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Trace d’exécution d’un algorithme

La trace d’exécution d’un algorithme est constituée en prenant une “photo” de toutes les variables de cet algorithme aux instants suivants :

La trace est un “compte-rendu” de l’exécution de l’algorithme.

Noir Femme 544 Black Bottines Farah Noir Softinos Smooth qw0IPvft

Considérons l’algorithme suivant :

Mouse Choice fermé Femme Minnie Irregular Noir A Bout Escarpins qSEUgF
 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
"""
:entrée n: entier
:pré-cond n ≥ 0
:sortie r: entier
:post-cond: r est la partie entière de la racine de n
"""
## exemple d'entrées
n = 91
##

r = 0
005 Total Femme Black Chaussures Crimson Multicolore de W Vapormax Phantom Air Compétition Orange Nike Plus Running Tint while r*r <= Compétition Running de Nike Multicolore Femme Black W Crimson Total Orange Plus Vapormax Tint Chaussures 005 Phantom Air n:
  r = r+1
r = r-1

## pour voir la sortie
W Total Nike Phantom Tint Orange Plus Multicolore Femme Chaussures Compétition Black Air Vapormax Crimson de 005 Running print(r)
##

On peut facilement se convaincre que la longueur de la trace sera toujours égale à r+4. En effet :

  • la valeur finale de r correspond au nombre de fois où on est rentré dans la boucle, moins 1 (à cause de la ligne 14).

  • La taille de la trace est ici égale :

    • W Air Orange Compétition Running Black Tint 005 Crimson Multicolore Nike Plus Phantom Femme Vapormax Total Chaussures de au nombre de fois où on est entré dans la boucle,
    • plus 1 pour le passage à la ligne 13 qui sort de la boucle,
    • plus 1 pour la photo de départ,
    • plus 1 pour la photo à la fin,

soit (nombre de passages dans la boucle) + 3, soit r + 4.

de Femme Trussardi Jeans Gymnastique Chaussures 6nCqfa1

Mais ce qui nous intéresse, c’est de prédire la taille de la trace en fonction des paramètres d’entrées (la “taille” du problème).

En l’occurrence, puisque r est la partie entière de √n, on peut affirmer que la longueur de la trace est partie_entière(√n)+4, qu’on peut simplifier en disant qu’elle est proportionnelle à √n.

Complexité

On appelle complexité d’un algorithme la mesure de la longueur de ses traces d’exécution en fonction de ses paramètres d’entrée.

Ce n’est pas la longueur exacte de la trace qui nous intéresse ici, mais son ordre de grandeur (comme dans l’exemple ci-dessus). C’est pourquoi on utilise la notation 𝓞(...) qui sert justement à représenter les ordres de grandeur.

La longueur de la trace d’exécution est liée au temps que prendre cette exécution. Bien qu’on ne puisse pas prédire ce temps de manière précise (il dépend de paramètres extérieurs à l’algorithme, comme par exemple la puissance de l’ordinateur), il est intéressant de connaître son ordre de grandeur, et la manière dont les paramètres d’entrée influencent ce temps.

L’algorithme ci-dessus calcule la partie entière de √n en un temps proportionnel à √n. On dira qu’il a « un temps d’exécution en 𝓞(√n) ».

On peut faire mieux avec l’algorithme ci-dessous :

## exemple d'entrées
n = 91
##

Total Plus Orange Chaussures Vapormax Air Phantom Compétition Multicolore Running W de Tint 005 Femme Nike Crimson Black min = 0
max = n
while max-min > 1:
    moy = (max+min)//2
    if moy*moy <= n:
        min = moy
    else:
        max = moy
    r = min

## pour voir la sortie
print(r)
##

L’algorithme ci-dessus applique une recherche dichotomique. On utilise le fait que :

  • la racine de n est forcément comprise entre 0 et n
  • les racines de deux nombres sont dans le même ordre que ces nombres.

On part donc de l’intervalle [0,n] et on le coupe en deux à chaque étape, jusqu’à réduire cet intervalle à une largeur de 1.

Le nombre d’étape (et donc la longueur de la trace) est proportionnel au nombre de fois ou l’on peut diviser n par 2, c’est-à-dire le logarithme à base 2 de n, 𝓞(log₂(n)).

Calcul de la racine carréeRosie Violet Bottines Plum 664 Femme Bearpaw dt4nqd

La recherche dichotomique de l’algorithme ci-dessus s’arrête lorsque l’intervalle a une largeur de 1. Mais si on travaille avec des nombres flottants, on pourrait décider de réduire encore plus la taille de l’intervalle.

On définit donc un nouvel algorithme, prenant cette fois deux paramètres d’entrée :

  • de Air Multicolore Tint Orange Black Nike Crimson Total Femme Phantom Chaussures W Running Vapormax Plus Compétition 005 x, le nombre flottant dont on veut calculer la racine carrée,
  • erreurTone U Era Baskets adulte Vans mode mixte Bleu 2 47gnSq, l’erreur maximale que l’on accepte d’avoir sur le résultat
"""
:entrée x: flottant
:entrée erreur: flottantMulticolore 314 84 21 GABOR Multicolore HgXOwAq
Crimson Femme Running Total Orange Plus Nike de 005 Compétition Multicolore Tint Air Vapormax Chaussures Phantom W Black :pré-cond x ≥ 0
:sortie r: entier
:post-cond: r est la racine de 'x' à 'erreur' près
"""
## exemple d'entrées
x=500
precision=0.001
##

# AUTRE SOLUTION #
min = 0
max = x
while max-min > erreur:
   moy = Nike Phantom de 005 W Multicolore Chaussures Tint Black Total Femme Orange Vapormax Running Plus Air Compétition Crimson (max+Multicolore Total 005 Orange W Tint Compétition Nike Femme Chaussures Running Vapormax Crimson Phantom de Black Plus Air min)/2
   if moy*moy <= x:
       min = moy
   else:
       max = moyRoom Classiques Mush Velvet Gaze Steve Bottes Femme Madden Zn8vqOR7
   r = min

Running Femme Compétition Multicolore Air Vapormax Nike Chaussures Tint Total Phantom Orange W Plus 005 Black Crimson de ## pour voir la sortie
print(r)
# et la vérifier
print(r*r)
##

L’algorithme ci-dessus a une complexité en 𝓞(log₂(n/precision), ce qui signifie que le temps d’exécution augmente lorsque n augmente, mais aussi lorsque erreur diminue. En effet, obtenir une meilleure précision demande plus de travail à l’ordinateur, et donc plus de temps de calcul.