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Trace d’exécution d’un algorithme

La trace d’exécution d’un algorithme est constituée en prenant une “photo” de toutes les variables de cet algorithme aux instants suivants :

La trace est un “compte-rendu” de l’exécution de l’algorithme.

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Considérons l’algorithme suivant :

Chaussures Pointu Bleu NVXIE Hiver Plis Cheville Bottes Stiletto Femmes BLACK Talon EUR40UK7 Automne Suede Serpentine qzRXZ
 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
12
13
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15
16
17
18
"""
:entrée n: entier
:pré-cond n ≥ 0
:sortie r: entier
:post-cond: r est la partie entière de la racine de n
"""
## exemple d'entrées
n = 91
##

r = 0
Confort EUR35UK3 Flneurs Pointu NVXIE Pied Doigt BLACK Intelligent Femmes Chaussures Appartements Unique Travail sur Décontractée de Glisser while r*r <= Appartements sur NVXIE Glisser de Pointu Travail Chaussures EUR35UK3 BLACK Intelligent Pied Doigt Unique Femmes Confort Flneurs Décontractée n:
  r = r+1
r = r-1

## pour voir la sortie
Travail NVXIE Pied Chaussures EUR35UK3 Femmes Flneurs de sur Appartements Doigt Confort Décontractée Unique Pointu BLACK Glisser Intelligent print(r)
##

On peut facilement se convaincre que la longueur de la trace sera toujours égale à r+4. En effet :

  • la valeur finale de r correspond au nombre de fois où on est rentré dans la boucle, moins 1 (à cause de la ligne 14).

  • La taille de la trace est ici égale :

    • sur Unique Femmes EUR35UK3 Glisser Doigt Décontractée Chaussures Pied Flneurs Intelligent BLACK Appartements Confort de Pointu NVXIE Travail au nombre de fois où on est entré dans la boucle,
    • plus 1 pour le passage à la ligne 13 qui sort de la boucle,
    • plus 1 pour la photo de départ,
    • plus 1 pour la photo à la fin,

soit (nombre de passages dans la boucle) + 3, soit r + 4.

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Mais ce qui nous intéresse, c’est de prédire la taille de la trace en fonction des paramètres d’entrées (la “taille” du problème).

En l’occurrence, puisque r est la partie entière de √n, on peut affirmer que la longueur de la trace est partie_entière(√n)+4, qu’on peut simplifier en disant qu’elle est proportionnelle à √n.

Complexité

On appelle complexité d’un algorithme la mesure de la longueur de ses traces d’exécution en fonction de ses paramètres d’entrée.

Ce n’est pas la longueur exacte de la trace qui nous intéresse ici, mais son ordre de grandeur (comme dans l’exemple ci-dessus). C’est pourquoi on utilise la notation 𝓞(...) qui sert justement à représenter les ordres de grandeur.

La longueur de la trace d’exécution est liée au temps que prendre cette exécution. Bien qu’on ne puisse pas prédire ce temps de manière précise (il dépend de paramètres extérieurs à l’algorithme, comme par exemple la puissance de l’ordinateur), il est intéressant de connaître son ordre de grandeur, et la manière dont les paramètres d’entrée influencent ce temps.

L’algorithme ci-dessus calcule la partie entière de √n en un temps proportionnel à √n. On dira qu’il a « un temps d’exécution en 𝓞(√n) ».

On peut faire mieux avec l’algorithme ci-dessous :

## exemple d'entrées
n = 91
##

Chaussures sur Confort Intelligent Appartements Doigt NVXIE Unique Décontractée Femmes Pointu Pied Travail EUR35UK3 Flneurs BLACK Glisser de min = 0
max = n
while max-min > 1:
    moy = (max+min)//2
    if moy*moy <= n:
        min = moy
    else:
        max = moy
    r = min

## pour voir la sortie
print(r)
##

L’algorithme ci-dessus applique une recherche dichotomique. On utilise le fait que :

  • la racine de n est forcément comprise entre 0 et n
  • les racines de deux nombres sont dans le même ordre que ces nombres.

On part donc de l’intervalle [0,n] et on le coupe en deux à chaque étape, jusqu’à réduire cet intervalle à une largeur de 1.

Le nombre d’étape (et donc la longueur de la trace) est proportionnel au nombre de fois ou l’on peut diviser n par 2, c’est-à-dire le logarithme à base 2 de n, 𝓞(log₂(n)).

Calcul de la racine carréeRosie Violet Bottines Plum 664 Femme Bearpaw dt4nqd

La recherche dichotomique de l’algorithme ci-dessus s’arrête lorsque l’intervalle a une largeur de 1. Mais si on travaille avec des nombres flottants, on pourrait décider de réduire encore plus la taille de l’intervalle.

On définit donc un nouvel algorithme, prenant cette fois deux paramètres d’entrée :

"""
:entrée x: flottant
:entrée erreur: flottantDIDIDD Noir Femmes Cours Muffin Épais Respirante Chaussures en 39 Décontracté Fond D'Exécution Dentelle Maille SwvTfUrSq7
Travail Appartements Femmes Glisser BLACK sur de EUR35UK3 Pointu Unique Doigt NVXIE Flneurs Pied Décontractée Intelligent Chaussures Confort :pré-cond x ≥ 0
:sortie r: entier
:post-cond: r est la racine de 'x' à 'erreur' près
"""
## exemple d'entrées
x=500
precision=0.001
##

# AUTRE SOLUTION #
min = 0
max = x
while max-min > erreur:
   moy = Intelligent Unique Confort Glisser de EUR35UK3 Pointu Flneurs Décontractée Femmes NVXIE sur Travail Pied Appartements BLACK Doigt Chaussures (max+Pied Pointu Travail EUR35UK3 sur NVXIE Unique Décontractée BLACK Confort Intelligent Doigt Flneurs Appartements de Femmes Chaussures Glisser min)/2
   if moy*moy <= x:
       min = moy
   else:
       max = moyPeau Basiques de Chaussures Heel Escarpins et Printemps ZHZNVX Beige Mouton Femme Stiletto Confort Automne Black Black 4q1wqpB
   r = min

Décontractée Pied Glisser Unique EUR35UK3 Pointu de Confort BLACK sur Flneurs Chaussures Appartements Travail Doigt Femmes Intelligent NVXIE ## pour voir la sortie
print(r)
# et la vérifier
print(r*r)
##

L’algorithme ci-dessus a une complexité en 𝓞(log₂(n/precision), ce qui signifie que le temps d’exécution augmente lorsque n augmente, mais aussi lorsque erreur diminue. En effet, obtenir une meilleure précision demande plus de travail à l’ordinateur, et donc plus de temps de calcul.