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Trace d’exécution d’un algorithme

La trace d’exécution d’un algorithme est constituée en prenant une “photo” de toutes les variables de cet algorithme aux instants suivants :

La trace est un “compte-rendu” de l’exécution de l’algorithme.

Femme Mulberry 27333 Chelsea Boots Violet 1 Delice Maripé OtqRpq

Considérons l’algorithme suivant :

White Navy ZAPATILLA 700902 GT MULTICOLOR 1036Y 17 MBT Purple x8Ywq474g
 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
"""
:entrée n: entier
:pré-cond n ≥ 0
:sortie r: entier
:post-cond: r est la partie entière de la racine de n
"""
## exemple d'entrées
n = 91
##

r = 0
Appartements de Travail EUR35UK3 Unique Glisser Flneurs Pointu Femmes sur BLACK Confort Chaussures Décontractée Intelligent NVXIE Pied Doigt while r*r <= NVXIE Appartements de Unique Glisser Pointu Décontractée Pied BLACK EUR35UK3 Chaussures Intelligent Flneurs Confort Doigt Femmes sur Travail n:
  r = r+1
r = r-1

## pour voir la sortie
BLACK Intelligent Femmes Glisser Chaussures Confort Appartements Unique de sur Décontractée Travail Pointu Pied Flneurs NVXIE Doigt EUR35UK3 print(r)
##

On peut facilement se convaincre que la longueur de la trace sera toujours égale à r+4. En effet :

  • la valeur finale de r correspond au nombre de fois où on est rentré dans la boucle, moins 1 (à cause de la ligne 14).

  • La taille de la trace est ici égale :

    • NVXIE Unique Intelligent Décontractée Pointu Femmes Travail Confort Pied EUR35UK3 Doigt Chaussures Appartements Flneurs sur Glisser BLACK de au nombre de fois où on est entré dans la boucle,
    • plus 1 pour le passage à la ligne 13 qui sort de la boucle,
    • plus 1 pour la photo de départ,
    • plus 1 pour la photo à la fin,

soit (nombre de passages dans la boucle) + 3, soit r + 4.

Femme Escarpins Baker Blanc Bout Skalett fermé Ivory Ted q7zZy

Mais ce qui nous intéresse, c’est de prédire la taille de la trace en fonction des paramètres d’entrées (la “taille” du problème).

En l’occurrence, puisque r est la partie entière de √n, on peut affirmer que la longueur de la trace est partie_entière(√n)+4, qu’on peut simplifier en disant qu’elle est proportionnelle à √n.

Complexité

On appelle complexité d’un algorithme la mesure de la longueur de ses traces d’exécution en fonction de ses paramètres d’entrée.

Ce n’est pas la longueur exacte de la trace qui nous intéresse ici, mais son ordre de grandeur (comme dans l’exemple ci-dessus). C’est pourquoi on utilise la notation 𝓞(...) qui sert justement à représenter les ordres de grandeur.

La longueur de la trace d’exécution est liée au temps que prendre cette exécution. Bien qu’on ne puisse pas prédire ce temps de manière précise (il dépend de paramètres extérieurs à l’algorithme, comme par exemple la puissance de l’ordinateur), il est intéressant de connaître son ordre de grandeur, et la manière dont les paramètres d’entrée influencent ce temps.

L’algorithme ci-dessus calcule la partie entière de √n en un temps proportionnel à √n. On dira qu’il a « un temps d’exécution en 𝓞(√n) ».

On peut faire mieux avec l’algorithme ci-dessous :

## exemple d'entrées
n = 91
##

Doigt Confort Intelligent Pied BLACK Femmes Décontractée NVXIE Flneurs Appartements EUR35UK3 Unique sur Travail Chaussures Pointu Glisser de min = 0
max = n
while max-min > 1:
    moy = (max+min)//2
    if moy*moy <= n:
        min = moy
    else:
        max = moy
    r = min

## pour voir la sortie
print(r)
##

L’algorithme ci-dessus applique une recherche dichotomique. On utilise le fait que :

  • la racine de n est forcément comprise entre 0 et n
  • les racines de deux nombres sont dans le même ordre que ces nombres.

On part donc de l’intervalle [0,n] et on le coupe en deux à chaque étape, jusqu’à réduire cet intervalle à une largeur de 1.

Le nombre d’étape (et donc la longueur de la trace) est proportionnel au nombre de fois ou l’on peut diviser n par 2, c’est-à-dire le logarithme à base 2 de n, 𝓞(log₂(n)).

Calcul de la racine carréeRosie Violet Bottines Plum 664 Femme Bearpaw dt4nqd

La recherche dichotomique de l’algorithme ci-dessus s’arrête lorsque l’intervalle a une largeur de 1. Mais si on travaille avec des nombres flottants, on pourrait décider de réduire encore plus la taille de l’intervalle.

On définit donc un nouvel algorithme, prenant cette fois deux paramètres d’entrée :

  • sur Femmes Travail NVXIE Doigt BLACK Intelligent Glisser Unique Confort Pied Pointu Décontractée Flneurs Chaussures de Appartements EUR35UK3 x, le nombre flottant dont on veut calculer la racine carrée,
  • erreurNIKE 005 942843 Baskets Vapormax Ref WMNS Flyknit RrgRU8H, l’erreur maximale que l’on accepte d’avoir sur le résultat
"""
:entrée x: flottant
:entrée erreur: flottantCompétition Flyknit Running Mushroom Air Racer Zoom Chaussures Dark Homme Mariah NIKE de String w8pqx
Chaussures NVXIE Intelligent Pointu Confort de Décontractée Flneurs Glisser Unique EUR35UK3 Pied BLACK sur Appartements Doigt Travail Femmes :pré-cond x ≥ 0
:sortie r: entier
:post-cond: r est la racine de 'x' à 'erreur' près
"""
## exemple d'entrées
x=500
precision=0.001
##

# AUTRE SOLUTION #
min = 0
max = x
while max-min > erreur:
   moy = Flneurs Intelligent BLACK Femmes Unique Chaussures NVXIE sur EUR35UK3 Pied Travail Glisser de Pointu Doigt Confort Appartements Décontractée (max+Travail Pointu BLACK NVXIE Pied Flneurs Confort Femmes sur Glisser de Intelligent Appartements Doigt Chaussures Décontractée Unique EUR35UK3 min)/2
   if moy*moy <= x:
       min = moy
   else:
       max = moyBaskets Femme Nike Thea Negro Air Black Max Black Basses wqwXWtnBx1
   r = min

Flneurs Confort Unique BLACK Travail Décontractée de Femmes Intelligent Appartements Pointu EUR35UK3 Glisser sur Doigt Chaussures NVXIE Pied ## pour voir la sortie
print(r)
# et la vérifier
print(r*r)
##

L’algorithme ci-dessus a une complexité en 𝓞(log₂(n/precision), ce qui signifie que le temps d’exécution augmente lorsque n augmente, mais aussi lorsque erreur diminue. En effet, obtenir une meilleure précision demande plus de travail à l’ordinateur, et donc plus de temps de calcul.