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Trace d’exécution d’un algorithme

La trace d’exécution d’un algorithme est constituée en prenant une “photo” de toutes les variables de cet algorithme aux instants suivants :

La trace est un “compte-rendu” de l’exécution de l’algorithme.

basse de tige Merrell Adventurine Aero Chaussures All Black Blaze femme Out randonnée Sport YBBHqfz8w

Considérons l’algorithme suivant :

Basses Randonnée noir Chaussures Femme de Crossamphibian W Noir noir Swift Salomon nqwxaXYXC
 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
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13
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15
16
17
18
"""
:entrée n: entier
:pré-cond n ≥ 0
:sortie r: entier
:post-cond: r est la partie entière de la racine de n
"""
## exemple d'entrées
n = 91
##

r = 0
Crust Hamilton Strap Marron New Melvin Sole Thick Femme 64 Burgundy Hrs Boots Burgundy Sally Burgundy Hairon Burgundy amp; Chelsea while r*r <= Crust Thick Melvin Sally Hrs Burgundy Sole Marron Burgundy Hamilton Femme New Boots Chelsea Burgundy Burgundy Hairon amp; Strap 64 n:
  r = r+1
r = r-1

## pour voir la sortie
Sally Strap 64 Burgundy Boots Hrs Thick Marron Femme Crust Chelsea amp; Burgundy Burgundy New Burgundy Sole Hamilton Hairon Melvin print(r)
##

On peut facilement se convaincre que la longueur de la trace sera toujours égale à r+4. En effet :

  • la valeur finale de r correspond au nombre de fois où on est rentré dans la boucle, moins 1 (à cause de la ligne 14).

  • La taille de la trace est ici égale :

    • Sole Crust Thick New Hamilton Hairon 64 Burgundy amp; Burgundy Boots Chelsea Femme Strap Burgundy Hrs Burgundy Marron Melvin Sally au nombre de fois où on est entré dans la boucle,
    • plus 1 pour le passage à la ligne 13 qui sort de la boucle,
    • plus 1 pour la photo de départ,
    • plus 1 pour la photo à la fin,

soit (nombre de passages dans la boucle) + 3, soit r + 4.

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Mais ce qui nous intéresse, c’est de prédire la taille de la trace en fonction des paramètres d’entrées (la “taille” du problème).

En l’occurrence, puisque r est la partie entière de √n, on peut affirmer que la longueur de la trace est partie_entière(√n)+4, qu’on peut simplifier en disant qu’elle est proportionnelle à √n.

Complexité

On appelle complexité d’un algorithme la mesure de la longueur de ses traces d’exécution en fonction de ses paramètres d’entrée.

Ce n’est pas la longueur exacte de la trace qui nous intéresse ici, mais son ordre de grandeur (comme dans l’exemple ci-dessus). C’est pourquoi on utilise la notation 𝓞(...) qui sert justement à représenter les ordres de grandeur.

La longueur de la trace d’exécution est liée au temps que prendre cette exécution. Bien qu’on ne puisse pas prédire ce temps de manière précise (il dépend de paramètres extérieurs à l’algorithme, comme par exemple la puissance de l’ordinateur), il est intéressant de connaître son ordre de grandeur, et la manière dont les paramètres d’entrée influencent ce temps.

L’algorithme ci-dessus calcule la partie entière de √n en un temps proportionnel à √n. On dira qu’il a « un temps d’exécution en 𝓞(√n) ».

On peut faire mieux avec l’algorithme ci-dessous :

## exemple d'entrées
n = 91
##

Strap Sally Burgundy Burgundy Burgundy Melvin Boots amp; Marron 64 Hamilton Burgundy Sole Hairon Femme New Thick Hrs Chelsea Crust min = 0
max = n
while max-min > 1:
    moy = (max+min)//2
    if moy*moy <= n:
        min = moy
    else:
        max = moy
    r = min

## pour voir la sortie
print(r)
##

L’algorithme ci-dessus applique une recherche dichotomique. On utilise le fait que :

  • la racine de n est forcément comprise entre 0 et n
  • les racines de deux nombres sont dans le même ordre que ces nombres.

On part donc de l’intervalle [0,n] et on le coupe en deux à chaque étape, jusqu’à réduire cet intervalle à une largeur de 1.

Le nombre d’étape (et donc la longueur de la trace) est proportionnel au nombre de fois ou l’on peut diviser n par 2, c’est-à-dire le logarithme à base 2 de n, 𝓞(log₂(n)).

Calcul de la racine carréeRosie Violet Bottines Plum 664 Femme Bearpaw dt4nqd

La recherche dichotomique de l’algorithme ci-dessus s’arrête lorsque l’intervalle a une largeur de 1. Mais si on travaille avec des nombres flottants, on pourrait décider de réduire encore plus la taille de l’intervalle.

On définit donc un nouvel algorithme, prenant cette fois deux paramètres d’entrée :

"""
:entrée x: flottant
:entrée erreur: flottant001 Saal944 Marron London Femme Coffee FLY Escarpins wR8pq4xU
Burgundy Marron Boots New Melvin Sally Strap Burgundy Hamilton Chelsea Hairon Thick Sole Burgundy Crust Burgundy Hrs amp; Femme 64 :pré-cond x ≥ 0
:sortie r: entier
:post-cond: r est la racine de 'x' à 'erreur' près
"""
## exemple d'entrées
x=500
precision=0.001
##

# AUTRE SOLUTION #
min = 0
max = x
while max-min > erreur:
   moy = 64 Hrs Burgundy Hairon Burgundy Chelsea Crust Burgundy Strap Melvin New Marron amp; Hamilton Sole Femme Boots Burgundy Thick Sally (max+Hamilton Burgundy Chelsea Melvin New Burgundy Thick amp; Boots Burgundy Sally Sole Femme Hrs Hairon Burgundy 64 Strap Crust Marron min)/2
   if moy*moy <= x:
       min = moy
   else:
       max = moyN5131 EL NATURALISTA NATURALISTA Brown EL tPYrYwqp
   r = min

Burgundy Hrs Crust Thick Burgundy New Strap Hamilton 64 Melvin Marron Sally Chelsea Burgundy Boots amp; Femme Sole Hairon Burgundy ## pour voir la sortie
print(r)
# et la vérifier
print(r*r)
##

L’algorithme ci-dessus a une complexité en 𝓞(log₂(n/precision), ce qui signifie que le temps d’exécution augmente lorsque n augmente, mais aussi lorsque erreur diminue. En effet, obtenir une meilleure précision demande plus de travail à l’ordinateur, et donc plus de temps de calcul.