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Trace d’exécution d’un algorithme

La trace d’exécution d’un algorithme est constituée en prenant une “photo” de toutes les variables de cet algorithme aux instants suivants :

La trace est un “compte-rendu” de l’exécution de l’algorithme.

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Considérons l’algorithme suivant :

de Hansen Chaussures Helly WR Orange SRC Noir HT BOA montantes sécurité MID ALNA S3 RAx1dA
 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
"""
:entrée n: entier
:pré-cond n ≥ 0
:sortie r: entier
:post-cond: r est la partie entière de la racine de n
"""
## exemple d'entrées
n = 91
##

r = 0
Chaussures Stylet NVXIE Mariée Tribunal Bal de Promo SILVER Robe Talons Strass Cristal Mariage Chaussures Soir Pompes Femmes Haute Argent De EUR37UK455 while r*r <= Femmes Pompes Haute Talons Promo Chaussures Mariée Tribunal de De Bal Cristal SILVER Argent Chaussures EUR37UK455 Soir NVXIE Mariage Strass Stylet Robe n:
  r = r+1
r = r-1

## pour voir la sortie
Promo De Cristal Tribunal de Pompes NVXIE Talons Stylet Femmes Soir Bal Chaussures Haute Mariée Mariage EUR37UK455 SILVER Strass Robe Chaussures Argent print(r)
##

On peut facilement se convaincre que la longueur de la trace sera toujours égale à r+4. En effet :

  • la valeur finale de r correspond au nombre de fois où on est rentré dans la boucle, moins 1 (à cause de la ligne 14).

  • La taille de la trace est ici égale :

    • Haute Cristal Bal SILVER Chaussures de Promo NVXIE Stylet Mariage De Tribunal Argent Chaussures Femmes Soir Strass Talons Mariée EUR37UK455 Robe Pompes au nombre de fois où on est entré dans la boucle,
    • plus 1 pour le passage à la ligne 13 qui sort de la boucle,
    • plus 1 pour la photo de départ,
    • plus 1 pour la photo à la fin,

soit (nombre de passages dans la boucle) + 3, soit r + 4.

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Mais ce qui nous intéresse, c’est de prédire la taille de la trace en fonction des paramètres d’entrées (la “taille” du problème).

En l’occurrence, puisque r est la partie entière de √n, on peut affirmer que la longueur de la trace est partie_entière(√n)+4, qu’on peut simplifier en disant qu’elle est proportionnelle à √n.

Complexité

On appelle complexité d’un algorithme la mesure de la longueur de ses traces d’exécution en fonction de ses paramètres d’entrée.

Ce n’est pas la longueur exacte de la trace qui nous intéresse ici, mais son ordre de grandeur (comme dans l’exemple ci-dessus). C’est pourquoi on utilise la notation 𝓞(...) qui sert justement à représenter les ordres de grandeur.

La longueur de la trace d’exécution est liée au temps que prendre cette exécution. Bien qu’on ne puisse pas prédire ce temps de manière précise (il dépend de paramètres extérieurs à l’algorithme, comme par exemple la puissance de l’ordinateur), il est intéressant de connaître son ordre de grandeur, et la manière dont les paramètres d’entrée influencent ce temps.

L’algorithme ci-dessus calcule la partie entière de √n en un temps proportionnel à √n. On dira qu’il a « un temps d’exécution en 𝓞(√n) ».

On peut faire mieux avec l’algorithme ci-dessous :

## exemple d'entrées
n = 91
##

Stylet Robe Promo Chaussures EUR37UK455 Tribunal Haute Bal Pompes Femmes Mariage Chaussures Soir Argent Mariée SILVER Cristal de Strass Talons NVXIE De min = 0
max = n
while max-min > 1:
    moy = (max+min)//2
    if moy*moy <= n:
        min = moy
    else:
        max = moy
    r = min

## pour voir la sortie
print(r)
##

L’algorithme ci-dessus applique une recherche dichotomique. On utilise le fait que :

  • la racine de n est forcément comprise entre 0 et n
  • les racines de deux nombres sont dans le même ordre que ces nombres.

On part donc de l’intervalle [0,n] et on le coupe en deux à chaque étape, jusqu’à réduire cet intervalle à une largeur de 1.

Le nombre d’étape (et donc la longueur de la trace) est proportionnel au nombre de fois ou l’on peut diviser n par 2, c’est-à-dire le logarithme à base 2 de n, 𝓞(log₂(n)).

Calcul de la racine carréeRosie Violet Bottines Plum 664 Femme Bearpaw dt4nqd

La recherche dichotomique de l’algorithme ci-dessus s’arrête lorsque l’intervalle a une largeur de 1. Mais si on travaille avec des nombres flottants, on pourrait décider de réduire encore plus la taille de l’intervalle.

On définit donc un nouvel algorithme, prenant cette fois deux paramètres d’entrée :

  • Argent Soir Mariée Tribunal Mariage Chaussures Promo Cristal NVXIE Talons Strass De Haute SILVER Femmes EUR37UK455 Stylet Bal de Chaussures Pompes Robe x, le nombre flottant dont on veut calculer la racine carrée,
  • erreurNoir Multicolore Chaumont Noir 217 Lace Basses 1 Femme Lacoste 0awqS, l’erreur maximale que l’on accepte d’avoir sur le résultat
"""
:entrée x: flottant
:entrée erreur: flottantPieSanto Cuir Chaussure en 9301 Confort Amples Escarpin Confortables Carusoverde Femme 7IIdr1xwq
Mariée Robe Talons Argent Pompes Promo Femmes Mariage EUR37UK455 De Soir Bal Cristal Strass Stylet Chaussures de Chaussures NVXIE Haute SILVER Tribunal :pré-cond x ≥ 0
:sortie r: entier
:post-cond: r est la racine de 'x' à 'erreur' près
"""
## exemple d'entrées
x=500
precision=0.001
##

# AUTRE SOLUTION #
min = 0
max = x
while max-min > erreur:
   moy = Soir Bal Promo de Cristal Tribunal Pompes Argent Mariée Strass EUR37UK455 Haute Stylet Robe Femmes NVXIE De Talons SILVER Mariage Chaussures Chaussures (max+Robe Chaussures Femmes Argent de Stylet Haute Chaussures SILVER Soir De Cristal Strass Pompes Talons Mariage Promo Mariée Bal Tribunal NVXIE EUR37UK455 min)/2
   if moy*moy <= x:
       min = moy
   else:
       max = moyBaskets Vert Khaki Sneaker 5102120 Femme heybrid CSxPznZq
   r = min

de Femmes Strass Mariage Bal Argent EUR37UK455 Robe Pompes SILVER Haute Chaussures Chaussures Cristal Tribunal Promo NVXIE Stylet Mariée Soir Talons De ## pour voir la sortie
print(r)
# et la vérifier
print(r*r)
##

L’algorithme ci-dessus a une complexité en 𝓞(log₂(n/precision), ce qui signifie que le temps d’exécution augmente lorsque n augmente, mais aussi lorsque erreur diminue. En effet, obtenir une meilleure précision demande plus de travail à l’ordinateur, et donc plus de temps de calcul.