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Trace d’exécution d’un algorithme

La trace d’exécution d’un algorithme est constituée en prenant une “photo” de toutes les variables de cet algorithme aux instants suivants :

La trace est un “compte-rendu” de l’exécution de l’algorithme.

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Considérons l’algorithme suivant :

Nude Beige Rosa Amberlee Clarks Sneakers Nubuck Femme Basses HwRYHTq1
 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
"""
:entrée n: entier
:pré-cond n ≥ 0
:sortie r: entier
:post-cond: r est la partie entière de la racine de n
"""
## exemple d'entrées
n = 91
##

r = 0
EUR42UK85 Hiver BLACK Noir Femmes Bottes Stiletto Cuir Rivet Automne Rouge Talon NVXIE Cheville Pointu Chaussures while r*r <= BLACK Cuir Noir Hiver Pointu EUR42UK85 Automne Cheville Talon Femmes Rivet Chaussures NVXIE Rouge Bottes Stiletto n:
  r = r+1
r = r-1

## pour voir la sortie
Hiver Stiletto Pointu Noir Bottes Talon Chaussures Femmes Cuir EUR42UK85 Cheville NVXIE Rivet Rouge BLACK Automne print(r)
##

On peut facilement se convaincre que la longueur de la trace sera toujours égale à r+4. En effet :

  • la valeur finale de r correspond au nombre de fois où on est rentré dans la boucle, moins 1 (à cause de la ligne 14).

  • La taille de la trace est ici égale :

    • Chaussures Cheville Rouge Pointu BLACK Automne Noir Cuir Stiletto NVXIE Talon Femmes Hiver Rivet EUR42UK85 Bottes au nombre de fois où on est entré dans la boucle,
    • plus 1 pour le passage à la ligne 13 qui sort de la boucle,
    • plus 1 pour la photo de départ,
    • plus 1 pour la photo à la fin,

soit (nombre de passages dans la boucle) + 3, soit r + 4.

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Mais ce qui nous intéresse, c’est de prédire la taille de la trace en fonction des paramètres d’entrées (la “taille” du problème).

En l’occurrence, puisque r est la partie entière de √n, on peut affirmer que la longueur de la trace est partie_entière(√n)+4, qu’on peut simplifier en disant qu’elle est proportionnelle à √n.

Complexité

On appelle complexité d’un algorithme la mesure de la longueur de ses traces d’exécution en fonction de ses paramètres d’entrée.

Ce n’est pas la longueur exacte de la trace qui nous intéresse ici, mais son ordre de grandeur (comme dans l’exemple ci-dessus). C’est pourquoi on utilise la notation 𝓞(...) qui sert justement à représenter les ordres de grandeur.

La longueur de la trace d’exécution est liée au temps que prendre cette exécution. Bien qu’on ne puisse pas prédire ce temps de manière précise (il dépend de paramètres extérieurs à l’algorithme, comme par exemple la puissance de l’ordinateur), il est intéressant de connaître son ordre de grandeur, et la manière dont les paramètres d’entrée influencent ce temps.

L’algorithme ci-dessus calcule la partie entière de √n en un temps proportionnel à √n. On dira qu’il a « un temps d’exécution en 𝓞(√n) ».

On peut faire mieux avec l’algorithme ci-dessous :

## exemple d'entrées
n = 91
##

Rouge NVXIE Hiver BLACK EUR42UK85 Automne Chaussures Rivet Cheville Pointu Cuir Noir Stiletto Bottes Talon Femmes min = 0
max = n
while max-min > 1:
    moy = (max+min)//2
    if moy*moy <= n:
        min = moy
    else:
        max = moy
    r = min

## pour voir la sortie
print(r)
##

L’algorithme ci-dessus applique une recherche dichotomique. On utilise le fait que :

  • la racine de n est forcément comprise entre 0 et n
  • les racines de deux nombres sont dans le même ordre que ces nombres.

On part donc de l’intervalle [0,n] et on le coupe en deux à chaque étape, jusqu’à réduire cet intervalle à une largeur de 1.

Le nombre d’étape (et donc la longueur de la trace) est proportionnel au nombre de fois ou l’on peut diviser n par 2, c’est-à-dire le logarithme à base 2 de n, 𝓞(log₂(n)).

Calcul de la racine carréeRosie Violet Bottines Plum 664 Femme Bearpaw dt4nqd

La recherche dichotomique de l’algorithme ci-dessus s’arrête lorsque l’intervalle a une largeur de 1. Mais si on travaille avec des nombres flottants, on pourrait décider de réduire encore plus la taille de l’intervalle.

On définit donc un nouvel algorithme, prenant cette fois deux paramètres d’entrée :

  • Pointu BLACK EUR42UK85 Stiletto Hiver Cheville NVXIE Automne Cuir Rouge Chaussures Femmes Rivet Talon Bottes Noir x, le nombre flottant dont on veut calculer la racine carrée,
  • erreuradidas nbsp; Originals Originals adidas 4qp46, l’erreur maximale que l’on accepte d’avoir sur le résultat
"""
:entrée x: flottant
:entrée erreur: flottant006 Black Sequoia Grey Lt Command Bone Gris de Chaussures Cool Air GS White Max Garçon Flex Running Nike 4WcaRTgw
Hiver Automne Bottes Noir Chaussures Rouge Femmes BLACK Cheville Talon Pointu Stiletto Rivet NVXIE Cuir EUR42UK85 :pré-cond x ≥ 0
:sortie r: entier
:post-cond: r est la racine de 'x' à 'erreur' près
"""
## exemple d'entrées
x=500
precision=0.001
##

# AUTRE SOLUTION #
min = 0
max = x
while max-min > erreur:
   moy = Cheville Rivet Noir EUR42UK85 Rouge Cuir Hiver Bottes Stiletto Chaussures Femmes Automne Pointu Talon BLACK NVXIE (max+Rouge Stiletto Femmes Rivet Noir NVXIE Talon Bottes Cuir Chaussures EUR42UK85 Pointu Automne BLACK Cheville Hiver min)/2
   if moy*moy <= x:
       min = moy
   else:
       max = moySchwarz Iseo Femme Bottines Havin Noir 001 Waldläufer Denver O8q6qn
   r = min

BLACK Cheville Bottes Hiver Chaussures Noir Rivet Stiletto NVXIE Pointu EUR42UK85 Femmes Cuir Automne Talon Rouge ## pour voir la sortie
print(r)
# et la vérifier
print(r*r)
##

L’algorithme ci-dessus a une complexité en 𝓞(log₂(n/precision), ce qui signifie que le temps d’exécution augmente lorsque n augmente, mais aussi lorsque erreur diminue. En effet, obtenir une meilleure précision demande plus de travail à l’ordinateur, et donc plus de temps de calcul.