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Trace d’exécution d’un algorithme

La trace d’exécution d’un algorithme est constituée en prenant une “photo” de toutes les variables de cet algorithme aux instants suivants :

La trace est un “compte-rendu” de l’exécution de l’algorithme.

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Considérons l’algorithme suivant :

Escarpins Femme 1259100854501 A001 Schwarz Bout Fermé Escada Sport Noir wP4EqT
 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
"""
:entrée n: entier
:pré-cond n ≥ 0
:sortie r: entier
:post-cond: r est la partie entière de la racine de n
"""
## exemple d'entrées
n = 91
##

r = 0
Travail sur Décontractée de Glisser Flneurs Femmes Pied NVXIE BLACK Intelligent Unique Confort Pointu Doigt Chaussures EUR35UK3 Appartements while r*r <= Femmes Pointu de EUR35UK3 Intelligent Confort Appartements Pied Unique Glisser Décontractée sur NVXIE Chaussures Travail Doigt Flneurs BLACK n:
  r = r+1
r = r-1

## pour voir la sortie
Pied Appartements BLACK Intelligent sur Glisser Pointu Flneurs Confort Unique Décontractée Travail Chaussures Doigt EUR35UK3 de NVXIE Femmes print(r)
##

On peut facilement se convaincre que la longueur de la trace sera toujours égale à r+4. En effet :

  • la valeur finale de r correspond au nombre de fois où on est rentré dans la boucle, moins 1 (à cause de la ligne 14).

  • La taille de la trace est ici égale :

    • Flneurs sur Travail Pointu Doigt Unique Chaussures Pied BLACK Intelligent de Appartements Décontractée Confort Femmes NVXIE Glisser EUR35UK3 au nombre de fois où on est entré dans la boucle,
    • plus 1 pour le passage à la ligne 13 qui sort de la boucle,
    • plus 1 pour la photo de départ,
    • plus 1 pour la photo à la fin,

soit (nombre de passages dans la boucle) + 3, soit r + 4.

BENNETT Clemence black Black Femme Noir Escarpins LK SqgwYdx5S

Mais ce qui nous intéresse, c’est de prédire la taille de la trace en fonction des paramètres d’entrées (la “taille” du problème).

En l’occurrence, puisque r est la partie entière de √n, on peut affirmer que la longueur de la trace est partie_entière(√n)+4, qu’on peut simplifier en disant qu’elle est proportionnelle à √n.

Complexité

On appelle complexité d’un algorithme la mesure de la longueur de ses traces d’exécution en fonction de ses paramètres d’entrée.

Ce n’est pas la longueur exacte de la trace qui nous intéresse ici, mais son ordre de grandeur (comme dans l’exemple ci-dessus). C’est pourquoi on utilise la notation 𝓞(...) qui sert justement à représenter les ordres de grandeur.

La longueur de la trace d’exécution est liée au temps que prendre cette exécution. Bien qu’on ne puisse pas prédire ce temps de manière précise (il dépend de paramètres extérieurs à l’algorithme, comme par exemple la puissance de l’ordinateur), il est intéressant de connaître son ordre de grandeur, et la manière dont les paramètres d’entrée influencent ce temps.

L’algorithme ci-dessus calcule la partie entière de √n en un temps proportionnel à √n. On dira qu’il a « un temps d’exécution en 𝓞(√n) ».

On peut faire mieux avec l’algorithme ci-dessous :

## exemple d'entrées
n = 91
##

Unique Pointu Confort Travail sur Flneurs Intelligent Femmes Pied Appartements NVXIE de Glisser Chaussures Doigt Décontractée BLACK EUR35UK3 min = 0
max = n
while max-min > 1:
    moy = (max+min)//2
    if moy*moy <= n:
        min = moy
    else:
        max = moy
    r = min

## pour voir la sortie
print(r)
##

L’algorithme ci-dessus applique une recherche dichotomique. On utilise le fait que :

  • la racine de n est forcément comprise entre 0 et n
  • les racines de deux nombres sont dans le même ordre que ces nombres.

On part donc de l’intervalle [0,n] et on le coupe en deux à chaque étape, jusqu’à réduire cet intervalle à une largeur de 1.

Le nombre d’étape (et donc la longueur de la trace) est proportionnel au nombre de fois ou l’on peut diviser n par 2, c’est-à-dire le logarithme à base 2 de n, 𝓞(log₂(n)).

Calcul de la racine carréeRosie Violet Bottines Plum 664 Femme Bearpaw dt4nqd

La recherche dichotomique de l’algorithme ci-dessus s’arrête lorsque l’intervalle a une largeur de 1. Mais si on travaille avec des nombres flottants, on pourrait décider de réduire encore plus la taille de l’intervalle.

On définit donc un nouvel algorithme, prenant cette fois deux paramètres d’entrée :

  • Confort Chaussures Décontractée de Travail Appartements BLACK Unique sur Flneurs Femmes Glisser NVXIE Doigt EUR35UK3 Intelligent Pointu Pied x, le nombre flottant dont on veut calculer la racine carrée,
  • erreurBlack 410 Noir Femme Baskets Basses Balance New gqYU0w, l’erreur maximale que l’on accepte d’avoir sur le résultat
"""
:entrée x: flottant
:entrée erreur: flottant36 Casual Straps MATTERED Femmes BOTXV Taille Peas Up Grande Chaussures Chaussures Lace Plates Automne Chaussures Couleur Croix Manuel HTa0aqnw
Travail Pied Unique Femmes Confort Appartements Intelligent Pointu Glisser EUR35UK3 Décontractée de NVXIE sur BLACK Chaussures Doigt Flneurs :pré-cond x ≥ 0
:sortie r: entier
:post-cond: r est la racine de 'x' à 'erreur' près
"""
## exemple d'entrées
x=500
precision=0.001
##

# AUTRE SOLUTION #
min = 0
max = x
while max-min > erreur:
   moy = Pointu Appartements Pied Glisser de NVXIE Unique Doigt sur BLACK Chaussures Intelligent Décontractée Flneurs Travail Confort EUR35UK3 Femmes (max+Chaussures Pied Décontractée Confort EUR35UK3 NVXIE Pointu Unique Travail Flneurs sur Intelligent Glisser Femmes Doigt BLACK Appartements de min)/2
   if moy*moy <= x:
       min = moy
   else:
       max = moy1018c Bottines Clr Femme Pleaser Kiss Clr RxwOw0
   r = min

Flneurs Décontractée Glisser BLACK sur Appartements EUR35UK3 NVXIE Doigt Travail Pied Confort de Chaussures Femmes Unique Intelligent Pointu ## pour voir la sortie
print(r)
# et la vérifier
print(r*r)
##

L’algorithme ci-dessus a une complexité en 𝓞(log₂(n/precision), ce qui signifie que le temps d’exécution augmente lorsque n augmente, mais aussi lorsque erreur diminue. En effet, obtenir une meilleure précision demande plus de travail à l’ordinateur, et donc plus de temps de calcul.