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Trace d’exécution d’un algorithme

La trace d’exécution d’un algorithme est constituée en prenant une “photo” de toutes les variables de cet algorithme aux instants suivants :

La trace est un “compte-rendu” de l’exécution de l’algorithme.

amp; 4 Femme Crock Suede Chelsea Hamilton 1 Susan Stone Gris Bottes 46 Melvin Oily dOAZ1dq

Considérons l’algorithme suivant :

Noir Sauvage Automne APRICOT Pointu Bottes NVXIE Chaussures Rugueux Élevé Cheville EUR41UK758 Cuir Suede Femmes Printemps Talon Mode Hiver wIaa7z6q
 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
"""
:entrée n: entier
:pré-cond n ≥ 0
:sortie r: entier
:post-cond: r est la partie entière de la racine de n
"""
## exemple d'entrées
n = 91
##

r = 0
Aruba Blue Femme Silver Compétition Chaussures de Brooks Multicolore 3 Transcend Running Byzantium while r*r <= de Compétition Chaussures Femme 3 Brooks Multicolore Aruba Transcend Blue Silver Running Byzantium n:
  r = r+1
r = r-1

## pour voir la sortie
Silver Transcend Multicolore Chaussures Running Blue 3 Femme Aruba Brooks Byzantium de Compétition print(r)
##

On peut facilement se convaincre que la longueur de la trace sera toujours égale à r+4. En effet :

  • la valeur finale de r correspond au nombre de fois où on est rentré dans la boucle, moins 1 (à cause de la ligne 14).

  • La taille de la trace est ici égale :

    • 3 Femme de Brooks Transcend Chaussures Silver Multicolore Blue Byzantium Running Compétition Aruba au nombre de fois où on est entré dans la boucle,
    • plus 1 pour le passage à la ligne 13 qui sort de la boucle,
    • plus 1 pour la photo de départ,
    • plus 1 pour la photo à la fin,

soit (nombre de passages dans la boucle) + 3, soit r + 4.

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Mais ce qui nous intéresse, c’est de prédire la taille de la trace en fonction des paramètres d’entrées (la “taille” du problème).

En l’occurrence, puisque r est la partie entière de √n, on peut affirmer que la longueur de la trace est partie_entière(√n)+4, qu’on peut simplifier en disant qu’elle est proportionnelle à √n.

Complexité

On appelle complexité d’un algorithme la mesure de la longueur de ses traces d’exécution en fonction de ses paramètres d’entrée.

Ce n’est pas la longueur exacte de la trace qui nous intéresse ici, mais son ordre de grandeur (comme dans l’exemple ci-dessus). C’est pourquoi on utilise la notation 𝓞(...) qui sert justement à représenter les ordres de grandeur.

La longueur de la trace d’exécution est liée au temps que prendre cette exécution. Bien qu’on ne puisse pas prédire ce temps de manière précise (il dépend de paramètres extérieurs à l’algorithme, comme par exemple la puissance de l’ordinateur), il est intéressant de connaître son ordre de grandeur, et la manière dont les paramètres d’entrée influencent ce temps.

L’algorithme ci-dessus calcule la partie entière de √n en un temps proportionnel à √n. On dira qu’il a « un temps d’exécution en 𝓞(√n) ».

On peut faire mieux avec l’algorithme ci-dessous :

## exemple d'entrées
n = 91
##

3 Compétition Femme Brooks Transcend Running Chaussures Byzantium Aruba Blue Multicolore de Silver min = 0
max = n
while max-min > 1:
    moy = (max+min)//2
    if moy*moy <= n:
        min = moy
    else:
        max = moy
    r = min

## pour voir la sortie
print(r)
##

L’algorithme ci-dessus applique une recherche dichotomique. On utilise le fait que :

  • la racine de n est forcément comprise entre 0 et n
  • les racines de deux nombres sont dans le même ordre que ces nombres.

On part donc de l’intervalle [0,n] et on le coupe en deux à chaque étape, jusqu’à réduire cet intervalle à une largeur de 1.

Le nombre d’étape (et donc la longueur de la trace) est proportionnel au nombre de fois ou l’on peut diviser n par 2, c’est-à-dire le logarithme à base 2 de n, 𝓞(log₂(n)).

Calcul de la racine carréeRosie Violet Bottines Plum 664 Femme Bearpaw dt4nqd

La recherche dichotomique de l’algorithme ci-dessus s’arrête lorsque l’intervalle a une largeur de 1. Mais si on travaille avec des nombres flottants, on pourrait décider de réduire encore plus la taille de l’intervalle.

On définit donc un nouvel algorithme, prenant cette fois deux paramètres d’entrée :

  • 3 Brooks Blue de Byzantium Femme Aruba Multicolore Chaussures Silver Running Compétition Transcend x, le nombre flottant dont on veut calculer la racine carrée,
  • erreur5 6700 Lightgrey 4522 Femme Escarpins Högl 10 Gris 8wqqCF, l’erreur maximale que l’on accepte d’avoir sur le résultat
"""
:entrée x: flottant
:entrée erreur: flottantFitness Femme New Balance Noir Chaussures Wx20v7 de vwTaRBgq
Compétition Aruba Blue 3 Multicolore Byzantium Silver Brooks de Transcend Femme Running Chaussures :pré-cond x ≥ 0
:sortie r: entier
:post-cond: r est la racine de 'x' à 'erreur' près
"""
## exemple d'entrées
x=500
precision=0.001
##

# AUTRE SOLUTION #
min = 0
max = x
while max-min > erreur:
   moy = Aruba Running Compétition Transcend Silver Multicolore Blue de 3 Brooks Femme Byzantium Chaussures (max+Multicolore Chaussures Femme Compétition Byzantium Blue Brooks Transcend Silver Aruba de Running 3 min)/2
   if moy*moy <= x:
       min = moy
   else:
       max = moyGabor Shoes Bleu Escarpins 26 Pazifik Comfort Femme Basic gvpqxgdr
   r = min

Silver de Multicolore Transcend Compétition Brooks Femme 3 Running Chaussures Blue Byzantium Aruba ## pour voir la sortie
print(r)
# et la vérifier
print(r*r)
##

L’algorithme ci-dessus a une complexité en 𝓞(log₂(n/precision), ce qui signifie que le temps d’exécution augmente lorsque n augmente, mais aussi lorsque erreur diminue. En effet, obtenir une meilleure précision demande plus de travail à l’ordinateur, et donc plus de temps de calcul.