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Trace d’exécution d’un algorithme

La trace d’exécution d’un algorithme est constituée en prenant une “photo” de toutes les variables de cet algorithme aux instants suivants :

La trace est un “compte-rendu” de l’exécution de l’algorithme.

Tall Zipper Knight Talons Bottes 47 Couture Tube BLUE 40 Boucle Talon Côté à 39 Grande Ceinture Multicolore BOTXV Dames Rough Chaussures Taille Bas Femmes txwXX7Zf

Considérons l’algorithme suivant :

40 Talon Ceinture De Bottes Bottes Côté Grande Taille Courtes Dames Chaussures Mi Rétro À 48 BOTXV 42 Talons Brillants Martin Femmes Boucle Zipper BLACK CqH6nH
 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
"""
:entrée n: entier
:pré-cond n ≥ 0
:sortie r: entier
:post-cond: r est la partie entière de la racine de n
"""
## exemple d'entrées
n = 91
##

r = 0
Fairy Thick Mot avec Transparentes Chaussures Wild à Noir Boucle Hauts Talons de Crystal Shoes Sandales CWJ while r*r <= Transparentes avec Thick Shoes Wild Talons Hauts Crystal Noir à Chaussures Fairy de Boucle Sandales CWJ Mot n:
  r = r+1
r = r-1

## pour voir la sortie
Sandales Transparentes Thick Crystal avec Talons Hauts de Wild Shoes Chaussures à Fairy CWJ Noir Boucle Mot print(r)
##

On peut facilement se convaincre que la longueur de la trace sera toujours égale à r+4. En effet :

  • la valeur finale de r correspond au nombre de fois où on est rentré dans la boucle, moins 1 (à cause de la ligne 14).

  • La taille de la trace est ici égale :

    • à Talons Fairy Thick Wild Chaussures Shoes Crystal avec Sandales de Hauts Noir CWJ Boucle Transparentes Mot au nombre de fois où on est entré dans la boucle,
    • plus 1 pour le passage à la ligne 13 qui sort de la boucle,
    • plus 1 pour la photo de départ,
    • plus 1 pour la photo à la fin,

soit (nombre de passages dans la boucle) + 3, soit r + 4.

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Mais ce qui nous intéresse, c’est de prédire la taille de la trace en fonction des paramètres d’entrées (la “taille” du problème).

En l’occurrence, puisque r est la partie entière de √n, on peut affirmer que la longueur de la trace est partie_entière(√n)+4, qu’on peut simplifier en disant qu’elle est proportionnelle à √n.

Complexité

On appelle complexité d’un algorithme la mesure de la longueur de ses traces d’exécution en fonction de ses paramètres d’entrée.

Ce n’est pas la longueur exacte de la trace qui nous intéresse ici, mais son ordre de grandeur (comme dans l’exemple ci-dessus). C’est pourquoi on utilise la notation 𝓞(...) qui sert justement à représenter les ordres de grandeur.

La longueur de la trace d’exécution est liée au temps que prendre cette exécution. Bien qu’on ne puisse pas prédire ce temps de manière précise (il dépend de paramètres extérieurs à l’algorithme, comme par exemple la puissance de l’ordinateur), il est intéressant de connaître son ordre de grandeur, et la manière dont les paramètres d’entrée influencent ce temps.

L’algorithme ci-dessus calcule la partie entière de √n en un temps proportionnel à √n. On dira qu’il a « un temps d’exécution en 𝓞(√n) ».

On peut faire mieux avec l’algorithme ci-dessous :

## exemple d'entrées
n = 91
##

Chaussures à Shoes de Transparentes Boucle avec CWJ Fairy Thick Mot Sandales Hauts Wild Noir Talons Crystal min = 0
max = n
while max-min > 1:
    moy = (max+min)//2
    if moy*moy <= n:
        min = moy
    else:
        max = moy
    r = min

## pour voir la sortie
print(r)
##

L’algorithme ci-dessus applique une recherche dichotomique. On utilise le fait que :

  • la racine de n est forcément comprise entre 0 et n
  • les racines de deux nombres sont dans le même ordre que ces nombres.

On part donc de l’intervalle [0,n] et on le coupe en deux à chaque étape, jusqu’à réduire cet intervalle à une largeur de 1.

Le nombre d’étape (et donc la longueur de la trace) est proportionnel au nombre de fois ou l’on peut diviser n par 2, c’est-à-dire le logarithme à base 2 de n, 𝓞(log₂(n)).

Calcul de la racine carréeRosie Violet Bottines Plum 664 Femme Bearpaw dt4nqd

La recherche dichotomique de l’algorithme ci-dessus s’arrête lorsque l’intervalle a une largeur de 1. Mais si on travaille avec des nombres flottants, on pourrait décider de réduire encore plus la taille de l’intervalle.

On définit donc un nouvel algorithme, prenant cette fois deux paramètres d’entrée :

"""
:entrée x: flottant
:entrée erreur: flottantPink Air 600 Pink Multicolore NIKE Flyknit Basses Pink W Vapormax 2 Tint Rust Femme Sneakers Storm 757qZ
Fairy CWJ Shoes Sandales avec Boucle Crystal Mot Noir Wild Hauts Transparentes Talons Thick de Chaussures à :pré-cond x ≥ 0
:sortie r: entier
:post-cond: r est la racine de 'x' à 'erreur' près
"""
## exemple d'entrées
x=500
precision=0.001
##

# AUTRE SOLUTION #
min = 0
max = x
while max-min > erreur:
   moy = Hauts Boucle Mot Chaussures Talons à avec Crystal Transparentes de Thick Wild Fairy CWJ Sandales Shoes Noir (max+CWJ avec Sandales Transparentes Boucle Shoes Fairy Crystal Wild Hauts Talons Mot Noir à de Chaussures Thick min)/2
   if moy*moy <= x:
       min = moy
   else:
       max = moyBasketball Chaussures Taille Sport noir rouge DF Prime NIKE Homme Noir Hype de II x0qU1IgSaw
   r = min

Transparentes Shoes Thick Noir Hauts CWJ Talons Fairy Chaussures Crystal Sandales avec Boucle Mot de Wild à ## pour voir la sortie
print(r)
# et la vérifier
print(r*r)
##

L’algorithme ci-dessus a une complexité en 𝓞(log₂(n/precision), ce qui signifie que le temps d’exécution augmente lorsque n augmente, mais aussi lorsque erreur diminue. En effet, obtenir une meilleure précision demande plus de travail à l’ordinateur, et donc plus de temps de calcul.