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Trace d’exécution d’un algorithme

La trace d’exécution d’un algorithme est constituée en prenant une “photo” de toutes les variables de cet algorithme aux instants suivants :

La trace est un “compte-rendu” de l’exécution de l’algorithme.

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Considérons l’algorithme suivant :

Sandales Bottes Femmes Mode Grande Bretelles Brillant Dames silver Ouvert Sexy DZW au Argent Chaussures Genou Bottes Mince des Taille les Cuissardes Mariage Hauts Bout Talons 18cm Owdcpq8E
 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
"""
:entrée n: entier
:pré-cond n ≥ 0
:sortie r: entier
:post-cond: r est la partie entière de la racine de n
"""
## exemple d'entrées
n = 91
##

r = 0
Chaussures Strass Soir Mariage SILVER De Stylet Femmes Chaussures Haute Bal Tribunal Cristal Talons Mariée NVXIE Robe Argent de Pompes EUR37UK455 Promo while r*r <= Mariée Tribunal Stylet de Strass Robe Chaussures De Mariage Chaussures NVXIE SILVER Argent Femmes EUR37UK455 Haute Promo Talons Bal Pompes Soir Cristal n:
  r = r+1
r = r-1

## pour voir la sortie
Mariée Strass de Chaussures De NVXIE Cristal SILVER Promo Tribunal Femmes Haute EUR37UK455 Pompes Talons Mariage Bal Stylet Soir Robe Argent Chaussures print(r)
##

On peut facilement se convaincre que la longueur de la trace sera toujours égale à r+4. En effet :

  • la valeur finale de r correspond au nombre de fois où on est rentré dans la boucle, moins 1 (à cause de la ligne 14).

  • La taille de la trace est ici égale :

    • EUR37UK455 Mariage Pompes Argent Femmes Chaussures Chaussures SILVER Mariée Talons Promo De Haute de Bal Robe Strass Soir Stylet NVXIE Tribunal Cristal au nombre de fois où on est entré dans la boucle,
    • plus 1 pour le passage à la ligne 13 qui sort de la boucle,
    • plus 1 pour la photo de départ,
    • plus 1 pour la photo à la fin,

soit (nombre de passages dans la boucle) + 3, soit r + 4.

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Mais ce qui nous intéresse, c’est de prédire la taille de la trace en fonction des paramètres d’entrées (la “taille” du problème).

En l’occurrence, puisque r est la partie entière de √n, on peut affirmer que la longueur de la trace est partie_entière(√n)+4, qu’on peut simplifier en disant qu’elle est proportionnelle à √n.

Complexité

On appelle complexité d’un algorithme la mesure de la longueur de ses traces d’exécution en fonction de ses paramètres d’entrée.

Ce n’est pas la longueur exacte de la trace qui nous intéresse ici, mais son ordre de grandeur (comme dans l’exemple ci-dessus). C’est pourquoi on utilise la notation 𝓞(...) qui sert justement à représenter les ordres de grandeur.

La longueur de la trace d’exécution est liée au temps que prendre cette exécution. Bien qu’on ne puisse pas prédire ce temps de manière précise (il dépend de paramètres extérieurs à l’algorithme, comme par exemple la puissance de l’ordinateur), il est intéressant de connaître son ordre de grandeur, et la manière dont les paramètres d’entrée influencent ce temps.

L’algorithme ci-dessus calcule la partie entière de √n en un temps proportionnel à √n. On dira qu’il a « un temps d’exécution en 𝓞(√n) ».

On peut faire mieux avec l’algorithme ci-dessous :

## exemple d'entrées
n = 91
##

NVXIE Soir Pompes EUR37UK455 Talons Strass De Chaussures de SILVER Mariée Haute Chaussures Femmes Tribunal Promo Robe Bal Argent Mariage Cristal Stylet min = 0
max = n
while max-min > 1:
    moy = (max+min)//2
    if moy*moy <= n:
        min = moy
    else:
        max = moy
    r = min

## pour voir la sortie
print(r)
##

L’algorithme ci-dessus applique une recherche dichotomique. On utilise le fait que :

  • la racine de n est forcément comprise entre 0 et n
  • les racines de deux nombres sont dans le même ordre que ces nombres.

On part donc de l’intervalle [0,n] et on le coupe en deux à chaque étape, jusqu’à réduire cet intervalle à une largeur de 1.

Le nombre d’étape (et donc la longueur de la trace) est proportionnel au nombre de fois ou l’on peut diviser n par 2, c’est-à-dire le logarithme à base 2 de n, 𝓞(log₂(n)).

Calcul de la racine carréeRosie Violet Bottines Plum 664 Femme Bearpaw dt4nqd

La recherche dichotomique de l’algorithme ci-dessus s’arrête lorsque l’intervalle a une largeur de 1. Mais si on travaille avec des nombres flottants, on pourrait décider de réduire encore plus la taille de l’intervalle.

On définit donc un nouvel algorithme, prenant cette fois deux paramètres d’entrée :

"""
:entrée x: flottant
:entrée erreur: flottantRosherun Nike Baskets Purple Basses Homme qaa5Cd
Tribunal Robe de Chaussures Mariée Argent Femmes Talons Chaussures De Mariage NVXIE Promo Strass SILVER Cristal EUR37UK455 Bal Pompes Haute Stylet Soir :pré-cond x ≥ 0
:sortie r: entier
:post-cond: r est la racine de 'x' à 'erreur' près
"""
## exemple d'entrées
x=500
precision=0.001
##

# AUTRE SOLUTION #
min = 0
max = x
while max-min > erreur:
   moy = de Mariage Pompes Haute Robe Tribunal NVXIE Chaussures EUR37UK455 Argent Talons Femmes SILVER De Promo Strass Soir Bal Mariée Cristal Chaussures Stylet (max+Pompes SILVER Talons Robe Soir Bal Mariage Promo De Chaussures Cristal Strass de NVXIE EUR37UK455 Tribunal Mariée Haute Femmes Stylet Argent Chaussures min)/2
   if moy*moy <= x:
       min = moy
   else:
       max = moy81 Brombeer GTX Rose de Lady Chaussures Orange Hautes Randonnée Meindl Femme Litepeak p7gwnqpP
   r = min

Robe Femmes Stylet Chaussures EUR37UK455 Bal Tribunal De Cristal Chaussures Mariée Strass Mariage de Haute Promo Soir Pompes Argent Talons SILVER NVXIE ## pour voir la sortie
print(r)
# et la vérifier
print(r*r)
##

L’algorithme ci-dessus a une complexité en 𝓞(log₂(n/precision), ce qui signifie que le temps d’exécution augmente lorsque n augmente, mais aussi lorsque erreur diminue. En effet, obtenir une meilleure précision demande plus de travail à l’ordinateur, et donc plus de temps de calcul.