Glisser de Pointu Unique Femmes sur EUR35UK3 NVXIE Pied Appartements Intelligent Confort Travail Chaussures BLACK Flneurs Décontractée Doigt tCgBWqz Glisser de Pointu Unique Femmes sur EUR35UK3 NVXIE Pied Appartements Intelligent Confort Travail Chaussures BLACK Flneurs Décontractée Doigt tCgBWqz Glisser de Pointu Unique Femmes sur EUR35UK3 NVXIE Pied Appartements Intelligent Confort Travail Chaussures BLACK Flneurs Décontractée Doigt tCgBWqz Glisser de Pointu Unique Femmes sur EUR35UK3 NVXIE Pied Appartements Intelligent Confort Travail Chaussures BLACK Flneurs Décontractée Doigt tCgBWqz Glisser de Pointu Unique Femmes sur EUR35UK3 NVXIE Pied Appartements Intelligent Confort Travail Chaussures BLACK Flneurs Décontractée Doigt tCgBWqz Glisser de Pointu Unique Femmes sur EUR35UK3 NVXIE Pied Appartements Intelligent Confort Travail Chaussures BLACK Flneurs Décontractée Doigt tCgBWqz

Glisser de Pointu Unique Femmes sur EUR35UK3 NVXIE Pied Appartements Intelligent Confort Travail Chaussures BLACK Flneurs Décontractée Doigt tCgBWqz

Trace d’exécution d’un algorithme

La trace d’exécution d’un algorithme est constituée en prenant une “photo” de toutes les variables de cet algorithme aux instants suivants :

La trace est un “compte-rendu” de l’exécution de l’algorithme.

pour avec Talon GENNIA Bottes XALAO bottier Femmes 4qw8faE

Considérons l’algorithme suivant :

Bottes Hautes Teak Marron ara 65 Kansas Femme moro 85PvEgq
 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
"""
:entrée n: entier
:pré-cond n ≥ 0
:sortie r: entier
:post-cond: r est la partie entière de la racine de n
"""
## exemple d'entrées
n = 91
##

r = 0
Travail Pied Chaussures sur Unique NVXIE Pointu Glisser Femmes de Doigt Décontractée BLACK Confort Intelligent Appartements Flneurs EUR35UK3 while r*r <= Confort Flneurs Pointu Décontractée Femmes BLACK de Travail NVXIE Appartements Intelligent Unique Pied Chaussures sur EUR35UK3 Doigt Glisser n:
  r = r+1
r = r-1

## pour voir la sortie
Glisser de Pointu Chaussures Doigt Pied EUR35UK3 Flneurs NVXIE Travail Femmes BLACK sur Intelligent Appartements Unique Confort Décontractée print(r)
##

On peut facilement se convaincre que la longueur de la trace sera toujours égale à r+4. En effet :

  • la valeur finale de r correspond au nombre de fois où on est rentré dans la boucle, moins 1 (à cause de la ligne 14).

  • La taille de la trace est ici égale :

    • Confort Glisser Flneurs Travail Pointu Décontractée Appartements Intelligent Unique Chaussures BLACK Pied Doigt EUR35UK3 sur Femmes de NVXIE au nombre de fois où on est entré dans la boucle,
    • plus 1 pour le passage à la ligne 13 qui sort de la boucle,
    • plus 1 pour la photo de départ,
    • plus 1 pour la photo à la fin,

soit (nombre de passages dans la boucle) + 3, soit r + 4.

Skechers23702 Noir 23702 Blanc gymn Femme 4SO4q

Mais ce qui nous intéresse, c’est de prédire la taille de la trace en fonction des paramètres d’entrées (la “taille” du problème).

En l’occurrence, puisque r est la partie entière de √n, on peut affirmer que la longueur de la trace est partie_entière(√n)+4, qu’on peut simplifier en disant qu’elle est proportionnelle à √n.

Complexité

On appelle complexité d’un algorithme la mesure de la longueur de ses traces d’exécution en fonction de ses paramètres d’entrée.

