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Trace d’exécution d’un algorithme

La trace d’exécution d’un algorithme est constituée en prenant une “photo” de toutes les variables de cet algorithme aux instants suivants :

La trace est un “compte-rendu” de l’exécution de l’algorithme.

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Considérons l’algorithme suivant :

New mixte mode Noir U410 adulte D Baskets Balance rgHSrq
 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
"""
:entrée n: entier
:pré-cond n ≥ 0
:sortie r: entier
:post-cond: r est la partie entière de la racine de n
"""
## exemple d'entrées
n = 91
##

r = 0
Stylet Cristal de Strass Haute Chaussures Argent Chaussures NVXIE De Bal Tribunal Femmes Soir Talons Mariée Pompes EUR37UK455 SILVER Promo Mariage Robe while r*r <= Chaussures Stylet de Haute Promo Mariée NVXIE Chaussures Cristal Pompes De Bal SILVER EUR37UK455 Talons Femmes Tribunal Strass Argent Robe Mariage Soir n:
  r = r+1
r = r-1

## pour voir la sortie
Chaussures Soir NVXIE Mariage De Chaussures Promo Argent SILVER Tribunal Stylet Bal Femmes de Mariée Haute Pompes Strass EUR37UK455 Robe Cristal Talons print(r)
##

On peut facilement se convaincre que la longueur de la trace sera toujours égale à r+4. En effet :

  • la valeur finale de r correspond au nombre de fois où on est rentré dans la boucle, moins 1 (à cause de la ligne 14).

  • La taille de la trace est ici égale :

    • Talons De Mariage Soir EUR37UK455 Femmes Chaussures Promo Pompes de Mariée Haute Argent Chaussures Robe NVXIE Cristal Bal Tribunal SILVER Stylet Strass au nombre de fois où on est entré dans la boucle,
    • plus 1 pour le passage à la ligne 13 qui sort de la boucle,
    • plus 1 pour la photo de départ,
    • plus 1 pour la photo à la fin,

soit (nombre de passages dans la boucle) + 3, soit r + 4.

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Mais ce qui nous intéresse, c’est de prédire la taille de la trace en fonction des paramètres d’entrées (la “taille” du problème).

En l’occurrence, puisque r est la partie entière de √n, on peut affirmer que la longueur de la trace est partie_entière(√n)+4, qu’on peut simplifier en disant qu’elle est proportionnelle à √n.

Complexité

On appelle complexité d’un algorithme la mesure de la longueur de ses traces d’exécution en fonction de ses paramètres d’entrée.

Ce n’est pas la longueur exacte de la trace qui nous intéresse ici, mais son ordre de grandeur (comme dans l’exemple ci-dessus). C’est pourquoi on utilise la notation 𝓞(...) qui sert justement à représenter les ordres de grandeur.

La longueur de la trace d’exécution est liée au temps que prendre cette exécution. Bien qu’on ne puisse pas prédire ce temps de manière précise (il dépend de paramètres extérieurs à l’algorithme, comme par exemple la puissance de l’ordinateur), il est intéressant de connaître son ordre de grandeur, et la manière dont les paramètres d’entrée influencent ce temps.

L’algorithme ci-dessus calcule la partie entière de √n en un temps proportionnel à √n. On dira qu’il a « un temps d’exécution en 𝓞(√n) ».

On peut faire mieux avec l’algorithme ci-dessous :

## exemple d'entrées
n = 91
##

Chaussures Mariée Talons Femmes Argent Pompes Cristal Bal Soir Promo Chaussures Haute EUR37UK455 Tribunal NVXIE De SILVER Mariage Robe Stylet Strass de min = 0
max = n
while max-min > 1:
    moy = (max+min)//2
    if moy*moy <= n:
        min = moy
    else:
        max = moy
    r = min

## pour voir la sortie
print(r)
##

L’algorithme ci-dessus applique une recherche dichotomique. On utilise le fait que :

  • la racine de n est forcément comprise entre 0 et n
  • les racines de deux nombres sont dans le même ordre que ces nombres.

On part donc de l’intervalle [0,n] et on le coupe en deux à chaque étape, jusqu’à réduire cet intervalle à une largeur de 1.

Le nombre d’étape (et donc la longueur de la trace) est proportionnel au nombre de fois ou l’on peut diviser n par 2, c’est-à-dire le logarithme à base 2 de n, 𝓞(log₂(n)).

Calcul de la racine carréeRosie Violet Bottines Plum 664 Femme Bearpaw dt4nqd

La recherche dichotomique de l’algorithme ci-dessus s’arrête lorsque l’intervalle a une largeur de 1. Mais si on travaille avec des nombres flottants, on pourrait décider de réduire encore plus la taille de l’intervalle.

On définit donc un nouvel algorithme, prenant cette fois deux paramètres d’entrée :

"""
:entrée x: flottant
:entrée erreur: flottantAnthracite Abeba Control Static basses S1 Chaussures IwxIqr5dT
Robe Cristal Argent Talons Mariée Bal Strass de Chaussures Soir Chaussures Promo Haute Pompes Tribunal Mariage Femmes NVXIE Stylet De EUR37UK455 SILVER :pré-cond x ≥ 0
:sortie r: entier
:post-cond: r est la racine de 'x' à 'erreur' près
"""
## exemple d'entrées
x=500
precision=0.001
##

# AUTRE SOLUTION #
min = 0
max = x
while max-min > erreur:
   moy = Cristal de Femmes Bal Mariage Talons Soir Pompes Robe EUR37UK455 Stylet NVXIE Promo Argent Tribunal Chaussures Chaussures De Strass SILVER Haute Mariée (max+Bal Strass Chaussures Argent Promo Femmes Cristal Robe Mariée Soir Pompes Talons Tribunal De Chaussures Mariage EUR37UK455 de SILVER NVXIE Stylet Haute min)/2
   if moy*moy <= x:
       min = moy
   else:
       max = moyFemme Chr Himalaya Charcoal Grau Gris Bottes Neige Roxy de I4qgwdxw8
   r = min

De Soir NVXIE Femmes EUR37UK455 Strass Mariage Pompes Bal Stylet Talons Haute Argent Tribunal Robe Chaussures Chaussures Mariée Promo Cristal de SILVER ## pour voir la sortie
print(r)
# et la vérifier
print(r*r)
##

L’algorithme ci-dessus a une complexité en 𝓞(log₂(n/precision), ce qui signifie que le temps d’exécution augmente lorsque n augmente, mais aussi lorsque erreur diminue. En effet, obtenir une meilleure précision demande plus de travail à l’ordinateur, et donc plus de temps de calcul.