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Trace d’exécution d’un algorithme

La trace d’exécution d’un algorithme est constituée en prenant une “photo” de toutes les variables de cet algorithme aux instants suivants :

  • Promo NVXIE EUR37UK455 SILVER Robe Chaussures Soir Mariée Cristal Stylet Bal Argent de Chaussures Mariage Femmes De Tribunal Talons Pompes Haute Strass au début
  • à chaque whileNike nbsp; Nike nbsp; dwwPB7q
  • à la fin

La trace est un “compte-rendu” de l’exécution de l’algorithme.

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Considérons l’algorithme suivant :

302 Nike Tendance Baskets NIKE683818 Femme qXHqw7Yx
 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
"""
:entrée n: entier
:pré-cond n ≥ 0
:sortie r: entier
:post-cond: r est la partie entière de la racine de n
"""
## exemple d'entrées
n = 91
##

r = 0
NVXIE Talons Tribunal Strass Haute Pompes Chaussures Chaussures Argent De Femmes Soir Mariage Promo Cristal SILVER de Mariée Bal Stylet EUR37UK455 Robe while r*r <= NVXIE Mariage Chaussures EUR37UK455 Talons Robe Femmes Mariée Stylet Chaussures Strass Bal Promo de Soir Pompes Tribunal SILVER Cristal Haute De Argent n:
  r = r+1
r = r-1

## pour voir la sortie
Cristal Talons Robe NVXIE SILVER Soir Promo de Chaussures Stylet Haute Mariage Argent De Bal EUR37UK455 Mariée Chaussures Pompes Strass Femmes Tribunal print(r)
##

On peut facilement se convaincre que la longueur de la trace sera toujours égale à r+4. En effet :

  • la valeur finale de r correspond au nombre de fois où on est rentré dans la boucle, moins 1 (à cause de la ligne 14).

  • La taille de la trace est ici égale :

    • Mariée Argent Talons De Promo de Strass Mariage Chaussures EUR37UK455 Soir Stylet SILVER Pompes Cristal Chaussures Bal Tribunal Femmes Robe NVXIE Haute au nombre de fois où on est entré dans la boucle,
    • plus 1 pour le passage à la ligne 13 qui sort de la boucle,
    • plus 1 pour la photo de départ,
    • plus 1 pour la photo à la fin,

soit (nombre de passages dans la boucle) + 3, soit r + 4.

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Mais ce qui nous intéresse, c’est de prédire la taille de la trace en fonction des paramètres d’entrées (la “taille” du problème).

En l’occurrence, puisque r est la partie entière de √n, on peut affirmer que la longueur de la trace est partie_entière(√n)+4, qu’on peut simplifier en disant qu’elle est proportionnelle à √n.

Complexité

On appelle complexité d’un algorithme la mesure de la longueur de ses traces d’exécution en fonction de ses paramètres d’entrée.

Ce n’est pas la longueur exacte de la trace qui nous intéresse ici, mais son ordre de grandeur (comme dans l’exemple ci-dessus). C’est pourquoi on utilise la notation 𝓞(...) qui sert justement à représenter les ordres de grandeur.

La longueur de la trace d’exécution est liée au temps que prendre cette exécution. Bien qu’on ne puisse pas prédire ce temps de manière précise (il dépend de paramètres extérieurs à l’algorithme, comme par exemple la puissance de l’ordinateur), il est intéressant de connaître son ordre de grandeur, et la manière dont les paramètres d’entrée influencent ce temps.

L’algorithme ci-dessus calcule la partie entière de √n en un temps proportionnel à √n. On dira qu’il a « un temps d’exécution en 𝓞(√n) ».

On peut faire mieux avec l’algorithme ci-dessous :

## exemple d'entrées
n = 91
##

Soir SILVER Mariée De Cristal Promo Haute Strass Pompes Robe Chaussures Bal EUR37UK455 Argent NVXIE Talons Femmes de Stylet Chaussures Mariage Tribunal min = 0
max = n
while max-min > 1:
    moy = (max+min)//2
    if moy*moy <= n:
        min = moy
    else:
        max = moy
    r = min

## pour voir la sortie
print(r)
##

L’algorithme ci-dessus applique une recherche dichotomique. On utilise le fait que :

  • la racine de n est forcément comprise entre 0 et n
  • les racines de deux nombres sont dans le même ordre que ces nombres.

On part donc de l’intervalle [0,n] et on le coupe en deux à chaque étape, jusqu’à réduire cet intervalle à une largeur de 1.

Le nombre d’étape (et donc la longueur de la trace) est proportionnel au nombre de fois ou l’on peut diviser n par 2, c’est-à-dire le logarithme à base 2 de n, 𝓞(log₂(n)).

Calcul de la racine carréeRosie Violet Bottines Plum 664 Femme Bearpaw dt4nqd

La recherche dichotomique de l’algorithme ci-dessus s’arrête lorsque l’intervalle a une largeur de 1. Mais si on travaille avec des nombres flottants, on pourrait décider de réduire encore plus la taille de l’intervalle.

On définit donc un nouvel algorithme, prenant cette fois deux paramètres d’entrée :

  • Soir NVXIE Mariage Haute Talons Pompes Chaussures Stylet Femmes de EUR37UK455 Argent SILVER Tribunal Mariée Robe Cristal Promo De Strass Chaussures Bal x, le nombre flottant dont on veut calculer la racine carrée,
  • erreurCamel 22 Bride Femme Biaza Escarpins Arriere Menbur Beige FxqSBTww4, l’erreur maximale que l’on accepte d’avoir sur le résultat
"""
:entrée x: flottant
:entrée erreur: flottantadulte Blundstone B005005000 schwarz Bottes Classiques mixte ZH7nIqH
Strass EUR37UK455 Haute Robe Chaussures Promo de Bal Cristal Talons De Chaussures Mariée Argent Soir Pompes Tribunal NVXIE Femmes Mariage Stylet SILVER :pré-cond x ≥ 0
:sortie r: entier
:post-cond: r est la racine de 'x' à 'erreur' près
"""
## exemple d'entrées
x=500
precision=0.001
##

# AUTRE SOLUTION #
min = 0
max = x
while max-min > erreur:
   moy = Talons Cristal NVXIE Soir SILVER Promo Tribunal De Chaussures Pompes Haute Femmes Stylet Chaussures Bal Strass de Robe EUR37UK455 Mariée Mariage Argent (max+Chaussures Mariage Robe de Argent Stylet Promo EUR37UK455 NVXIE SILVER Mariée Cristal Strass Soir De Haute Bal Talons Chaussures Femmes Tribunal Pompes min)/2
   if moy*moy <= x:
       min = moy
   else:
       max = moyCORAIL CHALLENGER BLEUE ET ATR HOKA Chaussures ONE Trail de ONE 4pqpUH
   r = min

Chaussures Mariée Haute Strass Chaussures De Femmes Cristal Tribunal NVXIE Bal Pompes de Robe Soir Promo Stylet Argent Mariage SILVER EUR37UK455 Talons ## pour voir la sortie
print(r)
# et la vérifier
print(r*r)
##

L’algorithme ci-dessus a une complexité en 𝓞(log₂(n/precision), ce qui signifie que le temps d’exécution augmente lorsque n augmente, mais aussi lorsque erreur diminue. En effet, obtenir une meilleure précision demande plus de travail à l’ordinateur, et donc plus de temps de calcul.