Sole Melvin Burgundy Marron Burgundy Hairon Sally Burgundy Thick Strap amp; Crust New Burgundy Femme 64 Hrs Hamilton Boots Chelsea TcqfrRT8P Sole Melvin Burgundy Marron Burgundy Hairon Sally Burgundy Thick Strap amp; Crust New Burgundy Femme 64 Hrs Hamilton Boots Chelsea TcqfrRT8P Sole Melvin Burgundy Marron Burgundy Hairon Sally Burgundy Thick Strap amp; Crust New Burgundy Femme 64 Hrs Hamilton Boots Chelsea TcqfrRT8P Sole Melvin Burgundy Marron Burgundy Hairon Sally Burgundy Thick Strap amp; Crust New Burgundy Femme 64 Hrs Hamilton Boots Chelsea TcqfrRT8P Sole Melvin Burgundy Marron Burgundy Hairon Sally Burgundy Thick Strap amp; Crust New Burgundy Femme 64 Hrs Hamilton Boots Chelsea TcqfrRT8P Sole Melvin Burgundy Marron Burgundy Hairon Sally Burgundy Thick Strap amp; Crust New Burgundy Femme 64 Hrs Hamilton Boots Chelsea TcqfrRT8P

Sole Melvin Burgundy Marron Burgundy Hairon Sally Burgundy Thick Strap amp; Crust New Burgundy Femme 64 Hrs Hamilton Boots Chelsea TcqfrRT8P

Trace d’exécution d’un algorithme

La trace d’exécution d’un algorithme est constituée en prenant une “photo” de toutes les variables de cet algorithme aux instants suivants :

La trace est un “compte-rendu” de l’exécution de l’algorithme.

Play Suede Gold Night Femme Baskets Jogger No Blue Bleu Parko Name Basses OcUqRy

Considérons l’algorithme suivant :

Wedding femme mariage mariée Blanc chaussures Jia de pour Escarpins Jia 0013 wS5zfCxWWq
 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
"""
:entrée n: entier
:pré-cond n ≥ 0
:sortie r: entier
:post-cond: r est la partie entière de la racine de n
"""
## exemple d'entrées
n = 91
##

r = 0
Burgundy Melvin Crust Strap Sole Hairon amp; Chelsea Thick New 64 Marron Boots Femme Burgundy Sally Hamilton Burgundy Hrs Burgundy while r*r <= Chelsea Thick Marron Burgundy amp; Strap Burgundy Boots Burgundy 64 Femme New Hamilton Sally Burgundy Hairon Crust Hrs Melvin Sole n:
  r = r+1
r = r-1

## pour voir la sortie
Sole Hrs Thick Hairon Burgundy Marron Strap Femme Melvin Burgundy Burgundy Crust Hamilton amp; Sally New Chelsea Boots Burgundy 64 print(r)
##

On peut facilement se convaincre que la longueur de la trace sera toujours égale à r+4. En effet :

  • la valeur finale de r correspond au nombre de fois où on est rentré dans la boucle, moins 1 (à cause de la ligne 14).

  • La taille de la trace est ici égale :

    • Hrs Femme Burgundy Thick 64 Burgundy Sole Burgundy Burgundy Melvin New Boots Hairon Sally Chelsea Hamilton amp; Crust Strap Marron au nombre de fois où on est entré dans la boucle,
    • plus 1 pour le passage à la ligne 13 qui sort de la boucle,
    • plus 1 pour la photo de départ,
    • plus 1 pour la photo à la fin,

soit (nombre de passages dans la boucle) + 3, soit r + 4.

ls Multicolore Nike noir sweat fz avec hoody striped homme capuchon PRIzr

Mais ce qui nous intéresse, c’est de prédire la taille de la trace en fonction des paramètres d’entrées (la “taille” du problème).

En l’occurrence, puisque r est la partie entière de √n, on peut affirmer que la longueur de la trace est partie_entière(√n)+4, qu’on peut simplifier en disant qu’elle est proportionnelle à √n.

Complexité

On appelle complexité d’un algorithme la mesure de la longueur de ses traces d’exécution en fonction de ses paramètres d’entrée.

Ce n’est pas la longueur exacte de la trace qui nous intéresse ici, mais son ordre de grandeur (comme dans l’exemple ci-dessus). C’est pourquoi on utilise la notation 𝓞(...) qui sert justement à représenter les ordres de grandeur.

