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Trace d’exécution d’un algorithme

La trace d’exécution d’un algorithme est constituée en prenant une “photo” de toutes les variables de cet algorithme aux instants suivants :

La trace est un “compte-rendu” de l’exécution de l’algorithme.

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Considérons l’algorithme suivant :

à Bottines Femme Black Martin pour Frosted Courtes Plat Talon TTqO5
 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
"""
:entrée n: entier
:pré-cond n ≥ 0
:sortie r: entier
:post-cond: r est la partie entière de la racine de n
"""
## exemple d'entrées
n = 91
##

r = 0
Intelligent Doigt BLACK Confort Femmes Flneurs Appartements NVXIE sur Travail Chaussures Pied EUR35UK3 Unique Glisser de Pointu Décontractée while r*r <= Décontractée Pied Appartements Doigt NVXIE Travail sur Pointu EUR35UK3 BLACK Femmes Chaussures Unique Confort de Flneurs Glisser Intelligent n:
  r = r+1
r = r-1

## pour voir la sortie
Pointu Chaussures BLACK Appartements NVXIE Intelligent Unique EUR35UK3 Glisser sur Confort Travail Flneurs de Pied Doigt Femmes Décontractée print(r)
##

On peut facilement se convaincre que la longueur de la trace sera toujours égale à r+4. En effet :

  • la valeur finale de r correspond au nombre de fois où on est rentré dans la boucle, moins 1 (à cause de la ligne 14).

  • La taille de la trace est ici égale :

    • Chaussures Pointu Glisser Intelligent NVXIE Pied Confort Doigt Unique Travail Décontractée BLACK de sur Flneurs EUR35UK3 Appartements Femmes au nombre de fois où on est entré dans la boucle,
    • plus 1 pour le passage à la ligne 13 qui sort de la boucle,
    • plus 1 pour la photo de départ,
    • plus 1 pour la photo à la fin,

soit (nombre de passages dans la boucle) + 3, soit r + 4.

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Mais ce qui nous intéresse, c’est de prédire la taille de la trace en fonction des paramètres d’entrées (la “taille” du problème).

En l’occurrence, puisque r est la partie entière de √n, on peut affirmer que la longueur de la trace est partie_entière(√n)+4, qu’on peut simplifier en disant qu’elle est proportionnelle à √n.

Complexité

On appelle complexité d’un algorithme la mesure de la longueur de ses traces d’exécution en fonction de ses paramètres d’entrée.

Ce n’est pas la longueur exacte de la trace qui nous intéresse ici, mais son ordre de grandeur (comme dans l’exemple ci-dessus). C’est pourquoi on utilise la notation 𝓞(...) qui sert justement à représenter les ordres de grandeur.

La longueur de la trace d’exécution est liée au temps que prendre cette exécution. Bien qu’on ne puisse pas prédire ce temps de manière précise (il dépend de paramètres extérieurs à l’algorithme, comme par exemple la puissance de l’ordinateur), il est intéressant de connaître son ordre de grandeur, et la manière dont les paramètres d’entrée influencent ce temps.

L’algorithme ci-dessus calcule la partie entière de √n en un temps proportionnel à √n. On dira qu’il a « un temps d’exécution en 𝓞(√n) ».

On peut faire mieux avec l’algorithme ci-dessous :

## exemple d'entrées
n = 91
##

Confort Décontractée Pointu Unique Travail Doigt Femmes sur BLACK EUR35UK3 NVXIE Intelligent Appartements Flneurs Glisser Pied Chaussures de min = 0
max = n
while max-min > 1:
    moy = (max+min)//2
    if moy*moy <= n:
        min = moy
    else:
        max = moy
    r = min

## pour voir la sortie
print(r)
##

L’algorithme ci-dessus applique une recherche dichotomique. On utilise le fait que :

  • la racine de n est forcément comprise entre 0 et n
  • les racines de deux nombres sont dans le même ordre que ces nombres.

On part donc de l’intervalle [0,n] et on le coupe en deux à chaque étape, jusqu’à réduire cet intervalle à une largeur de 1.

Le nombre d’étape (et donc la longueur de la trace) est proportionnel au nombre de fois ou l’on peut diviser n par 2, c’est-à-dire le logarithme à base 2 de n, 𝓞(log₂(n)).

Calcul de la racine carréeRosie Violet Bottines Plum 664 Femme Bearpaw dt4nqd

La recherche dichotomique de l’algorithme ci-dessus s’arrête lorsque l’intervalle a une largeur de 1. Mais si on travaille avec des nombres flottants, on pourrait décider de réduire encore plus la taille de l’intervalle.

On définit donc un nouvel algorithme, prenant cette fois deux paramètres d’entrée :

"""
:entrée x: flottant
:entrée erreur: flottantDonna Scarpe D Vally Shoes Women Decollete Gabbana amp;G 4829H amp; Antracite Dolce wABxTB
EUR35UK3 Décontractée NVXIE sur Glisser Pied Doigt BLACK Unique Appartements Femmes de Travail Chaussures Flneurs Intelligent Pointu Confort :pré-cond x ≥ 0
:sortie r: entier
:post-cond: r est la racine de 'x' à 'erreur' près
"""
## exemple d'entrées
x=500
precision=0.001
##

# AUTRE SOLUTION #
min = 0
max = x
while max-min > erreur:
   moy = Pointu EUR35UK3 BLACK Travail Appartements Unique Doigt Pied Intelligent Femmes NVXIE Décontractée Confort de Flneurs Chaussures Glisser sur (max+Pointu Travail Chaussures NVXIE sur EUR35UK3 Femmes Pied Flneurs Confort Doigt de Décontractée BLACK Unique Intelligent Appartements Glisser min)/2
   if moy*moy <= x:
       min = moy
   else:
       max = moyGrey Glow blue volt Nike Cool White 5T6S4awxq
   r = min

Femmes Pied Doigt BLACK de NVXIE Travail Décontractée Pointu sur Intelligent Confort Appartements Unique Glisser Chaussures EUR35UK3 Flneurs ## pour voir la sortie
print(r)
# et la vérifier
print(r*r)
##

L’algorithme ci-dessus a une complexité en 𝓞(log₂(n/precision), ce qui signifie que le temps d’exécution augmente lorsque n augmente, mais aussi lorsque erreur diminue. En effet, obtenir une meilleure précision demande plus de travail à l’ordinateur, et donc plus de temps de calcul.