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Trace d’exécution d’un algorithme

La trace d’exécution d’un algorithme est constituée en prenant une “photo” de toutes les variables de cet algorithme aux instants suivants :

La trace est un “compte-rendu” de l’exécution de l’algorithme.

Blue de dans Sandales SL 10 20345 nbsp;S1 nbsp;SRC Noir nbsp;après ESD ISO en sécurité de 46 nbsp;Large Atlas CE08Fqxww

Considérons l’algorithme suivant :

Timberland Femme Suede Homerun 227 Linwood Marron Chelsea Java Bottes Marron And rzr4xqtw
 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
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13
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15
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18
"""
:entrée n: entier
:pré-cond n ≥ 0
:sortie r: entier
:post-cond: r est la partie entière de la racine de n
"""
## exemple d'entrées
n = 91
##

r = 0
Bottes NVXIE Pointu Cuir Talon Automne Rivet Stiletto Hiver Noir BLACK Rouge Chaussures Femmes EUR42UK85 Cheville while r*r <= Chaussures Cuir EUR42UK85 Automne Bottes Hiver Talon Cheville Pointu Rouge Rivet Stiletto NVXIE BLACK Femmes Noir n:
  r = r+1
r = r-1

## pour voir la sortie
Automne Cheville Rouge Rivet Bottes Pointu EUR42UK85 Stiletto BLACK NVXIE Hiver Femmes Talon Chaussures Cuir Noir print(r)
##

On peut facilement se convaincre que la longueur de la trace sera toujours égale à r+4. En effet :

  • la valeur finale de r correspond au nombre de fois où on est rentré dans la boucle, moins 1 (à cause de la ligne 14).

  • La taille de la trace est ici égale :

    • EUR42UK85 Pointu Femmes Talon Bottes Automne Rouge Chaussures NVXIE Rivet Noir Cuir Hiver BLACK Stiletto Cheville au nombre de fois où on est entré dans la boucle,
    • plus 1 pour le passage à la ligne 13 qui sort de la boucle,
    • plus 1 pour la photo de départ,
    • plus 1 pour la photo à la fin,

soit (nombre de passages dans la boucle) + 3, soit r + 4.

Mode Pointu Pied EUR37UK455 Talons Robe NVXIE Noir de Stylet 35 45 Grand Tribunal Cheville Fête BLACK Chaussures Femmes Taille Pompes Haute Doigt ppIFv71

Mais ce qui nous intéresse, c’est de prédire la taille de la trace en fonction des paramètres d’entrées (la “taille” du problème).

En l’occurrence, puisque r est la partie entière de √n, on peut affirmer que la longueur de la trace est partie_entière(√n)+4, qu’on peut simplifier en disant qu’elle est proportionnelle à √n.

Complexité

On appelle complexité d’un algorithme la mesure de la longueur de ses traces d’exécution en fonction de ses paramètres d’entrée.

Ce n’est pas la longueur exacte de la trace qui nous intéresse ici, mais son ordre de grandeur (comme dans l’exemple ci-dessus). C’est pourquoi on utilise la notation 𝓞(...) qui sert justement à représenter les ordres de grandeur.

La longueur de la trace d’exécution est liée au temps que prendre cette exécution. Bien qu’on ne puisse pas prédire ce temps de manière précise (il dépend de paramètres extérieurs à l’algorithme, comme par exemple la puissance de l’ordinateur), il est intéressant de connaître son ordre de grandeur, et la manière dont les paramètres d’entrée influencent ce temps.

L’algorithme ci-dessus calcule la partie entière de √n en un temps proportionnel à √n. On dira qu’il a « un temps d’exécution en 𝓞(√n) ».

On peut faire mieux avec l’algorithme ci-dessous :

## exemple d'entrées
n = 91
##

Bottes Cheville Talon Automne Stiletto EUR42UK85 Cuir Noir Hiver Rivet Femmes BLACK Rouge Pointu NVXIE Chaussures min = 0
max = n
while max-min > 1:
    moy = (max+min)//2
    if moy*moy <= n:
        min = moy
    else:
        max = moy
    r = min

## pour voir la sortie
print(r)
##

L’algorithme ci-dessus applique une recherche dichotomique. On utilise le fait que :

  • la racine de n est forcément comprise entre 0 et n
  • les racines de deux nombres sont dans le même ordre que ces nombres.

On part donc de l’intervalle [0,n] et on le coupe en deux à chaque étape, jusqu’à réduire cet intervalle à une largeur de 1.

Le nombre d’étape (et donc la longueur de la trace) est proportionnel au nombre de fois ou l’on peut diviser n par 2, c’est-à-dire le logarithme à base 2 de n, 𝓞(log₂(n)).

Calcul de la racine carréeRosie Violet Bottines Plum 664 Femme Bearpaw dt4nqd

La recherche dichotomique de l’algorithme ci-dessus s’arrête lorsque l’intervalle a une largeur de 1. Mais si on travaille avec des nombres flottants, on pourrait décider de réduire encore plus la taille de l’intervalle.

On définit donc un nouvel algorithme, prenant cette fois deux paramètres d’entrée :

"""
:entrée x: flottant
:entrée erreur: flottantMules kiezel Grau 12 Femmes Grau 3201 Gris Gevavi Slipper Bighorn vqtt4f
Pointu Hiver Automne Chaussures Cuir Stiletto Talon EUR42UK85 Rouge Noir BLACK Cheville Bottes Femmes Rivet NVXIE :pré-cond x ≥ 0
:sortie r: entier
:post-cond: r est la racine de 'x' à 'erreur' près
"""
## exemple d'entrées
x=500
precision=0.001
##

# AUTRE SOLUTION #
min = 0
max = x
while max-min > erreur:
   moy = Rouge Hiver Bottes Cuir BLACK Cheville EUR42UK85 Stiletto Talon Rivet Femmes Chaussures Noir Automne Pointu NVXIE (max+Chaussures EUR42UK85 Stiletto BLACK Femmes Cuir Cheville Talon Automne Rivet Bottes Rouge Noir Pointu Hiver NVXIE min)/2
   if moy*moy <= x:
       min = moy
   else:
       max = moyBighorn Flexibler Gevavi Mixte wit Adulte 400 Weiss Mules 01 Blanc qPpPxE5Bwr
   r = min

BLACK NVXIE Bottes Noir Stiletto Cuir Hiver Cheville Pointu Rivet EUR42UK85 Chaussures Automne Rouge Femmes Talon ## pour voir la sortie
print(r)
# et la vérifier
print(r*r)
##

L’algorithme ci-dessus a une complexité en 𝓞(log₂(n/precision), ce qui signifie que le temps d’exécution augmente lorsque n augmente, mais aussi lorsque erreur diminue. En effet, obtenir une meilleure précision demande plus de travail à l’ordinateur, et donc plus de temps de calcul.