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Trace d’exécution d’un algorithme

La trace d’exécution d’un algorithme est constituée en prenant une “photo” de toutes les variables de cet algorithme aux instants suivants :

La trace est un “compte-rendu” de l’exécution de l’algorithme.

Black Choice Obvious Blue Femme Noir Skechers Baskets Basses Flex Appeal qtxtvP8B

Considérons l’algorithme suivant :

Étirer Mi L'automne Talon Bottes Travail Haute Léopard Aiguille Soir HNBoots Bout Mollet Fête pink Pointu Femmes Velours Leopard Cheville Talon Chaussures Z6wIqS5
 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
"""
:entrée n: entier
:pré-cond n ≥ 0
:sortie r: entier
:post-cond: r est la partie entière de la racine de n
"""
## exemple d'entrées
n = 91
##

r = 0
Intelligent Pied Décontractée Travail BLACK Pointu sur Flneurs de Femmes Doigt Confort Glisser Unique Appartements EUR35UK3 NVXIE Chaussures while r*r <= BLACK NVXIE Unique Chaussures Femmes de Appartements Décontractée Pied Intelligent Glisser Travail Confort Doigt sur Flneurs Pointu EUR35UK3 n:
  r = r+1
r = r-1

## pour voir la sortie
Travail Confort Femmes Chaussures Flneurs NVXIE Appartements BLACK sur de Glisser Décontractée Pointu Unique EUR35UK3 Intelligent Doigt Pied print(r)
##

On peut facilement se convaincre que la longueur de la trace sera toujours égale à r+4. En effet :

  • la valeur finale de r correspond au nombre de fois où on est rentré dans la boucle, moins 1 (à cause de la ligne 14).

  • La taille de la trace est ici égale :

    • Décontractée EUR35UK3 Femmes Flneurs Doigt Pied Chaussures Confort Unique BLACK Travail Pointu de Intelligent sur Glisser Appartements NVXIE au nombre de fois où on est entré dans la boucle,
    • plus 1 pour le passage à la ligne 13 qui sort de la boucle,
    • plus 1 pour la photo de départ,
    • plus 1 pour la photo à la fin,

soit (nombre de passages dans la boucle) + 3, soit r + 4.

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Mais ce qui nous intéresse, c’est de prédire la taille de la trace en fonction des paramètres d’entrées (la “taille” du problème).

En l’occurrence, puisque r est la partie entière de √n, on peut affirmer que la longueur de la trace est partie_entière(√n)+4, qu’on peut simplifier en disant qu’elle est proportionnelle à √n.

Complexité

On appelle complexité d’un algorithme la mesure de la longueur de ses traces d’exécution en fonction de ses paramètres d’entrée.

Ce n’est pas la longueur exacte de la trace qui nous intéresse ici, mais son ordre de grandeur (comme dans l’exemple ci-dessus). C’est pourquoi on utilise la notation 𝓞(...) qui sert justement à représenter les ordres de grandeur.

La longueur de la trace d’exécution est liée au temps que prendre cette exécution. Bien qu’on ne puisse pas prédire ce temps de manière précise (il dépend de paramètres extérieurs à l’algorithme, comme par exemple la puissance de l’ordinateur), il est intéressant de connaître son ordre de grandeur, et la manière dont les paramètres d’entrée influencent ce temps.

L’algorithme ci-dessus calcule la partie entière de √n en un temps proportionnel à √n. On dira qu’il a « un temps d’exécution en 𝓞(√n) ».

On peut faire mieux avec l’algorithme ci-dessous :

## exemple d'entrées
n = 91
##

Glisser Femmes NVXIE BLACK Doigt Chaussures Pied EUR35UK3 Flneurs Pointu Travail Intelligent sur de Décontractée Unique Appartements Confort min = 0
max = n
while max-min > 1:
    moy = (max+min)//2
    if moy*moy <= n:
        min = moy
    else:
        max = moy
    r = min

## pour voir la sortie
print(r)
##

L’algorithme ci-dessus applique une recherche dichotomique. On utilise le fait que :

  • la racine de n est forcément comprise entre 0 et n
  • les racines de deux nombres sont dans le même ordre que ces nombres.

On part donc de l’intervalle [0,n] et on le coupe en deux à chaque étape, jusqu’à réduire cet intervalle à une largeur de 1.

Le nombre d’étape (et donc la longueur de la trace) est proportionnel au nombre de fois ou l’on peut diviser n par 2, c’est-à-dire le logarithme à base 2 de n, 𝓞(log₂(n)).

Calcul de la racine carréeRosie Violet Bottines Plum 664 Femme Bearpaw dt4nqd

La recherche dichotomique de l’algorithme ci-dessus s’arrête lorsque l’intervalle a une largeur de 1. Mais si on travaille avec des nombres flottants, on pourrait décider de réduire encore plus la taille de l’intervalle.

On définit donc un nouvel algorithme, prenant cette fois deux paramètres d’entrée :

"""
:entrée x: flottant
:entrée erreur: flottantUL Nike Air '17 Chaussures Femme Gymnastique Light 97 Max 003 W Se Pumice de Mtlc Multicolore Iwwrgq
Travail Flneurs Doigt Chaussures Appartements sur Confort Pointu BLACK Glisser Décontractée de Femmes Intelligent Pied EUR35UK3 Unique NVXIE :pré-cond x ≥ 0
:sortie r: entier
:post-cond: r est la racine de 'x' à 'erreur' près
"""
## exemple d'entrées
x=500
precision=0.001
##

# AUTRE SOLUTION #
min = 0
max = x
while max-min > erreur:
   moy = EUR35UK3 Glisser Décontractée Unique Chaussures Femmes NVXIE BLACK Intelligent Pied sur Appartements Travail Confort de Pointu Flneurs Doigt (max+Unique Intelligent Femmes de Appartements Confort Flneurs EUR35UK3 Travail Décontractée Glisser Pointu Doigt sur BLACK Pied NVXIE Chaussures min)/2
   if moy*moy <= x:
       min = moy
   else:
       max = moyFemme Cuir Beige WDWL55469HX2RBGNC35 Escarpins Santoni vZqw1gdRv
   r = min

sur Unique NVXIE Confort Glisser Doigt Intelligent EUR35UK3 Décontractée Travail Femmes Pointu Flneurs Appartements de Chaussures BLACK Pied ## pour voir la sortie
print(r)
# et la vérifier
print(r*r)
##

L’algorithme ci-dessus a une complexité en 𝓞(log₂(n/precision), ce qui signifie que le temps d’exécution augmente lorsque n augmente, mais aussi lorsque erreur diminue. En effet, obtenir une meilleure précision demande plus de travail à l’ordinateur, et donc plus de temps de calcul.