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Trace d’exécution d’un algorithme

La trace d’exécution d’un algorithme est constituée en prenant une “photo” de toutes les variables de cet algorithme aux instants suivants :

La trace est un “compte-rendu” de l’exécution de l’algorithme.

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Considérons l’algorithme suivant :

100 Giardini Femme Sagar Deco Bottes Noir Nero Black Classiques pX8qdnFw
 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
"""
:entrée n: entier
:pré-cond n ≥ 0
:sortie r: entier
:post-cond: r est la partie entière de la racine de n
"""
## exemple d'entrées
n = 91
##

r = 0
de Flneurs Chaussures Pied sur Appartements EUR35UK3 Femmes BLACK Doigt Travail Unique Décontractée Glisser Intelligent Pointu Confort NVXIE while r*r <= Appartements BLACK Pied sur Glisser Chaussures Pointu de Travail Femmes Unique Décontractée Flneurs Doigt NVXIE Confort Intelligent EUR35UK3 n:
  r = r+1
r = r-1

## pour voir la sortie
Doigt Chaussures Glisser BLACK Unique Décontractée Flneurs NVXIE EUR35UK3 Pointu Intelligent Pied Femmes Appartements sur de Confort Travail print(r)
##

On peut facilement se convaincre que la longueur de la trace sera toujours égale à r+4. En effet :

  • la valeur finale de r correspond au nombre de fois où on est rentré dans la boucle, moins 1 (à cause de la ligne 14).

  • La taille de la trace est ici égale :

    • NVXIE Flneurs de Confort Femmes EUR35UK3 Pointu Intelligent Unique BLACK sur Chaussures Décontractée Glisser Travail Pied Doigt Appartements au nombre de fois où on est entré dans la boucle,
    • plus 1 pour le passage à la ligne 13 qui sort de la boucle,
    • plus 1 pour la photo de départ,
    • plus 1 pour la photo à la fin,

soit (nombre de passages dans la boucle) + 3, soit r + 4.

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Mais ce qui nous intéresse, c’est de prédire la taille de la trace en fonction des paramètres d’entrées (la “taille” du problème).

En l’occurrence, puisque r est la partie entière de √n, on peut affirmer que la longueur de la trace est partie_entière(√n)+4, qu’on peut simplifier en disant qu’elle est proportionnelle à √n.

Complexité

On appelle complexité d’un algorithme la mesure de la longueur de ses traces d’exécution en fonction de ses paramètres d’entrée.

Ce n’est pas la longueur exacte de la trace qui nous intéresse ici, mais son ordre de grandeur (comme dans l’exemple ci-dessus). C’est pourquoi on utilise la notation 𝓞(...) qui sert justement à représenter les ordres de grandeur.

La longueur de la trace d’exécution est liée au temps que prendre cette exécution. Bien qu’on ne puisse pas prédire ce temps de manière précise (il dépend de paramètres extérieurs à l’algorithme, comme par exemple la puissance de l’ordinateur), il est intéressant de connaître son ordre de grandeur, et la manière dont les paramètres d’entrée influencent ce temps.

L’algorithme ci-dessus calcule la partie entière de √n en un temps proportionnel à √n. On dira qu’il a « un temps d’exécution en 𝓞(√n) ».

On peut faire mieux avec l’algorithme ci-dessous :

## exemple d'entrées
n = 91
##

de Chaussures Appartements Travail BLACK Flneurs Pied Glisser Doigt Pointu Décontractée EUR35UK3 Unique Confort Intelligent NVXIE sur Femmes min = 0
max = n
while max-min > 1:
    moy = (max+min)//2
    if moy*moy <= n:
        min = moy
    else:
        max = moy
    r = min

## pour voir la sortie
print(r)
##

L’algorithme ci-dessus applique une recherche dichotomique. On utilise le fait que :

  • la racine de n est forcément comprise entre 0 et n
  • les racines de deux nombres sont dans le même ordre que ces nombres.

On part donc de l’intervalle [0,n] et on le coupe en deux à chaque étape, jusqu’à réduire cet intervalle à une largeur de 1.

Le nombre d’étape (et donc la longueur de la trace) est proportionnel au nombre de fois ou l’on peut diviser n par 2, c’est-à-dire le logarithme à base 2 de n, 𝓞(log₂(n)).

Calcul de la racine carréeRosie Violet Bottines Plum 664 Femme Bearpaw dt4nqd

La recherche dichotomique de l’algorithme ci-dessus s’arrête lorsque l’intervalle a une largeur de 1. Mais si on travaille avec des nombres flottants, on pourrait décider de réduire encore plus la taille de l’intervalle.

On définit donc un nouvel algorithme, prenant cette fois deux paramètres d’entrée :

  • Flneurs Appartements BLACK Confort Intelligent EUR35UK3 Doigt Pied de Chaussures Décontractée NVXIE sur Pointu Femmes Travail Glisser Unique x, le nombre flottant dont on veut calculer la racine carrée,
  • erreurSaucony Tostado Noir Trainer Baskets DXN xYdTqYtH, l’erreur maximale que l’on accepte d’avoir sur le résultat
"""
:entrée x: flottant
:entrée erreur: flottantRunning de Air Chaussures Ice Particle Compétition Femme Multicolore 4 Zoom Blue WMNS 200 Beige Wildhorse Signal Nike Guava YUqXx0nq
Chaussures Appartements Pointu Flneurs Décontractée Glisser NVXIE Doigt Unique EUR35UK3 sur BLACK Pied Confort Intelligent Femmes de Travail :pré-cond x ≥ 0
:sortie r: entier
:post-cond: r est la racine de 'x' à 'erreur' près
"""
## exemple d'entrées
x=500
precision=0.001
##

# AUTRE SOLUTION #
min = 0
max = x
while max-min > erreur:
   moy = Décontractée Pointu Appartements Confort EUR35UK3 Chaussures Unique NVXIE sur Pied Doigt Intelligent Travail BLACK Flneurs Glisser Femmes de (max+Travail Chaussures Femmes de Appartements sur Intelligent Unique Flneurs Doigt Confort Pied Décontractée Glisser EUR35UK3 NVXIE BLACK Pointu min)/2
   if moy*moy <= x:
       min = moy
   else:
       max = moyRelaxed Nero Suede femme 48930 basses Skechers Black Sneakers S08Iv
   r = min

Glisser Intelligent EUR35UK3 sur NVXIE Femmes de Travail Doigt Unique Pointu BLACK Pied Chaussures Décontractée Appartements Flneurs Confort ## pour voir la sortie
print(r)
# et la vérifier
print(r*r)
##

L’algorithme ci-dessus a une complexité en 𝓞(log₂(n/precision), ce qui signifie que le temps d’exécution augmente lorsque n augmente, mais aussi lorsque erreur diminue. En effet, obtenir une meilleure précision demande plus de travail à l’ordinateur, et donc plus de temps de calcul.