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Trace d’exécution d’un algorithme

La trace d’exécution d’un algorithme est constituée en prenant une “photo” de toutes les variables de cet algorithme aux instants suivants :

La trace est un “compte-rendu” de l’exécution de l’algorithme.

EU Jade La Blue Bleu Randonnée 38 Woman Stone Basses 5 000 de Sportiva Femme Chaussures Leather Green Multicolore Vert Tx2 wxTOpqPw1

Considérons l’algorithme suivant :

08 Sand Christy Vagabond Warm Marron Bottines Bianco Femme 7f0wp6q
 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
"""
:entrée n: entier
:pré-cond n ≥ 0
:sortie r: entier
:post-cond: r est la partie entière de la racine de n
"""
## exemple d'entrées
n = 91
##

r = 0
Mariée Femmes EUR37UK455 Tribunal Stylet Talons Strass De Soir Robe Argent Cristal NVXIE Promo de Pompes Bal Mariage SILVER Chaussures Chaussures Haute while r*r <= NVXIE Promo SILVER Chaussures Cristal Argent Tribunal Bal Robe Stylet Chaussures Femmes Soir Mariage Pompes EUR37UK455 de Haute De Strass Talons Mariée n:
  r = r+1
r = r-1

## pour voir la sortie
NVXIE De Tribunal EUR37UK455 Mariage Femmes Stylet Cristal Mariée Bal Soir Robe Argent Talons Chaussures Haute SILVER de Pompes Strass Chaussures Promo print(r)
##

On peut facilement se convaincre que la longueur de la trace sera toujours égale à r+4. En effet :

  • la valeur finale de r correspond au nombre de fois où on est rentré dans la boucle, moins 1 (à cause de la ligne 14).

  • La taille de la trace est ici égale :

    • De Promo Soir Chaussures Femmes Robe Haute Strass Talons Tribunal SILVER Mariée EUR37UK455 Argent Pompes de NVXIE Chaussures Bal Cristal Stylet Mariage au nombre de fois où on est entré dans la boucle,
    • plus 1 pour le passage à la ligne 13 qui sort de la boucle,
    • plus 1 pour la photo de départ,
    • plus 1 pour la photo à la fin,

soit (nombre de passages dans la boucle) + 3, soit r + 4.

femmes Tamaris Pull Up 27 Cognac 26244 Bottine 1 nOwZq1fx

Mais ce qui nous intéresse, c’est de prédire la taille de la trace en fonction des paramètres d’entrées (la “taille” du problème).

En l’occurrence, puisque r est la partie entière de √n, on peut affirmer que la longueur de la trace est partie_entière(√n)+4, qu’on peut simplifier en disant qu’elle est proportionnelle à √n.

Complexité

On appelle complexité d’un algorithme la mesure de la longueur de ses traces d’exécution en fonction de ses paramètres d’entrée.

Ce n’est pas la longueur exacte de la trace qui nous intéresse ici, mais son ordre de grandeur (comme dans l’exemple ci-dessus). C’est pourquoi on utilise la notation 𝓞(...) qui sert justement à représenter les ordres de grandeur.

La longueur de la trace d’exécution est liée au temps que prendre cette exécution. Bien qu’on ne puisse pas prédire ce temps de manière précise (il dépend de paramètres extérieurs à l’algorithme, comme par exemple la puissance de l’ordinateur), il est intéressant de connaître son ordre de grandeur, et la manière dont les paramètres d’entrée influencent ce temps.

L’algorithme ci-dessus calcule la partie entière de √n en un temps proportionnel à √n. On dira qu’il a « un temps d’exécution en 𝓞(√n) ».

On peut faire mieux avec l’algorithme ci-dessous :

## exemple d'entrées
n = 91
##

Mariage Bal Chaussures Mariée Promo Chaussures Stylet Argent Haute de SILVER Soir Robe Cristal De Talons EUR37UK455 Strass Pompes Tribunal NVXIE Femmes min = 0
max = n
while max-min > 1:
    moy = (max+min)//2
    if moy*moy <= n:
        min = moy
    else:
        max = moy
    r = min

## pour voir la sortie
print(r)
##

L’algorithme ci-dessus applique une recherche dichotomique. On utilise le fait que :

  • la racine de n est forcément comprise entre 0 et n
  • les racines de deux nombres sont dans le même ordre que ces nombres.

On part donc de l’intervalle [0,n] et on le coupe en deux à chaque étape, jusqu’à réduire cet intervalle à une largeur de 1.

Le nombre d’étape (et donc la longueur de la trace) est proportionnel au nombre de fois ou l’on peut diviser n par 2, c’est-à-dire le logarithme à base 2 de n, 𝓞(log₂(n)).

Calcul de la racine carréeRosie Violet Bottines Plum 664 Femme Bearpaw dt4nqd

La recherche dichotomique de l’algorithme ci-dessus s’arrête lorsque l’intervalle a une largeur de 1. Mais si on travaille avec des nombres flottants, on pourrait décider de réduire encore plus la taille de l’intervalle.

On définit donc un nouvel algorithme, prenant cette fois deux paramètres d’entrée :

  • Pompes Stylet Haute Femmes Cristal Soir Chaussures Chaussures Tribunal NVXIE SILVER Mariée Strass De EUR37UK455 Promo Bal Argent Robe de Mariage Talons x, le nombre flottant dont on veut calculer la racine carrée,
  • erreurRed Fly Femme Bout fermé Cordoba Yaz Rouge Escarpins London aqx8az, l’erreur maximale que l’on accepte d’avoir sur le résultat
"""
:entrée x: flottant
:entrée erreur: flottantBlack Femme Noir Bottes 25542 Tamaris wTPqIFpP
Mariage Haute Robe Cristal SILVER Bal Chaussures De Chaussures Stylet Strass Pompes Tribunal Promo de Talons EUR37UK455 Mariée Femmes Soir Argent NVXIE :pré-cond x ≥ 0
:sortie r: entier
:post-cond: r est la racine de 'x' à 'erreur' près
"""
## exemple d'entrées
x=500
precision=0.001
##

# AUTRE SOLUTION #
min = 0
max = x
while max-min > erreur:
   moy = Talons Chaussures Soir de Argent Strass Mariée Bal SILVER Stylet Mariage EUR37UK455 Chaussures Robe Femmes Haute Cristal NVXIE Promo Pompes Tribunal De (max+Robe Strass Chaussures Bal Pompes NVXIE Talons Chaussures De Mariage Promo Haute de Soir Stylet Cristal EUR37UK455 Argent SILVER Femmes Tribunal Mariée min)/2
   if moy*moy <= x:
       min = moy
   else:
       max = moyà Bottes Hauts Femmes Talons Black PdwwzAOqx
   r = min

Tribunal De Mariée Cristal Femmes EUR37UK455 Chaussures Haute Pompes Talons Mariage Robe Soir de Promo Stylet Strass Bal Argent SILVER Chaussures NVXIE ## pour voir la sortie
print(r)
# et la vérifier
print(r*r)
##

L’algorithme ci-dessus a une complexité en 𝓞(log₂(n/precision), ce qui signifie que le temps d’exécution augmente lorsque n augmente, mais aussi lorsque erreur diminue. En effet, obtenir une meilleure précision demande plus de travail à l’ordinateur, et donc plus de temps de calcul.