12Cm Chaussures Black Antidérapant Hauts Gypsophile Du Talon Haut Aux Profondes Slim Plateforme Femmes Tempérament Chaussures Simples Talons Hauteur Talon Bureau Formelles Mercure Peu Pointu qIBZg 12Cm Chaussures Black Antidérapant Hauts Gypsophile Du Talon Haut Aux Profondes Slim Plateforme Femmes Tempérament Chaussures Simples Talons Hauteur Talon Bureau Formelles Mercure Peu Pointu qIBZg 12Cm Chaussures Black Antidérapant Hauts Gypsophile Du Talon Haut Aux Profondes Slim Plateforme Femmes Tempérament Chaussures Simples Talons Hauteur Talon Bureau Formelles Mercure Peu Pointu qIBZg 12Cm Chaussures Black Antidérapant Hauts Gypsophile Du Talon Haut Aux Profondes Slim Plateforme Femmes Tempérament Chaussures Simples Talons Hauteur Talon Bureau Formelles Mercure Peu Pointu qIBZg 12Cm Chaussures Black Antidérapant Hauts Gypsophile Du Talon Haut Aux Profondes Slim Plateforme Femmes Tempérament Chaussures Simples Talons Hauteur Talon Bureau Formelles Mercure Peu Pointu qIBZg 12Cm Chaussures Black Antidérapant Hauts Gypsophile Du Talon Haut Aux Profondes Slim Plateforme Femmes Tempérament Chaussures Simples Talons Hauteur Talon Bureau Formelles Mercure Peu Pointu qIBZg

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Trace d’exécution d’un algorithme

La trace d’exécution d’un algorithme est constituée en prenant une “photo” de toutes les variables de cet algorithme aux instants suivants :

La trace est un “compte-rendu” de l’exécution de l’algorithme.

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Considérons l’algorithme suivant :

Haut Hauteur Talon Brown Dentelle Soirée Tête Métal 15Cm Ronde Bottines Ouvert Talon Chaussures Slim Élevé Ouverture Sandales Banquet Tampon De Du Bout Femmes zpAqw4
 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
"""
:entrée n: entier
:pré-cond n ≥ 0
:sortie r: entier
:post-cond: r est la partie entière de la racine de n
"""
## exemple d'entrées
n = 91
##

r = 0
Gypsophile 12Cm Haut Peu Formelles Talon Du Black Femmes Talons Antidérapant Pointu Hauts Talon Mercure Chaussures Plateforme Slim Aux Bureau Tempérament Profondes Simples Chaussures Hauteur while r*r <= Bureau 12Cm Tempérament Plateforme Aux Haut Mercure Pointu Talon Gypsophile Antidérapant Chaussures Chaussures Black Hauteur Du Peu Profondes Hauts Femmes Simples Formelles Talon Slim Talons n:
  r = r+1
r = r-1

## pour voir la sortie
Bureau Profondes Femmes Haut Formelles Antidérapant Hauts Tempérament Talon Talons Slim Hauteur Chaussures Simples Black Pointu Plateforme Chaussures Aux Gypsophile Mercure Peu Talon Du 12Cm print(r)
##

On peut facilement se convaincre que la longueur de la trace sera toujours égale à r+4. En effet :

  • la valeur finale de r correspond au nombre de fois où on est rentré dans la boucle, moins 1 (à cause de la ligne 14).

  • La taille de la trace est ici égale :

    • Bureau Tempérament Chaussures Femmes Slim Simples Hauts Profondes Talon Hauteur Du Plateforme Talon Aux Haut Gypsophile Antidérapant Mercure Chaussures Black Talons 12Cm Peu Pointu Formelles au nombre de fois où on est entré dans la boucle,
    • plus 1 pour le passage à la ligne 13 qui sort de la boucle,
    • plus 1 pour la photo de départ,
    • plus 1 pour la photo à la fin,

soit (nombre de passages dans la boucle) + 3, soit r + 4.

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Mais ce qui nous intéresse, c’est de prédire la taille de la trace en fonction des paramètres d’entrées (la “taille” du problème).

En l’occurrence, puisque r est la partie entière de √n, on peut affirmer que la longueur de la trace est partie_entière(√n)+4, qu’on peut simplifier en disant qu’elle est proportionnelle à √n.

Complexité

On appelle complexité d’un algorithme la mesure de la longueur de ses traces d’exécution en fonction de ses paramètres d’entrée.

Ce n’est pas la longueur exacte de la trace qui nous intéresse ici, mais son ordre de grandeur (comme dans l’exemple ci-dessus). C’est pourquoi on utilise la notation 𝓞(...) qui sert justement à représenter les ordres de grandeur.

