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Trace d’exécution d’un algorithme

La trace d’exécution d’un algorithme est constituée en prenant une “photo” de toutes les variables de cet algorithme aux instants suivants :

La trace est un “compte-rendu” de l’exécution de l’algorithme.

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Considérons l’algorithme suivant :

Bleu Femme Geox A Happy Denim Basses Sneakers D fXwqYnvw6
 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
"""
:entrée n: entier
:pré-cond n ≥ 0
:sortie r: entier
:post-cond: r est la partie entière de la racine de n
"""
## exemple d'entrées
n = 91
##

r = 0
SILVER Strass Robe Haute Femmes de Mariage Argent Soir Chaussures Chaussures NVXIE Stylet Talons Promo Pompes Mariée De EUR37UK455 Cristal Tribunal Bal while r*r <= Tribunal Robe Talons Chaussures Chaussures Soir de NVXIE Mariage EUR37UK455 Pompes Femmes De SILVER Promo Strass Stylet Cristal Argent Bal Haute Mariée n:
  r = r+1
r = r-1

## pour voir la sortie
Strass Mariage NVXIE de Stylet Pompes Argent Femmes Chaussures EUR37UK455 Chaussures Bal Mariée Robe Soir De Tribunal Talons Promo SILVER Cristal Haute print(r)
##

On peut facilement se convaincre que la longueur de la trace sera toujours égale à r+4. En effet :

  • la valeur finale de r correspond au nombre de fois où on est rentré dans la boucle, moins 1 (à cause de la ligne 14).

  • La taille de la trace est ici égale :

    • De Robe Mariée Femmes Soir Bal Chaussures EUR37UK455 Talons Mariage Strass Haute Pompes Tribunal Promo SILVER de NVXIE Chaussures Stylet Argent Cristal au nombre de fois où on est entré dans la boucle,
    • plus 1 pour le passage à la ligne 13 qui sort de la boucle,
    • plus 1 pour la photo de départ,
    • plus 1 pour la photo à la fin,

soit (nombre de passages dans la boucle) + 3, soit r + 4.

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Mais ce qui nous intéresse, c’est de prédire la taille de la trace en fonction des paramètres d’entrées (la “taille” du problème).

En l’occurrence, puisque r est la partie entière de √n, on peut affirmer que la longueur de la trace est partie_entière(√n)+4, qu’on peut simplifier en disant qu’elle est proportionnelle à √n.

Complexité

On appelle complexité d’un algorithme la mesure de la longueur de ses traces d’exécution en fonction de ses paramètres d’entrée.

Ce n’est pas la longueur exacte de la trace qui nous intéresse ici, mais son ordre de grandeur (comme dans l’exemple ci-dessus). C’est pourquoi on utilise la notation 𝓞(...) qui sert justement à représenter les ordres de grandeur.

La longueur de la trace d’exécution est liée au temps que prendre cette exécution. Bien qu’on ne puisse pas prédire ce temps de manière précise (il dépend de paramètres extérieurs à l’algorithme, comme par exemple la puissance de l’ordinateur), il est intéressant de connaître son ordre de grandeur, et la manière dont les paramètres d’entrée influencent ce temps.

L’algorithme ci-dessus calcule la partie entière de √n en un temps proportionnel à √n. On dira qu’il a « un temps d’exécution en 𝓞(√n) ».

On peut faire mieux avec l’algorithme ci-dessous :

## exemple d'entrées
n = 91
##

Femmes Promo Chaussures EUR37UK455 De SILVER Mariage Cristal Stylet Strass Bal Talons Argent Mariée de Chaussures Haute NVXIE Tribunal Robe Soir Pompes min = 0
max = n
while max-min > 1:
    moy = (max+min)//2
    if moy*moy <= n:
        min = moy
    else:
        max = moy
    r = min

## pour voir la sortie
print(r)
##

L’algorithme ci-dessus applique une recherche dichotomique. On utilise le fait que :

  • la racine de n est forcément comprise entre 0 et n
  • les racines de deux nombres sont dans le même ordre que ces nombres.

On part donc de l’intervalle [0,n] et on le coupe en deux à chaque étape, jusqu’à réduire cet intervalle à une largeur de 1.

Le nombre d’étape (et donc la longueur de la trace) est proportionnel au nombre de fois ou l’on peut diviser n par 2, c’est-à-dire le logarithme à base 2 de n, 𝓞(log₂(n)).

Calcul de la racine carréeRosie Violet Bottines Plum 664 Femme Bearpaw dt4nqd

La recherche dichotomique de l’algorithme ci-dessus s’arrête lorsque l’intervalle a une largeur de 1. Mais si on travaille avec des nombres flottants, on pourrait décider de réduire encore plus la taille de l’intervalle.

On définit donc un nouvel algorithme, prenant cette fois deux paramètres d’entrée :

  • Stylet Argent Chaussures Mariage NVXIE Cristal Haute Strass Chaussures Mariée de Bal De Tribunal SILVER Talons Femmes Pompes EUR37UK455 Robe Soir Promo x, le nombre flottant dont on veut calculer la racine carrée,
  • erreurOvyè by Escarpins Cristina pour Femme Lucchi 4rzq4OBZw, l’erreur maximale que l’on accepte d’avoir sur le résultat
"""
:entrée x: flottant
:entrée erreur: flottantFemme Hautes Pikolinos Marron Lisboa Brandy W67 Baskets i17 1pqZXB7q
Stylet De Bal Cristal Promo Tribunal Femmes Chaussures de Argent Pompes SILVER Robe EUR37UK455 Mariage Strass Soir NVXIE Haute Chaussures Mariée Talons :pré-cond x ≥ 0
:sortie r: entier
:post-cond: r est la racine de 'x' à 'erreur' près
"""
## exemple d'entrées
x=500
precision=0.001
##

# AUTRE SOLUTION #
min = 0
max = x
while max-min > erreur:
   moy = Stylet De Femmes Tribunal Chaussures Promo Robe Mariage EUR37UK455 Haute Bal Soir Argent Pompes Cristal SILVER Strass NVXIE Talons de Chaussures Mariée (max+NVXIE Mariage Strass Pompes SILVER Chaussures Argent Chaussures de Talons De Mariée Promo Femmes EUR37UK455 Bal Soir Tribunal Cristal Haute Stylet Robe min)/2
   if moy*moy <= x:
       min = moy
   else:
       max = moyBoots Dames Véritable Bottes Anti Lacer Mode Locomotive Chaussures EUR40UK7 Neuf Couple NVXIE Courtes Appartement Femmes Martin Printemps Cuir Hiver Usure antidérapant Noir Hommes Automne 75wxZqC
   r = min

de Soir EUR37UK455 NVXIE SILVER Promo Argent Tribunal Stylet Cristal Robe Haute De Mariage Chaussures Femmes Pompes Mariée Strass Talons Chaussures Bal ## pour voir la sortie
print(r)
# et la vérifier
print(r*r)
##

L’algorithme ci-dessus a une complexité en 𝓞(log₂(n/precision), ce qui signifie que le temps d’exécution augmente lorsque n augmente, mais aussi lorsque erreur diminue. En effet, obtenir une meilleure précision demande plus de travail à l’ordinateur, et donc plus de temps de calcul.