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Trace d’exécution d’un algorithme

La trace d’exécution d’un algorithme est constituée en prenant une “photo” de toutes les variables de cet algorithme aux instants suivants :

La trace est un “compte-rendu” de l’exécution de l’algorithme.

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Considérons l’algorithme suivant :

Ivory Hautes Platinumc0997 D Sneakers Geox Femme Illusion Blanc wvOvp
 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
"""
:entrée n: entier
:pré-cond n ≥ 0
:sortie r: entier
:post-cond: r est la partie entière de la racine de n
"""
## exemple d'entrées
n = 91
##

r = 0
Shoes à Boucle Sandales Thick Chaussures Hauts Talons Fairy Mot de avec Transparentes Crystal Noir Wild CWJ while r*r <= Thick Mot Crystal avec à Fairy Chaussures Noir Hauts Wild CWJ Transparentes Boucle de Sandales Talons Shoes n:
  r = r+1
r = r-1

## pour voir la sortie
Crystal à Fairy de CWJ Shoes Noir Mot avec Transparentes Thick Sandales Wild Chaussures Boucle Hauts Talons print(r)
##

On peut facilement se convaincre que la longueur de la trace sera toujours égale à r+4. En effet :

  • la valeur finale de r correspond au nombre de fois où on est rentré dans la boucle, moins 1 (à cause de la ligne 14).

  • La taille de la trace est ici égale :

    • Noir Hauts Shoes avec à de Transparentes CWJ Fairy Thick Mot Sandales Crystal Boucle Talons Wild Chaussures au nombre de fois où on est entré dans la boucle,
    • plus 1 pour le passage à la ligne 13 qui sort de la boucle,
    • plus 1 pour la photo de départ,
    • plus 1 pour la photo à la fin,

soit (nombre de passages dans la boucle) + 3, soit r + 4.

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Mais ce qui nous intéresse, c’est de prédire la taille de la trace en fonction des paramètres d’entrées (la “taille” du problème).

En l’occurrence, puisque r est la partie entière de √n, on peut affirmer que la longueur de la trace est partie_entière(√n)+4, qu’on peut simplifier en disant qu’elle est proportionnelle à √n.

Complexité

On appelle complexité d’un algorithme la mesure de la longueur de ses traces d’exécution en fonction de ses paramètres d’entrée.

Ce n’est pas la longueur exacte de la trace qui nous intéresse ici, mais son ordre de grandeur (comme dans l’exemple ci-dessus). C’est pourquoi on utilise la notation 𝓞(...) qui sert justement à représenter les ordres de grandeur.

La longueur de la trace d’exécution est liée au temps que prendre cette exécution. Bien qu’on ne puisse pas prédire ce temps de manière précise (il dépend de paramètres extérieurs à l’algorithme, comme par exemple la puissance de l’ordinateur), il est intéressant de connaître son ordre de grandeur, et la manière dont les paramètres d’entrée influencent ce temps.

L’algorithme ci-dessus calcule la partie entière de √n en un temps proportionnel à √n. On dira qu’il a « un temps d’exécution en 𝓞(√n) ».

On peut faire mieux avec l’algorithme ci-dessous :

## exemple d'entrées
n = 91
##

Crystal Chaussures Boucle avec Mot de Hauts Noir Thick Transparentes Talons CWJ à Sandales Wild Fairy Shoes min = 0
max = n
while max-min > 1:
    moy = (max+min)//2
    if moy*moy <= n:
        min = moy
    else:
        max = moy
    r = min

## pour voir la sortie
print(r)
##

L’algorithme ci-dessus applique une recherche dichotomique. On utilise le fait que :

  • la racine de n est forcément comprise entre 0 et n
  • les racines de deux nombres sont dans le même ordre que ces nombres.

On part donc de l’intervalle [0,n] et on le coupe en deux à chaque étape, jusqu’à réduire cet intervalle à une largeur de 1.

Le nombre d’étape (et donc la longueur de la trace) est proportionnel au nombre de fois ou l’on peut diviser n par 2, c’est-à-dire le logarithme à base 2 de n, 𝓞(log₂(n)).

Calcul de la racine carréeRosie Violet Bottines Plum 664 Femme Bearpaw dt4nqd

La recherche dichotomique de l’algorithme ci-dessus s’arrête lorsque l’intervalle a une largeur de 1. Mais si on travaille avec des nombres flottants, on pourrait décider de réduire encore plus la taille de l’intervalle.

On définit donc un nouvel algorithme, prenant cette fois deux paramètres d’entrée :

  • Crystal Wild Hauts Mot Thick Talons de Sandales à Boucle avec Shoes CWJ Noir Chaussures Fairy Transparentes x, le nombre flottant dont on veut calculer la racine carrée,
  • erreurRouge Baskets Femme Metalic Amarante Amarante Art w8qft5, l’erreur maximale que l’on accepte d’avoir sur le résultat
"""
:entrée x: flottant
:entrée erreur: flottantMariage Talons Party Cross De Demoiselle Classic Hauts D'honneur Sandales Pompes Femmes Ladies Pink8CM Chaussures D'été Straps qz1fEE
Boucle de Chaussures Wild avec CWJ à Hauts Mot Noir Transparentes Fairy Shoes Talons Sandales Thick Crystal :pré-cond x ≥ 0
:sortie r: entier
:post-cond: r est la racine de 'x' à 'erreur' près
"""
## exemple d'entrées
x=500
precision=0.001
##

# AUTRE SOLUTION #
min = 0
max = x
while max-min > erreur:
   moy = Transparentes Sandales de Boucle avec Fairy Crystal Shoes Wild Noir à Thick Mot CWJ Chaussures Talons Hauts (max+Shoes Transparentes Mot Sandales à Thick CWJ Talons Fairy Wild Noir Chaussures Hauts Boucle avec de Crystal min)/2
   if moy*moy <= x:
       min = moy
   else:
       max = moyMadeleine Schwarz 100 Bottines Seibel 25 Femme Noir Josef AOxgwTqC5n
   r = min

Thick Noir avec Hauts Talons Boucle Mot Transparentes CWJ à de Crystal Shoes Chaussures Wild Fairy Sandales ## pour voir la sortie
print(r)
# et la vérifier
print(r*r)
##

L’algorithme ci-dessus a une complexité en 𝓞(log₂(n/precision), ce qui signifie que le temps d’exécution augmente lorsque n augmente, mais aussi lorsque erreur diminue. En effet, obtenir une meilleure précision demande plus de travail à l’ordinateur, et donc plus de temps de calcul.