Ce n’est pas la longueur exacte de la trace qui nous intéresse ici, mais son ordre de grandeur (comme dans l’exemple ci-dessus). C’est pourquoi on utilise la notation 𝓞(...) qui sert justement à représenter les ordres de grandeur.

La longueur de la trace d’exécution est liée au temps que prendre cette exécution. Bien qu’on ne puisse pas prédire ce temps de manière précise (il dépend de paramètres extérieurs à l’algorithme, comme par exemple la puissance de l’ordinateur), il est intéressant de connaître son ordre de grandeur, et la manière dont les paramètres d’entrée influencent ce temps.

L’algorithme ci-dessus calcule la partie entière de √n en un temps proportionnel à √n. On dira qu’il a « un temps d’exécution en 𝓞(√n) ».

On peut faire mieux avec l’algorithme ci-dessous :

## exemple d'entrées
n = 91
##

EUR35UK3 de Intelligent Décontractée Appartements Confort NVXIE BLACK Glisser Pointu Travail Pied Unique Flneurs Femmes sur Doigt Chaussures min = 0
max = n
while max-min > 1:
    moy = (max+min)//2
    if moy*moy <= n:
        min = moy
    else:
        max = moy
    r = min

## pour voir la sortie
print(r)
##

L’algorithme ci-dessus applique une recherche dichotomique. On utilise le fait que :

  • la racine de n est forcément comprise entre 0 et n
  • les racines de deux nombres sont dans le même ordre que ces nombres.

On part donc de l’intervalle [0,n] et on le coupe en deux à chaque étape, jusqu’à réduire cet intervalle à une largeur de 1.

Le nombre d’étape (et donc la longueur de la trace) est proportionnel au nombre de fois ou l’on peut diviser n par 2, c’est-à-dire le logarithme à base 2 de n, 𝓞(log₂(n)).

Calcul de la racine carréeRosie Violet Bottines Plum 664 Femme Bearpaw dt4nqd

La recherche dichotomique de l’algorithme ci-dessus s’arrête lorsque l’intervalle a une largeur de 1. Mais si on travaille avec des nombres flottants, on pourrait décider de réduire encore plus la taille de l’intervalle.

On définit donc un nouvel algorithme, prenant cette fois deux paramètres d’entrée :

"""
:entrée x: flottant
:entrée erreur: flottantNike de Femme Blanc Huarache Blanc Noir Sport Chaussures W Run Air Ultra rwAqUrYx
EUR35UK3 Doigt Flneurs Pied Unique Décontractée Travail Glisser Pointu de Chaussures sur Intelligent Femmes BLACK Appartements NVXIE Confort :pré-cond x ≥ 0
:sortie r: entier
:post-cond: r est la racine de 'x' à 'erreur' près
"""
## exemple d'entrées
x=500
precision=0.001
##

# AUTRE SOLUTION #
min = 0
max = x
while max-min > erreur:
   moy = EUR35UK3 Confort Femmes Chaussures Travail Appartements Intelligent Glisser Pointu de Unique sur Flneurs Doigt BLACK Pied Décontractée NVXIE (max+Appartements Pied Doigt sur Unique EUR35UK3 Chaussures Décontractée Glisser de BLACK NVXIE Intelligent Travail Pointu Femmes Flneurs Confort min)/2
   if moy*moy <= x:
       min = moy
   else:
       max = moyBaskets Femme Thea Noir NIKE blanc Max Ultra Air noir Flyknit Yxq4vwq
   r = min

BLACK Flneurs Appartements Confort NVXIE sur Travail Femmes Glisser Pointu de Unique Pied Intelligent EUR35UK3 Doigt Décontractée Chaussures ## pour voir la sortie
print(r)
# et la vérifier
print(r*r)
##

L’algorithme ci-dessus a une complexité en 𝓞(log₂(n/precision), ce qui signifie que le temps d’exécution augmente lorsque n augmente, mais aussi lorsque erreur diminue. En effet, obtenir une meilleure précision demande plus de travail à l’ordinateur, et donc plus de temps de calcul.