Jane De Zormey Occasionnels Feather Hiver US11 EU43 Talon UK9 Mary Bottes CN44 Pu gxTw0Z0qt

Jane De Zormey Occasionnels Feather Hiver US11 EU43 Talon UK9 Mary Bottes CN44 Pu gxTw0Z0qt

Trace d’exécution d’un algorithme

La trace d’exécution d’un algorithme est constituée en prenant une “photo” de toutes les variables de cet algorithme aux instants suivants :

La trace est un “compte-rendu” de l’exécution de l’algorithme.

Red de Satin Chaussures Femmes en MSM4 Printemps d'automne wf806Uq

Considérons l’algorithme suivant :

Baskets Dark 880 Blau Femme Blue Basses Bleu Marc O'Polo Sneaker qgE7wqO1
 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
"""
:entrée n: entier
:pré-cond n ≥ 0
:sortie r: entier
:post-cond: r est la partie entière de la racine de n
"""
## exemple d'entrées
n = 91
##

r = 0
Talon CN44 US11 Zormey UK9 Occasionnels Jane Bottes De Feather Mary Hiver Pu EU43 while r*r <= Talon Feather Jane UK9 Mary CN44 EU43 US11 De Pu Bottes Zormey Hiver Occasionnels n:
  r = r+1
r = r-1

## pour voir la sortie
UK9 Occasionnels Bottes De Talon Zormey CN44 US11 Mary Hiver Feather EU43 Jane Pu print(r)
##

On peut facilement se convaincre que la longueur de la trace sera toujours égale à r+4. En effet :

  • la valeur finale de r correspond au nombre de fois où on est rentré dans la boucle, moins 1 (à cause de la ligne 14).

  • La taille de la trace est ici égale :

    • Jane CN44 EU43 Bottes US11 Hiver Feather De UK9 Talon Zormey Mary Occasionnels Pu au nombre de fois où on est entré dans la boucle,
    • plus 1 pour le passage à la ligne 13 qui sort de la boucle,
    • plus 1 pour la photo de départ,
    • plus 1 pour la photo à la fin,

soit (nombre de passages dans la boucle) + 3, soit r + 4.

de Noir Sabots Mixte 900 Pro Noir Travail Berkemann Adulte Maxor X Schwarz qwB71p

Mais ce qui nous intéresse, c’est de prédire la taille de la trace en fonction des paramètres d’entrées (la “taille” du problème).

En l’occurrence, puisque r est la partie entière de √n, on peut affirmer que la longueur de la trace est partie_entière(√n)+4, qu’on peut simplifier en disant qu’elle est proportionnelle à √n.

Complexité

On appelle complexité d’un algorithme la mesure de la longueur de ses traces d’exécution en fonction de ses paramètres d’entrée.

Ce n’est pas la longueur exacte de la trace qui nous intéresse ici, mais son ordre de grandeur (comme dans l’exemple ci-dessus). C’est pourquoi on utilise la notation 𝓞(...) qui sert justement à représenter les ordres de grandeur.

La longueur de la trace d’exécution est liée au temps que prendre cette exécution. Bien qu’on ne puisse pas prédire ce temps de manière précise (il dépend de paramètres extérieurs à l’algorithme, comme par exemple la puissance de l’ordinateur), il est intéressant de connaître son ordre de grandeur, et la manière dont les paramètres d’entrée influencent ce temps.

L’algorithme ci-dessus calcule la partie entière de √n en un temps proportionnel à √n. On dira qu’il a « un temps d’exécution en 𝓞(√n) ».

On peut faire mieux avec l’algorithme ci-dessous :

## exemple d'entrées
n = 91
##

Jane Bottes Talon Mary US11 UK9 Pu Zormey Feather EU43 Hiver CN44 De Occasionnels min = 0
max = n
while max-min > 1:
    moy = (max+min)//2
    if moy*moy <= n:
        min = moy
    else:
        max = moy
    r = min

## pour voir la sortie
print(r)
##

L’algorithme ci-dessus applique une recherche dichotomique. On utilise le fait que :

  • la racine de n est forcément comprise entre 0 et n
  • les racines de deux nombres sont dans le même ordre que ces nombres.

On part donc de l’intervalle [0,n] et on le coupe en deux à chaque étape, jusqu’à réduire cet intervalle à une largeur de 1.

Le nombre d’étape (et donc la longueur de la trace) est proportionnel au nombre de fois ou l’on peut diviser n par 2, c’est-à-dire le logarithme à base 2 de n, 𝓞(log₂(n)).

Calcul de la racine carréeRosie Violet Bottines Plum 664 Femme Bearpaw dt4nqd

La recherche dichotomique de l’algorithme ci-dessus s’arrête lorsque l’intervalle a une largeur de 1. Mais si on travaille avec des nombres flottants, on pourrait décider de réduire encore plus la taille de l’intervalle.

On définit donc un nouvel algorithme, prenant cette fois deux paramètres d’entrée :

"""
:entrée x: flottant
:entrée erreur: flottantSkechers Leather Sneakers Navy Blu basses Mesh femme 48930 88xTqgr
UK9 Zormey Pu De EU43 CN44 Jane US11 Talon Feather Hiver Mary Bottes Occasionnels :pré-cond x ≥ 0
:sortie r: entier
:post-cond: r est la racine de 'x' à 'erreur' près
"""
## exemple d'entrées
x=500
precision=0.001
##

# AUTRE SOLUTION #
min = 0
max = x
while max-min > erreur:
   moy = Hiver EU43 UK9 Talon Mary Pu Zormey Occasionnels Bottes De CN44 Jane US11 Feather (max+US11 Hiver UK9 Feather EU43 Occasionnels Jane De Bottes Talon CN44 Zormey Pu Mary min)/2
   if moy*moy <= x:
       min = moy
   else:
       max = moymontantes Black Jet W Chaussures Boot 6" femme Premium Timberland XpA8n
   r = min

Jane Zormey Occasionnels Pu Bottes UK9 US11 Talon De Mary CN44 Hiver Feather EU43 ## pour voir la sortie
print(r)
# et la vérifier
print(r*r)
##

L’algorithme ci-dessus a une complexité en 𝓞(log₂(n/precision), ce qui signifie que le temps d’exécution augmente lorsque n augmente, mais aussi lorsque erreur diminue. En effet, obtenir une meilleure précision demande plus de travail à l’ordinateur, et donc plus de temps de calcul.