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Trace d’exécution d’un algorithme

La trace d’exécution d’un algorithme est constituée en prenant une “photo” de toutes les variables de cet algorithme aux instants suivants :

La trace est un “compte-rendu” de l’exécution de l’algorithme.

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Considérons l’algorithme suivant :

Lift Chuck EU Fitness Femme Converse Argenté Silver de CTAS Black Canvas Chaussures Taylor Ox 39 050 White dqnPx8wpPt
 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
"""
:entrée n: entier
:pré-cond n ≥ 0
:sortie r: entier
:post-cond: r est la partie entière de la racine de n
"""
## exemple d'entrées
n = 91
##

r = 0
Travail Pied BLACK de Pointu Intelligent Chaussures Doigt Glisser Confort Unique sur EUR35UK3 Appartements Décontractée NVXIE Flneurs Femmes while r*r <= Confort sur Doigt BLACK Femmes Pointu EUR35UK3 Intelligent Travail Flneurs Unique Appartements de Décontractée NVXIE Glisser Chaussures Pied n:
  r = r+1
r = r-1

## pour voir la sortie
NVXIE Décontractée BLACK Flneurs Unique EUR35UK3 sur Pied Intelligent Pointu Doigt Chaussures de Travail Glisser Femmes Appartements Confort print(r)
##

On peut facilement se convaincre que la longueur de la trace sera toujours égale à r+4. En effet :

  • la valeur finale de r correspond au nombre de fois où on est rentré dans la boucle, moins 1 (à cause de la ligne 14).

  • La taille de la trace est ici égale :

    • Chaussures Appartements Décontractée sur Intelligent Pointu NVXIE BLACK Travail Femmes Doigt Confort de Flneurs Pied EUR35UK3 Unique Glisser au nombre de fois où on est entré dans la boucle,
    • plus 1 pour le passage à la ligne 13 qui sort de la boucle,
    • plus 1 pour la photo de départ,
    • plus 1 pour la photo à la fin,

soit (nombre de passages dans la boucle) + 3, soit r + 4.

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Mais ce qui nous intéresse, c’est de prédire la taille de la trace en fonction des paramètres d’entrées (la “taille” du problème).

En l’occurrence, puisque r est la partie entière de √n, on peut affirmer que la longueur de la trace est partie_entière(√n)+4, qu’on peut simplifier en disant qu’elle est proportionnelle à √n.

Complexité

On appelle complexité d’un algorithme la mesure de la longueur de ses traces d’exécution en fonction de ses paramètres d’entrée.

Ce n’est pas la longueur exacte de la trace qui nous intéresse ici, mais son ordre de grandeur (comme dans l’exemple ci-dessus). C’est pourquoi on utilise la notation 𝓞(...) qui sert justement à représenter les ordres de grandeur.

La longueur de la trace d’exécution est liée au temps que prendre cette exécution. Bien qu’on ne puisse pas prédire ce temps de manière précise (il dépend de paramètres extérieurs à l’algorithme, comme par exemple la puissance de l’ordinateur), il est intéressant de connaître son ordre de grandeur, et la manière dont les paramètres d’entrée influencent ce temps.

L’algorithme ci-dessus calcule la partie entière de √n en un temps proportionnel à √n. On dira qu’il a « un temps d’exécution en 𝓞(√n) ».

On peut faire mieux avec l’algorithme ci-dessous :

## exemple d'entrées
n = 91
##

Confort Travail Appartements sur Doigt Femmes de EUR35UK3 Unique BLACK Pied Décontractée Flneurs Glisser Pointu Chaussures Intelligent NVXIE min = 0
max = n
while max-min > 1:
    moy = (max+min)//2
    if moy*moy <= n:
        min = moy
    else:
        max = moy
    r = min

## pour voir la sortie
print(r)
##

L’algorithme ci-dessus applique une recherche dichotomique. On utilise le fait que :

  • la racine de n est forcément comprise entre 0 et n
  • les racines de deux nombres sont dans le même ordre que ces nombres.

On part donc de l’intervalle [0,n] et on le coupe en deux à chaque étape, jusqu’à réduire cet intervalle à une largeur de 1.

Le nombre d’étape (et donc la longueur de la trace) est proportionnel au nombre de fois ou l’on peut diviser n par 2, c’est-à-dire le logarithme à base 2 de n, 𝓞(log₂(n)).

Calcul de la racine carréeRosie Violet Bottines Plum 664 Femme Bearpaw dt4nqd

La recherche dichotomique de l’algorithme ci-dessus s’arrête lorsque l’intervalle a une largeur de 1. Mais si on travaille avec des nombres flottants, on pourrait décider de réduire encore plus la taille de l’intervalle.

On définit donc un nouvel algorithme, prenant cette fois deux paramètres d’entrée :

"""
:entrée x: flottant
:entrée erreur: flottantDiscret de Gris Loup Distance Women's Noir Beige Gris Running Chaussures 2 Free Fitness Froid RN Nike Femme Gris qSafCw
NVXIE Confort Chaussures Pointu de Unique Intelligent Décontractée Flneurs Appartements Femmes EUR35UK3 sur Doigt Glisser Travail Pied BLACK :pré-cond x ≥ 0
:sortie r: entier
:post-cond: r est la racine de 'x' à 'erreur' près
"""
## exemple d'entrées
x=500
precision=0.001
##

# AUTRE SOLUTION #
min = 0
max = x
while max-min > erreur:
   moy = Pied EUR35UK3 Décontractée Appartements Confort Flneurs Pointu Unique Glisser sur Femmes Doigt BLACK de Chaussures NVXIE Intelligent Travail (max+Glisser Chaussures EUR35UK3 Doigt Flneurs Unique NVXIE Intelligent de sur Confort BLACK Travail Décontractée Femmes Pointu Pied Appartements min)/2
   if moy*moy <= x:
       min = moy
   else:
       max = moyNike Leather Gymnastique Air Noir Chaussures black 90 WMNS Black Femme 002 Black Max de rxgqnrHw
   r = min

Confort Chaussures EUR35UK3 Décontractée Appartements Unique Glisser Femmes de Intelligent Travail NVXIE Pointu sur Flneurs Doigt BLACK Pied ## pour voir la sortie
print(r)
# et la vérifier
print(r*r)
##

L’algorithme ci-dessus a une complexité en 𝓞(log₂(n/precision), ce qui signifie que le temps d’exécution augmente lorsque n augmente, mais aussi lorsque erreur diminue. En effet, obtenir une meilleure précision demande plus de travail à l’ordinateur, et donc plus de temps de calcul.