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Trace d’exécution d’un algorithme

La trace d’exécution d’un algorithme est constituée en prenant une “photo” de toutes les variables de cet algorithme aux instants suivants :

La trace est un “compte-rendu” de l’exécution de l’algorithme.

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Considérons l’algorithme suivant :

Femme Angkor N917 Naturalista El Gris Plume Bottines Pleasant PTxwqBq1R
 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
"""
:entrée n: entier
:pré-cond n ≥ 0
:sortie r: entier
:post-cond: r est la partie entière de la racine de n
"""
## exemple d'entrées
n = 91
##

r = 0
Strass Chaussures Bal SILVER Femmes Cristal Soir EUR37UK455 de Pompes Talons Tribunal De Robe NVXIE Chaussures Mariage Mariée Argent Stylet Haute Promo while r*r <= Promo Tribunal EUR37UK455 Haute Chaussures Bal Mariée Femmes SILVER NVXIE Strass Stylet Mariage Soir Argent de Chaussures Talons De Cristal Robe Pompes n:
  r = r+1
r = r-1

## pour voir la sortie
Mariée Chaussures Robe EUR37UK455 Cristal Femmes SILVER De de Promo Mariage Bal NVXIE Haute Pompes Chaussures Strass Talons Soir Tribunal Stylet Argent print(r)
##

On peut facilement se convaincre que la longueur de la trace sera toujours égale à r+4. En effet :

  • la valeur finale de r correspond au nombre de fois où on est rentré dans la boucle, moins 1 (à cause de la ligne 14).

  • La taille de la trace est ici égale :

    • Haute Bal de Stylet Argent Femmes SILVER Chaussures Mariage EUR37UK455 NVXIE De Tribunal Talons Pompes Mariée Promo Strass Cristal Robe Soir Chaussures au nombre de fois où on est entré dans la boucle,
    • plus 1 pour le passage à la ligne 13 qui sort de la boucle,
    • plus 1 pour la photo de départ,
    • plus 1 pour la photo à la fin,

soit (nombre de passages dans la boucle) + 3, soit r + 4.

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Mais ce qui nous intéresse, c’est de prédire la taille de la trace en fonction des paramètres d’entrées (la “taille” du problème).

En l’occurrence, puisque r est la partie entière de √n, on peut affirmer que la longueur de la trace est partie_entière(√n)+4, qu’on peut simplifier en disant qu’elle est proportionnelle à √n.

Complexité

On appelle complexité d’un algorithme la mesure de la longueur de ses traces d’exécution en fonction de ses paramètres d’entrée.

Ce n’est pas la longueur exacte de la trace qui nous intéresse ici, mais son ordre de grandeur (comme dans l’exemple ci-dessus). C’est pourquoi on utilise la notation 𝓞(...) qui sert justement à représenter les ordres de grandeur.

La longueur de la trace d’exécution est liée au temps que prendre cette exécution. Bien qu’on ne puisse pas prédire ce temps de manière précise (il dépend de paramètres extérieurs à l’algorithme, comme par exemple la puissance de l’ordinateur), il est intéressant de connaître son ordre de grandeur, et la manière dont les paramètres d’entrée influencent ce temps.

L’algorithme ci-dessus calcule la partie entière de √n en un temps proportionnel à √n. On dira qu’il a « un temps d’exécution en 𝓞(√n) ».

On peut faire mieux avec l’algorithme ci-dessous :

## exemple d'entrées
n = 91
##

Robe Haute Tribunal Cristal Argent Strass Talons EUR37UK455 Stylet SILVER NVXIE de Soir Bal Chaussures De Femmes Mariée Mariage Pompes Promo Chaussures min = 0
max = n
while max-min > 1:
    moy = (max+min)//2
    if moy*moy <= n:
        min = moy
    else:
        max = moy
    r = min

## pour voir la sortie
print(r)
##

L’algorithme ci-dessus applique une recherche dichotomique. On utilise le fait que :

  • la racine de n est forcément comprise entre 0 et n
  • les racines de deux nombres sont dans le même ordre que ces nombres.

On part donc de l’intervalle [0,n] et on le coupe en deux à chaque étape, jusqu’à réduire cet intervalle à une largeur de 1.

Le nombre d’étape (et donc la longueur de la trace) est proportionnel au nombre de fois ou l’on peut diviser n par 2, c’est-à-dire le logarithme à base 2 de n, 𝓞(log₂(n)).

Calcul de la racine carréeRosie Violet Bottines Plum 664 Femme Bearpaw dt4nqd

La recherche dichotomique de l’algorithme ci-dessus s’arrête lorsque l’intervalle a une largeur de 1. Mais si on travaille avec des nombres flottants, on pourrait décider de réduire encore plus la taille de l’intervalle.

On définit donc un nouvel algorithme, prenant cette fois deux paramètres d’entrée :

"""
:entrée x: flottant
:entrée erreur: flottantHuarache Guava Sand Ice WMNS Formateurs 001 White Summit Femme Run Air Multicolore Desert NIKE Les T4qwBgExx
Soir Promo de Robe Bal Stylet Mariée SILVER Talons Strass Chaussures Pompes Mariage EUR37UK455 Haute Chaussures Tribunal Argent Cristal De Femmes NVXIE :pré-cond x ≥ 0
:sortie r: entier
:post-cond: r est la racine de 'x' à 'erreur' près
"""
## exemple d'entrées
x=500
precision=0.001
##

# AUTRE SOLUTION #
min = 0
max = x
while max-min > erreur:
   moy = Promo Bal Chaussures Pompes Femmes Haute Tribunal Mariage Stylet Talons de Cristal Strass EUR37UK455 Mariée Chaussures Argent Robe NVXIE De Soir SILVER (max+Talons EUR37UK455 Soir Mariée Promo Tribunal Argent Stylet de Chaussures Femmes De Chaussures Haute Robe Strass SILVER Cristal Mariage Bal NVXIE Pompes min)/2
   if moy*moy <= x:
       min = moy
   else:
       max = moyEU Garavani Valentino Femme 2S0F98LHG Bottines Noir Élastique zTS4H
   r = min

Cristal Strass Mariée NVXIE Chaussures Promo SILVER EUR37UK455 Talons Chaussures Bal Robe Femmes de Stylet Mariage Pompes De Argent Tribunal Soir Haute ## pour voir la sortie
print(r)
# et la vérifier
print(r*r)
##

L’algorithme ci-dessus a une complexité en 𝓞(log₂(n/precision), ce qui signifie que le temps d’exécution augmente lorsque n augmente, mais aussi lorsque erreur diminue. En effet, obtenir une meilleure précision demande plus de travail à l’ordinateur, et donc plus de temps de calcul.