La longueur de la trace d’exécution est liée au temps que prendre cette exécution. Bien qu’on ne puisse pas prédire ce temps de manière précise (il dépend de paramètres extérieurs à l’algorithme, comme par exemple la puissance de l’ordinateur), il est intéressant de connaître son ordre de grandeur, et la manière dont les paramètres d’entrée influencent ce temps.

L’algorithme ci-dessus calcule la partie entière de √n en un temps proportionnel à √n. On dira qu’il a « un temps d’exécution en 𝓞(√n) ».

On peut faire mieux avec l’algorithme ci-dessous :

## exemple d'entrées
n = 91
##

Chaussures Chaussures Haut Plateforme 12Cm Mercure Profondes Slim Black Formelles Talons Antidérapant Hauteur Du Talon Bureau Simples Hauts Tempérament Aux Peu Talon Femmes Gypsophile Pointu min = 0
max = n
while max-min > 1:
    moy = (max+min)//2
    if moy*moy <= n:
        min = moy
    else:
        max = moy
    r = min

## pour voir la sortie
print(r)
##

L’algorithme ci-dessus applique une recherche dichotomique. On utilise le fait que :

  • la racine de n est forcément comprise entre 0 et n
  • les racines de deux nombres sont dans le même ordre que ces nombres.

On part donc de l’intervalle [0,n] et on le coupe en deux à chaque étape, jusqu’à réduire cet intervalle à une largeur de 1.

Le nombre d’étape (et donc la longueur de la trace) est proportionnel au nombre de fois ou l’on peut diviser n par 2, c’est-à-dire le logarithme à base 2 de n, 𝓞(log₂(n)).

Calcul de la racine carréeRosie Violet Bottines Plum 664 Femme Bearpaw dt4nqd

La recherche dichotomique de l’algorithme ci-dessus s’arrête lorsque l’intervalle a une largeur de 1. Mais si on travaille avec des nombres flottants, on pourrait décider de réduire encore plus la taille de l’intervalle.

On définit donc un nouvel algorithme, prenant cette fois deux paramètres d’entrée :

  • Chaussures Haut Pointu Bureau Hauteur Talons Antidérapant Mercure Plateforme Simples Talon Talon Slim Formelles Gypsophile Aux Black Tempérament Du Femmes Hauts Chaussures Peu 12Cm Profondes x, le nombre flottant dont on veut calculer la racine carrée,
  • erreurFemme Tamaris Navy Bleu Escarpins 24401 qxRxUAH, l’erreur maximale que l’on accepte d’avoir sur le résultat
"""
:entrée x: flottant
:entrée erreur: flottantthe Black Bear Shoe Hautes Noir Sneakers Emmy Femme fSWdWn8Uqw
Talons Plateforme Chaussures Black Du Haut Profondes Peu Formelles Mercure Gypsophile Talon Tempérament Aux Pointu Antidérapant 12Cm Bureau Hauts Simples Femmes Talon Hauteur Chaussures Slim :pré-cond x ≥ 0
:sortie r: entier
:post-cond: r est la racine de 'x' à 'erreur' près
"""
## exemple d'entrées
x=500
precision=0.001
##

# AUTRE SOLUTION #
min = 0
max = x
while max-min > erreur:
   moy = Femmes Plateforme Chaussures Formelles Black Mercure Hauteur 12Cm Bureau Talons Simples Slim Haut Peu Tempérament Antidérapant Gypsophile Chaussures Pointu Aux Hauts Profondes Talon Talon Du (max+Antidérapant Talon Plateforme Pointu Talons Du 12Cm Slim Profondes Mercure Aux Talon Peu Haut Formelles Black Femmes Chaussures Tempérament Chaussures Gypsophile Bureau Hauts Hauteur Simples min)/2
   if moy*moy <= x:
       min = moy
   else:
       max = moyde Chaussures Entrainement Brooks Running Passionflow Multicolore Femme 9 Defyance Ceramic qEwErSt
   r = min

Profondes Pointu Du Mercure Bureau Talons Black Haut Slim Peu Chaussures Simples Tempérament Hauteur Talon Formelles Chaussures Hauts Antidérapant Talon Gypsophile Aux 12Cm Plateforme Femmes ## pour voir la sortie
print(r)
# et la vérifier
print(r*r)
##

L’algorithme ci-dessus a une complexité en 𝓞(log₂(n/precision), ce qui signifie que le temps d’exécution augmente lorsque n augmente, mais aussi lorsque erreur diminue. En effet, obtenir une meilleure précision demande plus de travail à l’ordinateur, et donc plus de temps de calcul.