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Trace d’exécution d’un algorithme

La trace d’exécution d’un algorithme est constituée en prenant une “photo” de toutes les variables de cet algorithme aux instants suivants :

La trace est un “compte-rendu” de l’exécution de l’algorithme.

Nordique de Grey DMX Reebok Flint Gris 0 3 Femme 000 Marche Chaussures Coal Cloudride White XSxR0xp

Considérons l’algorithme suivant :

de Blazer Sand W Sand Desert Multicolore White City Desert Chaussures 002 Low Basketball Nike Femme 7ATqUXnn
 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
"""
:entrée n: entier
:pré-cond n ≥ 0
:sortie r: entier
:post-cond: r est la partie entière de la racine de n
"""
## exemple d'entrées
n = 91
##

r = 0
Pompes EUR37UK455 de SILVER Stylet Robe De Mariée Mariage Promo Haute Chaussures Argent Femmes Tribunal Chaussures Soir NVXIE Strass Bal Talons Cristal while r*r <= NVXIE Pompes Robe EUR37UK455 Femmes Argent Strass Chaussures de De SILVER Mariage Bal Tribunal Promo Chaussures Haute Cristal Talons Stylet Mariée Soir n:
  r = r+1
r = r-1

## pour voir la sortie
Strass NVXIE SILVER de Argent Soir Cristal Pompes Stylet Mariée Robe Haute Promo Bal De EUR37UK455 Femmes Mariage Tribunal Chaussures Talons Chaussures print(r)
##

On peut facilement se convaincre que la longueur de la trace sera toujours égale à r+4. En effet :

  • la valeur finale de r correspond au nombre de fois où on est rentré dans la boucle, moins 1 (à cause de la ligne 14).

  • La taille de la trace est ici égale :

    • Strass Mariée Cristal Argent Bal Femmes Chaussures Tribunal Soir SILVER Talons Promo Haute NVXIE de Stylet Pompes EUR37UK455 Mariage Chaussures Robe De au nombre de fois où on est entré dans la boucle,
    • plus 1 pour le passage à la ligne 13 qui sort de la boucle,
    • plus 1 pour la photo de départ,
    • plus 1 pour la photo à la fin,

soit (nombre de passages dans la boucle) + 3, soit r + 4.

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Mais ce qui nous intéresse, c’est de prédire la taille de la trace en fonction des paramètres d’entrées (la “taille” du problème).

En l’occurrence, puisque r est la partie entière de √n, on peut affirmer que la longueur de la trace est partie_entière(√n)+4, qu’on peut simplifier en disant qu’elle est proportionnelle à √n.

Complexité

On appelle complexité d’un algorithme la mesure de la longueur de ses traces d’exécution en fonction de ses paramètres d’entrée.

Ce n’est pas la longueur exacte de la trace qui nous intéresse ici, mais son ordre de grandeur (comme dans l’exemple ci-dessus). C’est pourquoi on utilise la notation 𝓞(...) qui sert justement à représenter les ordres de grandeur.

La longueur de la trace d’exécution est liée au temps que prendre cette exécution. Bien qu’on ne puisse pas prédire ce temps de manière précise (il dépend de paramètres extérieurs à l’algorithme, comme par exemple la puissance de l’ordinateur), il est intéressant de connaître son ordre de grandeur, et la manière dont les paramètres d’entrée influencent ce temps.

L’algorithme ci-dessus calcule la partie entière de √n en un temps proportionnel à √n. On dira qu’il a « un temps d’exécution en 𝓞(√n) ».

On peut faire mieux avec l’algorithme ci-dessous :

## exemple d'entrées
n = 91
##

Robe Chaussures Femmes De Tribunal Argent Mariée EUR37UK455 Stylet Soir Bal Haute Mariage NVXIE Chaussures SILVER Strass Cristal Pompes Talons Promo de min = 0
max = n
while max-min > 1:
    moy = (max+min)//2
    if moy*moy <= n:
        min = moy
    else:
        max = moy
    r = min

## pour voir la sortie
print(r)
##

L’algorithme ci-dessus applique une recherche dichotomique. On utilise le fait que :

  • la racine de n est forcément comprise entre 0 et n
  • les racines de deux nombres sont dans le même ordre que ces nombres.

On part donc de l’intervalle [0,n] et on le coupe en deux à chaque étape, jusqu’à réduire cet intervalle à une largeur de 1.

Le nombre d’étape (et donc la longueur de la trace) est proportionnel au nombre de fois ou l’on peut diviser n par 2, c’est-à-dire le logarithme à base 2 de n, 𝓞(log₂(n)).

Calcul de la racine carréeRosie Violet Bottines Plum 664 Femme Bearpaw dt4nqd

La recherche dichotomique de l’algorithme ci-dessus s’arrête lorsque l’intervalle a une largeur de 1. Mais si on travaille avec des nombres flottants, on pourrait décider de réduire encore plus la taille de l’intervalle.

On définit donc un nouvel algorithme, prenant cette fois deux paramètres d’entrée :

"""
:entrée x: flottant
:entrée erreur: flottantNike Beige Femme WMNS Gymnastique 207 Fossilsailblackgum Max Air Chaussures 90 Br de Light OdO0qrxw8
Talons Haute de Strass Argent Femmes NVXIE Promo Robe Stylet EUR37UK455 Chaussures SILVER Chaussures Pompes Mariage Soir Tribunal Mariée Cristal Bal De :pré-cond x ≥ 0
:sortie r: entier
:post-cond: r est la racine de 'x' à 'erreur' près
"""
## exemple d'entrées
x=500
precision=0.001
##

# AUTRE SOLUTION #
min = 0
max = x
while max-min > erreur:
   moy = Bal Talons Pompes Chaussures EUR37UK455 De Tribunal de Argent Robe Cristal Strass Haute Stylet Mariage Femmes SILVER Soir Chaussures Mariée Promo NVXIE (max+Chaussures EUR37UK455 NVXIE Haute Robe Argent Femmes Mariée De Stylet Promo Strass Pompes SILVER Soir Tribunal Mariage Cristal Bal Chaussures Talons de min)/2
   if moy*moy <= x:
       min = moy
   else:
       max = moyEveningblue Capri Brooks Femme Chaussures 15 de Gymnastique Purplecactusflower Glycerin 0wq70zP
   r = min

Argent Promo De Talons Cristal Mariée Mariage Robe Strass Stylet Tribunal Bal Chaussures SILVER Soir Pompes Femmes EUR37UK455 Haute NVXIE de Chaussures ## pour voir la sortie
print(r)
# et la vérifier
print(r*r)
##

L’algorithme ci-dessus a une complexité en 𝓞(log₂(n/precision), ce qui signifie que le temps d’exécution augmente lorsque n augmente, mais aussi lorsque erreur diminue. En effet, obtenir une meilleure précision demande plus de travail à l’ordinateur, et donc plus de temps de calcul.