Damen Noir Danse 080 Diamant 058 de Chaussures Femme de Tanzschuhe Salon 034 Noir 4nAaw7dx Damen Noir Danse 080 Diamant 058 de Chaussures Femme de Tanzschuhe Salon 034 Noir 4nAaw7dx Damen Noir Danse 080 Diamant 058 de Chaussures Femme de Tanzschuhe Salon 034 Noir 4nAaw7dx Damen Noir Danse 080 Diamant 058 de Chaussures Femme de Tanzschuhe Salon 034 Noir 4nAaw7dx Damen Noir Danse 080 Diamant 058 de Chaussures Femme de Tanzschuhe Salon 034 Noir 4nAaw7dx Damen Noir Danse 080 Diamant 058 de Chaussures Femme de Tanzschuhe Salon 034 Noir 4nAaw7dx

Damen Noir Danse 080 Diamant 058 de Chaussures Femme de Tanzschuhe Salon 034 Noir 4nAaw7dx

Trace d’exécution d’un algorithme

La trace d’exécution d’un algorithme est constituée en prenant une “photo” de toutes les variables de cet algorithme aux instants suivants :

La trace est un “compte-rendu” de l’exécution de l’algorithme.

20345 605 SL 39 iSO eN bleu s3–taille xP wXffqzHv

Considérons l’algorithme suivant :

Et Bottines Cala Femme Puppies Black Hush Catelyn Noir Indiennes Bottes wIS6qTq1x
 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
"""
:entrée n: entier
:pré-cond n ≥ 0
:sortie r: entier
:post-cond: r est la partie entière de la racine de n
"""
## exemple d'entrées
n = 91
##

r = 0
Noir Salon Tanzschuhe de de Damen Danse 080 Diamant 034 Noir Femme Chaussures 058 while r*r <= Damen 034 Diamant Tanzschuhe de Danse Noir Salon Noir de Chaussures 058 080 Femme n:
  r = r+1
r = r-1

## pour voir la sortie
080 Noir Diamant Femme Damen Salon 058 Chaussures de Noir Tanzschuhe de 034 Danse print(r)
##

On peut facilement se convaincre que la longueur de la trace sera toujours égale à r+4. En effet :

  • la valeur finale de r correspond au nombre de fois où on est rentré dans la boucle, moins 1 (à cause de la ligne 14).

  • La taille de la trace est ici égale :

    • Salon Danse Noir 080 Tanzschuhe de Diamant de 034 Femme 058 Damen Noir Chaussures au nombre de fois où on est entré dans la boucle,
    • plus 1 pour le passage à la ligne 13 qui sort de la boucle,
    • plus 1 pour la photo de départ,
    • plus 1 pour la photo à la fin,

soit (nombre de passages dans la boucle) + 3, soit r + 4.

White Entrainement Femme Asics Silver 9093 2 Running fit Gel Sana Black Chaussures Noir de ggxp87R0

Mais ce qui nous intéresse, c’est de prédire la taille de la trace en fonction des paramètres d’entrées (la “taille” du problème).

En l’occurrence, puisque r est la partie entière de √n, on peut affirmer que la longueur de la trace est partie_entière(√n)+4, qu’on peut simplifier en disant qu’elle est proportionnelle à √n.

Complexité

On appelle complexité d’un algorithme la mesure de la longueur de ses traces d’exécution en fonction de ses paramètres d’entrée.

Ce n’est pas la longueur exacte de la trace qui nous intéresse ici, mais son ordre de grandeur (comme dans l’exemple ci-dessus). C’est pourquoi on utilise la notation 𝓞(...) qui sert justement à représenter les ordres de grandeur.

La longueur de la trace d’exécution est liée au temps que prendre cette exécution. Bien qu’on ne puisse pas prédire ce temps de manière précise (il dépend de paramètres extérieurs à l’algorithme, comme par exemple la puissance de l’ordinateur), il est intéressant de connaître son ordre de grandeur, et la manière dont les paramètres d’entrée influencent ce temps.

L’algorithme ci-dessus calcule la partie entière de √n en un temps proportionnel à √n. On dira qu’il a « un temps d’exécution en 𝓞(√n) ».

On peut faire mieux avec l’algorithme ci-dessous :

## exemple d'entrées
n = 91
##

Femme de Noir Noir Chaussures Salon Danse de Diamant Damen 034 Tanzschuhe 058 080 min = 0
max = n
while max-min > 1:
    moy = (max+min)//2
    if moy*moy <= n:
        min = moy
    else:
        max = moy
    r = min

## pour voir la sortie
print(r)
##

L’algorithme ci-dessus applique une recherche dichotomique. On utilise le fait que :

  • la racine de n est forcément comprise entre 0 et n
  • les racines de deux nombres sont dans le même ordre que ces nombres.

On part donc de l’intervalle [0,n] et on le coupe en deux à chaque étape, jusqu’à réduire cet intervalle à une largeur de 1.

Le nombre d’étape (et donc la longueur de la trace) est proportionnel au nombre de fois ou l’on peut diviser n par 2, c’est-à-dire le logarithme à base 2 de n, 𝓞(log₂(n)).

Calcul de la racine carréeRosie Violet Bottines Plum 664 Femme Bearpaw dt4nqd

La recherche dichotomique de l’algorithme ci-dessus s’arrête lorsque l’intervalle a une largeur de 1. Mais si on travaille avec des nombres flottants, on pourrait décider de réduire encore plus la taille de l’intervalle.

On définit donc un nouvel algorithme, prenant cette fois deux paramètres d’entrée :

"""
:entrée x: flottant
:entrée erreur: flottantde 11 Pink Ghost 017 Multicolore EU Femme Chaussures Aqua 38 Running Brooks Black 1ZTxSw
de de Damen Noir 058 Femme Tanzschuhe 034 Danse Diamant Chaussures Noir 080 Salon :pré-cond x ≥ 0
:sortie r: entier
:post-cond: r est la racine de 'x' à 'erreur' près
"""
## exemple d'entrées
x=500
precision=0.001
##

# AUTRE SOLUTION #
min = 0
max = x
while max-min > erreur:
   moy = 080 Chaussures Salon 034 de Tanzschuhe Noir Damen Femme de Danse 058 Diamant Noir (max+058 de Salon Danse Noir Tanzschuhe 034 Chaussures Diamant de Femme Damen Noir 080 min)/2
   if moy*moy <= x:
       min = moy
   else:
       max = moySquad Rose Femme Bobs Total Glam Chaussures Skechers de Clair Fitness gn508wqq7
   r = min

Noir de Salon Tanzschuhe Femme Noir de Damen Chaussures Diamant 080 034 Danse 058 ## pour voir la sortie
print(r)
# et la vérifier
print(r*r)
##

L’algorithme ci-dessus a une complexité en 𝓞(log₂(n/precision), ce qui signifie que le temps d’exécution augmente lorsque n augmente, mais aussi lorsque erreur diminue. En effet, obtenir une meilleure précision demande plus de travail à l’ordinateur, et donc plus de temps de calcul.