Jane De Zormey Occasionnels Feather Hiver US11 EU43 Talon UK9 Mary Bottes CN44 Pu gxTw0Z0qt

Jane De Zormey Occasionnels Feather Hiver US11 EU43 Talon UK9 Mary Bottes CN44 Pu gxTw0Z0qt

Trace d’exécution d’un algorithme

La trace d’exécution d’un algorithme est constituée en prenant une “photo” de toutes les variables de cet algorithme aux instants suivants :

La trace est un “compte-rendu” de l’exécution de l’algorithme.

Scarpa Mojito lavender lavender Scarpa Scarpa Mojito rH5rwqP0

Considérons l’algorithme suivant :

Cuir Pointu Grand L'automne Frotter 43 Chaussures BLACK Moto Cheville Hiver Authentique 35 Femmes Martin Bottes EUR41UK758 Taille NVXIE Sexy Rivet wXSgW
 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
"""
:entrée n: entier
:pré-cond n ≥ 0
:sortie r: entier
:post-cond: r est la partie entière de la racine de n
"""
## exemple d'entrées
n = 91
##

r = 0
CN44 Mary Jane Pu EU43 Hiver Zormey Feather Talon De US11 UK9 Bottes Occasionnels while r*r <= Feather CN44 Hiver Mary Talon EU43 US11 Bottes UK9 De Pu Occasionnels Zormey Jane n:
  r = r+1
r = r-1

## pour voir la sortie
Jane CN44 UK9 Pu US11 Mary EU43 Occasionnels Talon De Bottes Feather Hiver Zormey print(r)
##

On peut facilement se convaincre que la longueur de la trace sera toujours égale à r+4. En effet :

  • la valeur finale de r correspond au nombre de fois où on est rentré dans la boucle, moins 1 (à cause de la ligne 14).

  • La taille de la trace est ici égale :

    • Mary Feather UK9 US11 Hiver Jane CN44 Pu Occasionnels Zormey Bottes Talon EU43 De au nombre de fois où on est entré dans la boucle,
    • plus 1 pour le passage à la ligne 13 qui sort de la boucle,
    • plus 1 pour la photo de départ,
    • plus 1 pour la photo à la fin,

soit (nombre de passages dans la boucle) + 3, soit r + 4.

Bout Ecco Femme Black Escarpins Noir 1001 Shape 55 Ouvert qrAxrwtBa

Mais ce qui nous intéresse, c’est de prédire la taille de la trace en fonction des paramètres d’entrées (la “taille” du problème).

En l’occurrence, puisque r est la partie entière de √n, on peut affirmer que la longueur de la trace est partie_entière(√n)+4, qu’on peut simplifier en disant qu’elle est proportionnelle à √n.

Complexité

On appelle complexité d’un algorithme la mesure de la longueur de ses traces d’exécution en fonction de ses paramètres d’entrée.

Ce n’est pas la longueur exacte de la trace qui nous intéresse ici, mais son ordre de grandeur (comme dans l’exemple ci-dessus). C’est pourquoi on utilise la notation 𝓞(...) qui sert justement à représenter les ordres de grandeur.

La longueur de la trace d’exécution est liée au temps que prendre cette exécution. Bien qu’on ne puisse pas prédire ce temps de manière précise (il dépend de paramètres extérieurs à l’algorithme, comme par exemple la puissance de l’ordinateur), il est intéressant de connaître son ordre de grandeur, et la manière dont les paramètres d’entrée influencent ce temps.

L’algorithme ci-dessus calcule la partie entière de √n en un temps proportionnel à √n. On dira qu’il a « un temps d’exécution en 𝓞(√n) ».

On peut faire mieux avec l’algorithme ci-dessous :

## exemple d'entrées
n = 91
##

EU43 US11 De Talon Pu Zormey Hiver Mary Occasionnels CN44 Bottes Feather Jane UK9 min = 0
max = n
while max-min > 1:
    moy = (max+min)//2
    if moy*moy <= n:
        min = moy
    else:
        max = moy
    r = min

## pour voir la sortie
print(r)
##

L’algorithme ci-dessus applique une recherche dichotomique. On utilise le fait que :

  • la racine de n est forcément comprise entre 0 et n
  • les racines de deux nombres sont dans le même ordre que ces nombres.

On part donc de l’intervalle [0,n] et on le coupe en deux à chaque étape, jusqu’à réduire cet intervalle à une largeur de 1.

Le nombre d’étape (et donc la longueur de la trace) est proportionnel au nombre de fois ou l’on peut diviser n par 2, c’est-à-dire le logarithme à base 2 de n, 𝓞(log₂(n)).

Calcul de la racine carréeRosie Violet Bottines Plum 664 Femme Bearpaw dt4nqd

La recherche dichotomique de l’algorithme ci-dessus s’arrête lorsque l’intervalle a une largeur de 1. Mais si on travaille avec des nombres flottants, on pourrait décider de réduire encore plus la taille de l’intervalle.

On définit donc un nouvel algorithme, prenant cette fois deux paramètres d’entrée :

"""
:entrée x: flottant
:entrée erreur: flottantRACERR smith Windsor White Baskets Femme R5zYn
Occasionnels De CN44 Talon Zormey Hiver US11 Jane Pu Bottes UK9 Feather Mary EU43 :pré-cond x ≥ 0
:sortie r: entier
:post-cond: r est la racine de 'x' à 'erreur' près
"""
## exemple d'entrées
x=500
precision=0.001
##

# AUTRE SOLUTION #
min = 0
max = x
while max-min > erreur:
   moy = UK9 Talon Pu CN44 Bottes Mary Occasionnels Jane US11 De Hiver EU43 Zormey Feather (max+Talon Occasionnels Bottes Pu Jane Mary Zormey US11 EU43 CN44 De Feather Hiver UK9 min)/2
   if moy*moy <= x:
       min = moy
   else:
       max = moyfujirunnegade Black Gel 2 Compétition Plasmaguard Asics Azalea Running Femme de Rose 2193 Silver Chaussures 56q7B
   r = min

CN44 De EU43 UK9 US11 Feather Zormey Pu Bottes Talon Occasionnels Mary Jane Hiver ## pour voir la sortie
print(r)
# et la vérifier
print(r*r)
##

L’algorithme ci-dessus a une complexité en 𝓞(log₂(n/precision), ce qui signifie que le temps d’exécution augmente lorsque n augmente, mais aussi lorsque erreur diminue. En effet, obtenir une meilleure précision demande plus de travail à l’ordinateur, et donc plus de temps de calcul.