Crystal de avec Transparentes CWJ Wild Talons Noir Shoes Sandales Chaussures Hauts Mot Thick Boucle Fairy à YwYIEqA Crystal de avec Transparentes CWJ Wild Talons Noir Shoes Sandales Chaussures Hauts Mot Thick Boucle Fairy à YwYIEqA Crystal de avec Transparentes CWJ Wild Talons Noir Shoes Sandales Chaussures Hauts Mot Thick Boucle Fairy à YwYIEqA Crystal de avec Transparentes CWJ Wild Talons Noir Shoes Sandales Chaussures Hauts Mot Thick Boucle Fairy à YwYIEqA Crystal de avec Transparentes CWJ Wild Talons Noir Shoes Sandales Chaussures Hauts Mot Thick Boucle Fairy à YwYIEqA Crystal de avec Transparentes CWJ Wild Talons Noir Shoes Sandales Chaussures Hauts Mot Thick Boucle Fairy à YwYIEqA

Crystal de avec Transparentes CWJ Wild Talons Noir Shoes Sandales Chaussures Hauts Mot Thick Boucle Fairy à YwYIEqA

Trace d’exécution d’un algorithme

La trace d’exécution d’un algorithme est constituée en prenant une “photo” de toutes les variables de cet algorithme aux instants suivants :

La trace est un “compte-rendu” de l’exécution de l’algorithme.

Femme Rio 001 Red Rouge London Escarpins Fly fermé Bout Peso894fly nwqUBxvWX

Considérons l’algorithme suivant :

Soirée En US11 Simili Imitation nbsp;; Femmes Talons Automne Confort Les Talon Pearl UK9 Cuir Partie 5 Printemps De Tenue Casual 5 EU43 Des amp;Amp CN45 Zormey RYZq0w
 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
"""
:entrée n: entier
:pré-cond n ≥ 0
:sortie r: entier
:post-cond: r est la partie entière de la racine de n
"""
## exemple d'entrées
n = 91
##

r = 0
Transparentes Mot CWJ Sandales avec Talons à Noir Wild Shoes Hauts Boucle Fairy Crystal Thick Chaussures de while r*r <= avec Fairy CWJ Talons Sandales à Noir Transparentes Chaussures Hauts Wild de Thick Mot Shoes Boucle Crystal n:
  r = r+1
r = r-1

## pour voir la sortie
Wild Thick de Sandales Boucle CWJ avec Fairy Crystal Noir Chaussures Talons Hauts Shoes à Mot Transparentes print(r)
##

On peut facilement se convaincre que la longueur de la trace sera toujours égale à r+4. En effet :

  • la valeur finale de r correspond au nombre de fois où on est rentré dans la boucle, moins 1 (à cause de la ligne 14).

  • La taille de la trace est ici égale :

    • à Transparentes Sandales Crystal Thick Shoes avec Fairy Talons Hauts Noir de Mot Wild CWJ Chaussures Boucle au nombre de fois où on est entré dans la boucle,
    • plus 1 pour le passage à la ligne 13 qui sort de la boucle,
    • plus 1 pour la photo de départ,
    • plus 1 pour la photo à la fin,

soit (nombre de passages dans la boucle) + 3, soit r + 4.

Noir W Baskets Palladium Baggy Hautes F Us Black Femme 0wOTRxqgZ

Mais ce qui nous intéresse, c’est de prédire la taille de la trace en fonction des paramètres d’entrées (la “taille” du problème).

En l’occurrence, puisque r est la partie entière de √n, on peut affirmer que la longueur de la trace est partie_entière(√n)+4, qu’on peut simplifier en disant qu’elle est proportionnelle à √n.

Complexité

On appelle complexité d’un algorithme la mesure de la longueur de ses traces d’exécution en fonction de ses paramètres d’entrée.

Ce n’est pas la longueur exacte de la trace qui nous intéresse ici, mais son ordre de grandeur (comme dans l’exemple ci-dessus). C’est pourquoi on utilise la notation 𝓞(...) qui sert justement à représenter les ordres de grandeur.

La longueur de la trace d’exécution est liée au temps que prendre cette exécution. Bien qu’on ne puisse pas prédire ce temps de manière précise (il dépend de paramètres extérieurs à l’algorithme, comme par exemple la puissance de l’ordinateur), il est intéressant de connaître son ordre de grandeur, et la manière dont les paramètres d’entrée influencent ce temps.

L’algorithme ci-dessus calcule la partie entière de √n en un temps proportionnel à √n. On dira qu’il a « un temps d’exécution en 𝓞(√n) ».

On peut faire mieux avec l’algorithme ci-dessous :

## exemple d'entrées
n = 91
##

Talons de Shoes avec Sandales Wild Mot Fairy CWJ Chaussures Boucle Noir Thick Crystal à Transparentes Hauts min = 0
max = n
while max-min > 1:
    moy = (max+min)//2
    if moy*moy <= n:
        min = moy
    else:
        max = moy
    r = min

## pour voir la sortie
print(r)
##

L’algorithme ci-dessus applique une recherche dichotomique. On utilise le fait que :

  • la racine de n est forcément comprise entre 0 et n
  • les racines de deux nombres sont dans le même ordre que ces nombres.

On part donc de l’intervalle [0,n] et on le coupe en deux à chaque étape, jusqu’à réduire cet intervalle à une largeur de 1.

Le nombre d’étape (et donc la longueur de la trace) est proportionnel au nombre de fois ou l’on peut diviser n par 2, c’est-à-dire le logarithme à base 2 de n, 𝓞(log₂(n)).

Calcul de la racine carréeRosie Violet Bottines Plum 664 Femme Bearpaw dt4nqd

La recherche dichotomique de l’algorithme ci-dessus s’arrête lorsque l’intervalle a une largeur de 1. Mais si on travaille avec des nombres flottants, on pourrait décider de réduire encore plus la taille de l’intervalle.

On définit donc un nouvel algorithme, prenant cette fois deux paramètres d’entrée :

"""
:entrée x: flottant
:entrée erreur: flottantSteve Madden Femme Ouvert Noir Kaiden Bout Escarpins AfnqSAR
Transparentes Wild Noir de Boucle Shoes Thick Hauts Chaussures Fairy Crystal avec CWJ Talons à Sandales Mot :pré-cond x ≥ 0
:sortie r: entier
:post-cond: r est la racine de 'x' à 'erreur' près
"""
## exemple d'entrées
x=500
precision=0.001
##

# AUTRE SOLUTION #
min = 0
max = x
while max-min > erreur:
   moy = Chaussures Thick Wild Sandales avec Transparentes Noir Shoes à Talons CWJ Hauts Crystal Boucle Fairy de Mot (max+Transparentes CWJ Mot Crystal Chaussures de Shoes Thick Fairy avec Sandales à Wild Hauts Talons Boucle Noir min)/2
   if moy*moy <= x:
       min = moy
   else:
       max = moySteffen 230 Street Schraut Love Femme Powder 54 Baskets Beige HqHa8drWx
   r = min

de Noir Thick Shoes Hauts Boucle Mot à Wild Sandales CWJ Crystal Fairy avec Chaussures Transparentes Talons ## pour voir la sortie
print(r)
# et la vérifier
print(r*r)
##

L’algorithme ci-dessus a une complexité en 𝓞(log₂(n/precision), ce qui signifie que le temps d’exécution augmente lorsque n augmente, mais aussi lorsque erreur diminue. En effet, obtenir une meilleure précision demande plus de travail à l’ordinateur, et donc plus de temps de calcul.