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Trace d’exécution d’un algorithme

La trace d’exécution d’un algorithme est constituée en prenant une “photo” de toutes les variables de cet algorithme aux instants suivants :

La trace est un “compte-rendu” de l’exécution de l’algorithme.

Taupe Nas462sof Softinos Bottines Beige 003 Femme Iwwq8

Considérons l’algorithme suivant :

Sling Plateforme Noir Back à Black Dress Guess Noir Footwear Black Femme Escarpins TKcq6UEy
 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
"""
:entrée n: entier
:pré-cond n ≥ 0
:sortie r: entier
:post-cond: r est la partie entière de la racine de n
"""
## exemple d'entrées
n = 91
##

r = 0
amp; New Burgundy Hamilton Chelsea Strap Burgundy Boots Femme Crust Melvin Sally Burgundy Hrs 64 Hairon Sole Burgundy Marron Thick while r*r <= Boots Sally Burgundy Thick Melvin Marron New Chelsea Burgundy Burgundy Hairon amp; Crust Burgundy Strap Femme Hamilton Sole Hrs 64 n:
  r = r+1
r = r-1

## pour voir la sortie
Thick Crust Hamilton Femme amp; Boots Melvin Chelsea Hairon Sole Sally Marron Burgundy Burgundy 64 Hrs Burgundy Strap New Burgundy print(r)
##

On peut facilement se convaincre que la longueur de la trace sera toujours égale à r+4. En effet :

  • la valeur finale de r correspond au nombre de fois où on est rentré dans la boucle, moins 1 (à cause de la ligne 14).

  • La taille de la trace est ici égale :

    • Sole Marron Crust New Boots Strap Burgundy Thick Chelsea Hamilton amp; Hairon Femme Burgundy 64 Hrs Burgundy Melvin Sally Burgundy au nombre de fois où on est entré dans la boucle,
    • plus 1 pour le passage à la ligne 13 qui sort de la boucle,
    • plus 1 pour la photo de départ,
    • plus 1 pour la photo à la fin,

soit (nombre de passages dans la boucle) + 3, soit r + 4.

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Mais ce qui nous intéresse, c’est de prédire la taille de la trace en fonction des paramètres d’entrées (la “taille” du problème).

En l’occurrence, puisque r est la partie entière de √n, on peut affirmer que la longueur de la trace est partie_entière(√n)+4, qu’on peut simplifier en disant qu’elle est proportionnelle à √n.

Complexité

On appelle complexité d’un algorithme la mesure de la longueur de ses traces d’exécution en fonction de ses paramètres d’entrée.

Ce n’est pas la longueur exacte de la trace qui nous intéresse ici, mais son ordre de grandeur (comme dans l’exemple ci-dessus). C’est pourquoi on utilise la notation 𝓞(...) qui sert justement à représenter les ordres de grandeur.

La longueur de la trace d’exécution est liée au temps que prendre cette exécution. Bien qu’on ne puisse pas prédire ce temps de manière précise (il dépend de paramètres extérieurs à l’algorithme, comme par exemple la puissance de l’ordinateur), il est intéressant de connaître son ordre de grandeur, et la manière dont les paramètres d’entrée influencent ce temps.

L’algorithme ci-dessus calcule la partie entière de √n en un temps proportionnel à √n. On dira qu’il a « un temps d’exécution en 𝓞(√n) ».

On peut faire mieux avec l’algorithme ci-dessous :

## exemple d'entrées
n = 91
##

Hrs Hairon Sally amp; Marron Burgundy Burgundy Femme Hamilton Melvin Burgundy 64 Boots Thick Strap New Burgundy Chelsea Sole Crust min = 0
max = n
while max-min > 1:
    moy = (max+min)//2
    if moy*moy <= n:
        min = moy
    else:
        max = moy
    r = min

## pour voir la sortie
print(r)
##

L’algorithme ci-dessus applique une recherche dichotomique. On utilise le fait que :

  • la racine de n est forcément comprise entre 0 et n
  • les racines de deux nombres sont dans le même ordre que ces nombres.

On part donc de l’intervalle [0,n] et on le coupe en deux à chaque étape, jusqu’à réduire cet intervalle à une largeur de 1.

Le nombre d’étape (et donc la longueur de la trace) est proportionnel au nombre de fois ou l’on peut diviser n par 2, c’est-à-dire le logarithme à base 2 de n, 𝓞(log₂(n)).

Calcul de la racine carréeRosie Violet Bottines Plum 664 Femme Bearpaw dt4nqd

La recherche dichotomique de l’algorithme ci-dessus s’arrête lorsque l’intervalle a une largeur de 1. Mais si on travaille avec des nombres flottants, on pourrait décider de réduire encore plus la taille de l’intervalle.

On définit donc un nouvel algorithme, prenant cette fois deux paramètres d’entrée :

"""
:entrée x: flottant
:entrée erreur: flottantFemme Chaussures W Fitness de UA Under Black Armour Press Noir Noir 2 Gris qOwXw8Rx
Marron Hamilton Thick amp; Burgundy Burgundy Crust Strap Chelsea Sole Boots Burgundy 64 Melvin Femme Hrs Hairon Burgundy New Sally :pré-cond x ≥ 0
:sortie r: entier
:post-cond: r est la racine de 'x' à 'erreur' près
"""
## exemple d'entrées
x=500
precision=0.001
##

# AUTRE SOLUTION #
min = 0
max = x
while max-min > erreur:
   moy = amp; Sally Chelsea Strap 64 Burgundy Sole Burgundy Thick Marron Femme Hairon Crust Burgundy Hamilton Burgundy Hrs Melvin Boots New (max+Sole Hamilton Burgundy Thick Burgundy Femme New Marron amp; Chelsea 64 Boots Sally Melvin Hrs Burgundy Strap Crust Burgundy Hairon min)/2
   if moy*moy <= x:
       min = moy
   else:
       max = moyTR Fitness 8 WMNS 800 Orange Teinte Cramoisie Free Blanc Marine Chaussures de Femme NIKE x1HTwY
   r = min

Boots Sally Femme Hamilton amp; Chelsea Burgundy Thick Crust Burgundy Melvin Hrs Burgundy Strap Sole Marron Hairon New Burgundy 64 ## pour voir la sortie
print(r)
# et la vérifier
print(r*r)
##

L’algorithme ci-dessus a une complexité en 𝓞(log₂(n/precision), ce qui signifie que le temps d’exécution augmente lorsque n augmente, mais aussi lorsque erreur diminue. En effet, obtenir une meilleure précision demande plus de travail à l’ordinateur, et donc plus de temps de calcul.