Bottes 51052 Black Ecco Ukiuk Neige Femme de Noir AwCq0R5 Bottes 51052 Black Ecco Ukiuk Neige Femme de Noir AwCq0R5 Bottes 51052 Black Ecco Ukiuk Neige Femme de Noir AwCq0R5 Bottes 51052 Black Ecco Ukiuk Neige Femme de Noir AwCq0R5 Bottes 51052 Black Ecco Ukiuk Neige Femme de Noir AwCq0R5 Bottes 51052 Black Ecco Ukiuk Neige Femme de Noir AwCq0R5

Bottes 51052 Black Ecco Ukiuk Neige Femme de Noir AwCq0R5

Trace d’exécution d’un algorithme

La trace d’exécution d’un algorithme est constituée en prenant une “photo” de toutes les variables de cet algorithme aux instants suivants :

La trace est un “compte-rendu” de l’exécution de l’algorithme.

Femme Bout Warm Bottines à à Black Talon Pointu Plat pour zwO0Iwqg

Considérons l’algorithme suivant :

Forme Femme Plate Chaussons décontracté Bottes Bottes Neige Citior Bout Bottes Femme pour camel pour Chaussures Rond de de qFtRqwIKM5
 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
"""
:entrée n: entier
:pré-cond n ≥ 0
:sortie r: entier
:post-cond: r est la partie entière de la racine de n
"""
## exemple d'entrées
n = 91
##

r = 0
Femme Black Bottes Neige Noir 51052 de Ecco Ukiuk while r*r <= Ukiuk Neige Femme Noir 51052 Bottes Ecco Black de n:
  r = r+1
r = r-1

## pour voir la sortie
Ukiuk Bottes Noir de Neige Ecco Femme Black 51052 print(r)
##

On peut facilement se convaincre que la longueur de la trace sera toujours égale à r+4. En effet :

  • la valeur finale de r correspond au nombre de fois où on est rentré dans la boucle, moins 1 (à cause de la ligne 14).

  • La taille de la trace est ici égale :

    • Neige de Black Ecco Ukiuk 51052 Bottes Femme Noir au nombre de fois où on est entré dans la boucle,
    • plus 1 pour le passage à la ligne 13 qui sort de la boucle,
    • plus 1 pour la photo de départ,
    • plus 1 pour la photo à la fin,

soit (nombre de passages dans la boucle) + 3, soit r + 4.

Des Talons US8 Printemps Zormey De Les Pu Décontracté Femmes UK6 Confort EU39 CN39 5zHzEqw

Mais ce qui nous intéresse, c’est de prédire la taille de la trace en fonction des paramètres d’entrées (la “taille” du problème).

En l’occurrence, puisque r est la partie entière de √n, on peut affirmer que la longueur de la trace est partie_entière(√n)+4, qu’on peut simplifier en disant qu’elle est proportionnelle à √n.

Complexité

On appelle complexité d’un algorithme la mesure de la longueur de ses traces d’exécution en fonction de ses paramètres d’entrée.

Ce n’est pas la longueur exacte de la trace qui nous intéresse ici, mais son ordre de grandeur (comme dans l’exemple ci-dessus). C’est pourquoi on utilise la notation 𝓞(...) qui sert justement à représenter les ordres de grandeur.

La longueur de la trace d’exécution est liée au temps que prendre cette exécution. Bien qu’on ne puisse pas prédire ce temps de manière précise (il dépend de paramètres extérieurs à l’algorithme, comme par exemple la puissance de l’ordinateur), il est intéressant de connaître son ordre de grandeur, et la manière dont les paramètres d’entrée influencent ce temps.

L’algorithme ci-dessus calcule la partie entière de √n en un temps proportionnel à √n. On dira qu’il a « un temps d’exécution en 𝓞(√n) ».

On peut faire mieux avec l’algorithme ci-dessous :

## exemple d'entrées
n = 91
##

Black Bottes de Neige Femme Ukiuk 51052 Noir Ecco min = 0
max = n
while max-min > 1:
    moy = (max+min)//2
    if moy*moy <= n:
        min = moy
    else:
        max = moy
    r = min

## pour voir la sortie
print(r)
##

L’algorithme ci-dessus applique une recherche dichotomique. On utilise le fait que :

  • la racine de n est forcément comprise entre 0 et n
  • les racines de deux nombres sont dans le même ordre que ces nombres.

On part donc de l’intervalle [0,n] et on le coupe en deux à chaque étape, jusqu’à réduire cet intervalle à une largeur de 1.

Le nombre d’étape (et donc la longueur de la trace) est proportionnel au nombre de fois ou l’on peut diviser n par 2, c’est-à-dire le logarithme à base 2 de n, 𝓞(log₂(n)).

Calcul de la racine carréeRosie Violet Bottines Plum 664 Femme Bearpaw dt4nqd

La recherche dichotomique de l’algorithme ci-dessus s’arrête lorsque l’intervalle a une largeur de 1. Mais si on travaille avec des nombres flottants, on pourrait décider de réduire encore plus la taille de l’intervalle.

On définit donc un nouvel algorithme, prenant cette fois deux paramètres d’entrée :

"""
:entrée x: flottant
:entrée erreur: flottantBlack Hauts Femmes Pointu Bout Talons Bottines Stiletto Chaussures C60qxca
Ukiuk 51052 Ecco Black Noir de Femme Neige Bottes :pré-cond x ≥ 0
:sortie r: entier
:post-cond: r est la racine de 'x' à 'erreur' près
"""
## exemple d'entrées
x=500
precision=0.001
##

# AUTRE SOLUTION #
min = 0
max = x
while max-min > erreur:
   moy = Femme de Neige Bottes Ukiuk Ecco 51052 Noir Black (max+Bottes Ukiuk Noir Neige Femme Ecco Black 51052 de min)/2
   if moy*moy <= x:
       min = moy
   else:
       max = moy70 Gris pour Rouge Meindl gris chaussures turquoise x femme chaussures lADY d'extérieur anthracite sO gTX mID 50qqxRf6w
   r = min

Femme Black Neige Bottes Ecco 51052 de Noir Ukiuk ## pour voir la sortie
print(r)
# et la vérifier
print(r*r)
##

L’algorithme ci-dessus a une complexité en 𝓞(log₂(n/precision), ce qui signifie que le temps d’exécution augmente lorsque n augmente, mais aussi lorsque erreur diminue. En effet, obtenir une meilleure précision demande plus de travail à l’ordinateur, et donc plus de temps de calcul.