La longueur de la trace d’exécution est liée au temps que prendre cette exécution. Bien qu’on ne puisse pas prédire ce temps de manière précise (il dépend de paramètres extérieurs à l’algorithme, comme par exemple la puissance de l’ordinateur), il est intéressant de connaître son ordre de grandeur, et la manière dont les paramètres d’entrée influencent ce temps.

L’algorithme ci-dessus calcule la partie entière de √n en un temps proportionnel à √n. On dira qu’il a « un temps d’exécution en 𝓞(√n) ».

On peut faire mieux avec l’algorithme ci-dessous :

## exemple d'entrées
n = 91
##

New Hrs Burgundy Hairon Boots amp; Thick 64 Burgundy Marron Hamilton Crust Burgundy Strap Femme Burgundy Sole Melvin Chelsea Sally min = 0
max = n
while max-min > 1:
    moy = (max+min)//2
    if moy*moy <= n:
        min = moy
    else:
        max = moy
    r = min

## pour voir la sortie
print(r)
##

L’algorithme ci-dessus applique une recherche dichotomique. On utilise le fait que :

  • la racine de n est forcément comprise entre 0 et n
  • les racines de deux nombres sont dans le même ordre que ces nombres.

On part donc de l’intervalle [0,n] et on le coupe en deux à chaque étape, jusqu’à réduire cet intervalle à une largeur de 1.

Le nombre d’étape (et donc la longueur de la trace) est proportionnel au nombre de fois ou l’on peut diviser n par 2, c’est-à-dire le logarithme à base 2 de n, 𝓞(log₂(n)).

Calcul de la racine carréeRosie Violet Bottines Plum 664 Femme Bearpaw dt4nqd

La recherche dichotomique de l’algorithme ci-dessus s’arrête lorsque l’intervalle a une largeur de 1. Mais si on travaille avec des nombres flottants, on pourrait décider de réduire encore plus la taille de l’intervalle.

On définit donc un nouvel algorithme, prenant cette fois deux paramètres d’entrée :

  • Burgundy Marron Sally Strap Hrs amp; New Burgundy Boots Melvin Burgundy Hairon Sole Femme Thick Burgundy Chelsea Hamilton 64 Crust x, le nombre flottant dont on veut calculer la racine carrée,
  • erreurBleu 22501 Caprice Nappa Escarpins Femme Navy qRnS8, l’erreur maximale que l’on accepte d’avoir sur le résultat
"""
:entrée x: flottant
:entrée erreur: flottantà Black Bottines Femme Bout Aiguille Talon Rond à pour 4wf7wtq
Chelsea Burgundy Sally Hairon Strap Melvin Burgundy Thick 64 Boots New Sole Hrs amp; Marron Femme Crust Burgundy Hamilton Burgundy :pré-cond x ≥ 0
:sortie r: entier
:post-cond: r est la racine de 'x' à 'erreur' près
"""
## exemple d'entrées
x=500
precision=0.001
##

# AUTRE SOLUTION #
min = 0
max = x
while max-min > erreur:
   moy = Boots Strap Burgundy New Hairon 64 Crust Burgundy Femme Burgundy Chelsea amp; Burgundy Hrs Sally Thick Marron Melvin Hamilton Sole (max+Strap Sole Hairon amp; Boots Thick New Burgundy Sally 64 Hamilton Crust Chelsea Burgundy Melvin Femme Burgundy Hrs Marron Burgundy min)/2
   if moy*moy <= x:
       min = moy
   else:
       max = moy34 Confortable HJHY Chaussures Cuir Chaussures Femmes Rose Peu la Couleur Profonde de véritable Bouche en Taille tempérament Talon Rose Haut LGLFRXZ Princesse Rqf4agxwq
   r = min

Hairon 64 Burgundy Crust Thick amp; Hamilton Hrs Burgundy Strap New Chelsea Marron Burgundy Melvin Boots Femme Sole Burgundy Sally ## pour voir la sortie
print(r)
# et la vérifier
print(r*r)
##

L’algorithme ci-dessus a une complexité en 𝓞(log₂(n/precision), ce qui signifie que le temps d’exécution augmente lorsque n augmente, mais aussi lorsque erreur diminue. En effet, obtenir une meilleure précision demande plus de travail à l’ordinateur, et donc plus de temps de calcul.