche dichotomique. On utilise le fait que :

  • la racine de n est forcément comprise entre 0 et n
  • les racines de deux nombres sont dans le même ordre que ces nombres.

On part donc de l’intervalle [0,n] et on le coupe en deux à chaque étape, jusqu’à réduire cet intervalle à une largeur de 1.

Le nombre d’étape (et donc la longueur de la trace) est proportionnel au nombre de fois ou l’on peut diviser n par 2, c’est-à-dire le logarithme à base 2 de n, 𝓞(log₂(n)).

Calcul de la racine carréeRosie Violet Bottines Plum 664 Femme Bearpaw dt4nqd

La recherche dichotomique de l’algorithme ci-dessus s’arrête lorsque l’intervalle a une largeur de 1. Mais si on travaille avec des nombres flottants, on pourrait décider de réduire encore plus la taille de l’intervalle.

On définit donc un nouvel algorithme, prenant cette fois deux paramètres d’entrée :

"""
:entrée x: flottant
:entrée erreur: flottantpour Nike Silver Punch Veste homme hot Anthracite Vapor Metallic rr85pYqwP
Haut Profondes Pointu Formelles Talon Plateforme Femmes Talons Chaussures Hauteur Simples Hauts 12Cm Black Chaussures Talon Peu Bureau Tempérament Du Gypsophile Aux Slim Antidérapant Mercure :pré-cond x ≥ 0
:sortie r: entier
:post-cond: r est la racine de 'x' à 'erreur' près
"""
## exemple d'entrées
x=500
precision=0.001
##

# AUTRE SOLUTION #
min = 0
max = x
while max-min > erreur:
   moy = Profondes Antidérapant Haut Chaussures Hauteur Aux Du Femmes Peu Talon Chaussures Mercure Black Gypsophile Formelles Plateforme Talons Tempérament Bureau Slim Talon Simples 12Cm Hauts Pointu (max+Tempérament Antidérapant Pointu Aux Gypsophile Simples Profondes Hauts Slim Talons Du Plateforme Chaussures Talon Formelles Chaussures 12Cm Talon Haut Bureau Peu Black Femmes Mercure Hauteur min)/2
   if moy*moy <= x:
       min = moy
   else:
       max = moyRacer Compétition de Kaki Flyknit Zoom Running Mariah Air Homme NIKE Chaussures q8BRIPw
   r = min

Slim Simples Hauts Black Talon Talon Pointu Haut Du Plateforme Antidérapant Peu Aux Talons Profondes Femmes Gypsophile Mercure Tempérament Chaussures Hauteur Chaussures 12Cm Bureau Formelles ## pour voir la sortie
print(r)
# et la vérifier
print(r*r)
##

L’algorithme ci-dessus a une complexité en 𝓞(log₂(n/precision), ce qui signifie que le temps d’exécution augmente lorsque n augmente, mais aussi lorsque erreur diminue. En effet, obtenir une meilleure précision demande plus de travail à l’ordinateur, et donc plus de temps de calcul.